专题：直线与圆1．圆 C1 : x2＋ y2＋ 2x＋ 8y－ 8＝0 与圆 C2 : x2＋ y2－ 4x＋4y－ 2＝ 0 的位置关系是 ( ) ．A ．相交B．外切C．内切D．相离2．两圆 x2＋ y2－4x＋ 2y＋ 1＝ 0 与 x2＋ y2＋ 4x－4y－ 1＝ 0 的公共切线有 ( ) ．A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条3．若圆 C 与圆 ( x＋ 2) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 1 关于原点对称，则圆 C 的方程是 ( ) ．A ． ( x－ 2) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 1 B． ( x－ 2) 2＋ ( y－ 1) 2＝1C． ( x－ 1) 2＋ ( y＋ 2) 2＝ 1 D．( x＋ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 14．与直线 l : y＝ 2x＋ 3 平行，且与圆x2＋ y2－2x－ 4y＋ 4＝0 相切的直线方程是 ( ) ．A ． x－ y± 5 ＝ 0 B． 2x－ y＋ 5 ＝ 0C． 2x－ y－ 5 ＝ 0 D．2x－ y± 5 ＝ 05．直线 x－ y＋ 4＝ 0 被圆 x2＋ y2＋ 4x－4y＋ 6＝ 0 截得的弦长等于 ( ) ．A ． 2 B． 2 C．2 2 D． 4 26．一圆过圆 x2＋ y2－ 2x＝0 与直线 x＋ 2y－ 3＝0 的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( ) ．A ． x2＋ y2＋4y－ 6＝ 0 B． x2＋ y2＋ 4x－ 6＝ 0C． x2＋ y2－ 2y＝ 0 D． x2＋ y2＋ 4y＋ 6＝ 07．圆 x2＋ y2－ 4x－4y－ 10＝ 0 上的点到直线 x＋y－ 14＝ 0 的最大距离与最小距离的差是( ) ．A．30 B． 18 C．6 2 D． 5 28．两圆 ( x－ a) 2＋ ( y－b) 2＝ r 2和 ( x－ b) 2＋( y－ a) 2＝ r 2相切，则 ( ) ．A ． ( a－ b) 2＝ r2 B． ( a－ b) 2＝ 2r2C． ( a＋ b) 2＝ r 2 D．( a＋ b) 2＝ 2r 29．若直线 3x－ y＋ c＝ 0，向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位，平移后与圆 x2＋ y2＝ 10相切，则 c 的值为 ( ) ．A．14 或－ 6 B．12 或－ 8 C．8 或－ 12 D．6 或－ 1410．设 A( 3，3，1) ，B( 1，0，5) ，C( 0，1，0)，则 AB 的中点 M 到点 C 的距离 | CM| ＝( ) ．53B．53 53D．13A ．C．24 2 211．若直线 3x－ 4y＋ 12＝ 0 与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________．12．已知直线x＝ a 与圆 ( x－ 1) 2＋y2＝ 1 相切，则a 的值是 _________．13．直线 x＝ 0 被圆 x2＋ y2― 6x― 2y―15＝ 0 所截得的弦长为_________．14．若 A( 4，－ 7， 1) ，B( 6， 2， z) ， | AB| ＝ 11，则 z＝ _______________ ．15．已知 P 是直线 3x＋ 4y＋ 8＝ 0 上的动点， PA，PB 是圆 ( x－ 1) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 1 的两条切线， A， B 是切点， C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为．三、解答题16．求下列各圆的标准方程：( 1) 圆心在直线y＝0 上，且圆过两点A( 1， 4) ， B( 3， 2) ； ( 2) 圆心在直线2x＋ y＝0 上，且圆与直线x＋y－ 1＝ 0 切于点 M( 2，－ 1) ．第1页共6页17．棱长为 1 的正方体ABCD － A1B1C1D 1中， E 是 AB 的中点， F 是 BB1的中点， G 是 AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E， F，G 三点的坐标．18．圆心在直线5x― 3y― 8＝ 0 上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．19．已知圆 C :( x－ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 2，点 P 坐标为 ( 2，－ 1) ，过点 P 作圆 C 的切线，切点为A， B．