几何计算型综合问题【考点透视】几何计算型综合问题，是以计算为主线的综合各种几何知识的问题.在近年全国各地中考试卷中占有相当的分量.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想. 解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决.值得注意的是近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力……力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去.【典型例题】例1 在生活中需要测量一些球（如足球、篮球…）的直径，某学校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线AD、CB分别与球相切于点E、F，则E、F即为球的直径．若测得AB的长为41.5cm，∠ABC=37°.请你计算出球的直径（精确到1cm）分析：本题实际上是解直角梯形ABFE中的问题，作AG⊥CB于G，在Rt△ABG中，求出AG即可．解：作AG⊥CB于G，∵AD、CB分别与圆相切于E、F，∴EF⊥FG，EF⊥EA，∴四边形AGFE是矩形，∴AG=EF在Rt△ABG中，AB=41.5，∠ABG=