( 1) 求直线 PA， PB 的方程； ( 2) 求过 P 点的圆的切线长； ( 3) 求直线 AB 的方程．20．求与 x 轴相切，圆心 C 在直线 3x－ y＝ 0 上，且截直线x－ y＝ 0 得的弦长为 2 7 的圆的方程．第2页共6页参考答案一、选择题1． A解析：C1的标准方程为 ( x＋ 1) 2＋ ( y＋ 4) 2＝ 52，半径 r1＝5； C2的标准方程为( x－ 2) 2＋ ( y＋2) 2＝ ( 10 ) 2，半径 r2＝10 ．圆心距d＝( 2＋ 1) 2＋( 2－ 4) 2＝13 ．因为 C2的圆心在 C1内部，且r1＝ 5＜ r 2＋d，所以两圆相交．2． C解析：因为两圆的标准方程分别为( x－2) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 4， ( x＋ 2) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 9，所以两圆的圆心距d＝( 2 ＋ 2)2＋(－ 1－ 2)2＝ 5．因为 r 1＝ 2， r2＝ 3，所以 d＝r 1＋ r2＝ 5，即两圆外切，故公切线有 3 条．3． A解析：已知圆的圆心是( －2， 1) ，半径是1，所求圆的方程是( x－2) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 1．4． D解析：设所求直线方程为y＝2x＋ b，即 2x－ y＋ b＝0．圆 x2＋ y2― 2x―4y＋ 4＝ 0 的标准方程为 ( x－ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 1．由2 － 2 ＋ b5 ．＝ 1 解得 b＝±22＋12故所求直线的方程为 2x－ y± 5 ＝0．5． C解析：因为圆的标准方程为 ( x＋ 2) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 2，显然直线 x－ y＋4＝ 0 经过圆心．所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于 2 2 ．6． A解析：如图，设直线与已知圆交于 A，B 两点，所求圆的圆心为C．依条件可知过已知圆的圆心与点 C 的直线与已知直线垂直．因为已知圆的标准方程为( x－ 1) 2＋ y2＝ 1，圆心为 ( 1， 0) ，所以过点 ( 1， 0) 且与已知直线x＋ 2y－3＝ 0 垂直的直线方程为y ＝ 2x－2．令 x＝ 0，得C( 0，－ 2) ．(第 6题)联立方程 x2＋ y2－ 2x＝ 0 与 x＋ 2y－ 3＝ 0 可求出交点 A( 1，1) ．故所求圆的半径 r ＝|AC|＝ 12＋32＝ 10 ．所以所求圆的方程为x2＋ ( y＋ 2) 2＝10，即 x2＋ y2＋ 4y－6＝ 0．7． C解析：因为圆的标准方程为( x－ 2) 2＋ ( y－ 2) 2＝ ( 3 2 ) 2，所以圆心为 ( 2， 2) ，r＝3 2 ．设圆心到直线的距离为d，d＝10＞r，2所以最大距离与最小距离的差等于( d＋ r ) － ( d－ r ) ＝ 2r ＝ 6 2 ．第3页共6页8． B解析 ：由于两圆半径均为 | r | ，故两圆的位置关系只能是外切，于是有( b － a) 2＋ ( a － b) 2＝ ( 2r) 2．化简即 ( a － b) 2＝ 2r 2．9． A解析 ：直线 y ＝ 3x ＋c 向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位． 平移后的直线方程为 y ＝ 3( x － 1) ＋ c － 1，即 3x －y ＋ c － 4＝ 0．由直线平移后与圆 x 2＋ y 2＝ 10 相切，得 0 － 0＋ c － 4 ＝ 10 ，即 | c － 4| ＝10，32 ＋12所以 c ＝ 14 或－ 6． 10． C解析 ：因为 C( 0， 1， 0) ，容易求出 AB 的中点 M 2， 3，3 ，2253 ．所以|CM| ＝ (2－0)2＋ 3－1 ＋(3－0)2 ＝22二、填空题11．x 2＋ y 2 ＋4x － 3y ＝ 0．解析： 令 y ＝ 0，得 x ＝－ 4，所以直线与 x 轴的交点 A( － 4，0) ．令 x ＝ 0，得 y ＝ 3，所以直线与 y 轴的交点 B( 0，3) ．所以 AB 的中点，即圆心为－2，3．2( x ＋2) 2＋ y －32因为 | AB| ＝ 42 ＋ 32 ＝ 5，所以所求圆的方程为＝25．24即 x 2＋ y 2＋ 4x － 3y ＝ 0．12．0 或 2．解析： 画图可知，当垂直于 x 轴的直线 x ＝ a 经过点 ( 0， 0) 和( 2， 0) 时与圆相切，所以 a 的值是 0 或 2．13． 8．解析： 令圆方程中 x ＝ 0，所以 y 2―2y ― 15＝ 0．解得 y ＝ 5，或 y ＝－ 3．所以圆与直线 x ＝ 0 的交点为 ( 0， 5) 或( 0，－ 3) ．所以直线 x ＝ 0 被圆 x 2 ＋ y 2―6x ― 2y ― 15＝ 0 所截得的弦14． 7 或－ 5．解析：由 (6－4) 2＋(2＋7) 2 ＋( z － 1) 2 ＝11 得 ( z － 1) 2－ 5．15．2 2．长等于 5－( － 3) ＝ 8．＝36．所以 z ＝ 7，或第4页 共6页(第15题)解析 ：如图， SPACB ＝2S PAC ＝ 1| PA| · | CA| ·2＝| PA| ，又 | PA| ＝2－1 ，故求 | PA| 最小值，只需求 | PC| 最四边形△2小值，另 | PC| 最小值即C 到直线 3x ＋4y ＋8＝0 的距离，为 |＋＋|3 4 8＝3．32＋42于是 S 四边形 PACB 最小值为 32－1 ＝ 2 2 ．三、解答题16． 解： ( 1) 由已知设所求圆的方程为 ( x － a) 2＋ y 2＝ r 2，于是依题意，得(22a ＝ － ，1－ a) ＋16＝ r ，122解得2．(r ＝3－ a) ＋4 ＝r ．20故所求圆的方程为 ( x ＋ 1) 2＋ y 2＝ 20．( 2) 因为圆与直线 x ＋ y － 1＝ 0 切于点 M( 2，－ 1) ，所以圆心必在过点 M ( 2，－ 1) 且垂直于 x ＋ y － 1＝ 0 的直线 l 上． 则 l 的方程为 y ＋ 1＝ x － 2，即 y ＝x －3．y ＝ － ，x ＝ ，由x 312x解得 y＋ ＝ ． ＝ － ．y 0 2即圆心为 O 1( 1，－ 2) ，半径 r ＝ ( 2 － 1) 2 ＋( －1＋ 2)2 ＝2 ．故所求圆的方程为 ( x － 1) 2＋ ( y ＋2) 2＝ 2．17． 解：以 D 为坐标原点，分别以射线 DA ， DC ，DD 1 的方向为正方向，以线段 DA ， DC ， DD 1 的长为单位长，建立空间直角坐标系 Dxyz ，E 点在平面 xDy 中，且 EA ＝ 1．2 所以点 E 的坐标为 1，1，0 ，2又 B 和 B 1 点的坐标分别为 ( 1，1，0) ，( 1，1，1) ， 所以点 F 的坐标为 1，1，1，同理可得 G 点的坐标为218． 解：设所求圆的方程为 ( x － a) 2＋ ( y － b) 2＝ r 2，因为圆与两坐标轴相切，所以圆心满足 | a| ＝ | b| ，即 a － b ＝ 0，或 a ＋ b ＝ 0．又圆心在直线 5x ―3y ― 8＝0 上，1 1 1，， ．2 25a － 3b － ＝ ， 5a － 3b － ＝ ，0 0所以 5a ―3b ― 8＝0．由方程组或－ ＝ ， ＋ ＝ ，a b 0 a b 0， ，解得 或所以圆心坐标为 ( 4， 4) ， ( 1，－ 1) ． ＝ ， ＝－ ． b 4 b1故所求圆的方程为 ( x － 4) 2＋ ( y －4) 2＝ 16，或 ( x － 1) 2＋ ( y ＋1) 2＝ 1．19． 解： ( 1) 设过 P 点圆的切线方程为 y ＋ 1＝ k( x － 2) ，即 kx ― y ― 2k ― 1＝ 0．因为圆心 ( 1， 2) 到直线的距离为2， － k － 3 ＝ 2 ， 解得 k ＝ 7，或 k ＝－ 1．k 2 ＋ 1第5页 共6页故所求的切线方程为7x― y― 15＝ 0，或 x＋ y－ 1＝ 0．( 2) 在 Rt△PCA 中，因为 | PC| ＝ ( 2 － 1) 2＋( － 1－ 2) 2＝ 10 ，| CA| ＝ 2 ，所以 | PA| 2＝ | PC| 2－ | CA| 2＝8．所以过点 P 的圆的切线长为 2 2 ．( 3) 容易求出 k PC AB 1 ．＝－ 3，所以 k ＝ 3如图，由 CA 2＝CD · PC，可求出 CD＝CA2＝ 2 ．PC 10设直线 AB 的方程为y＝1x＋ b，即 x－ 3y＋ 3b＝0．3由2＝1－6＋3b解得 b＝ 1 或 b＝7( 舍 ) ．101＋32 3(第 19题)所以直线 AB 的方程为x－ 3y＋ 3＝0．( 3) 也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．20．解：因为圆心 C 在直线3x－ y＝0 上，设圆心坐标为( a， 3a) ，圆心 ( a，3a) 到直线 x－ y＝0 的距离为 d＝－ 2a．2又圆与 x 轴相切，所以半径r ＝3| a| ，设圆的方程为 ( x－ a) 2＋ ( y－ 3a) 2＝ 9a2，设弦 AB 的中点为 M，则 | AM| ＝ 7 ．在 Rt△ AMC 中，由勾股定理，得－ 2a 2＋ ( 7 ) 2＝ ( 3| a|) 2．2(第 20题)解得 a＝± 1， r2＝ 9．故所求的圆的方程是( x－ 1) 2＋( y－ 3) 2＝ 9，或 ( x＋ 1) 2＋( y＋ 3) 2＝ 9．第6页共6页。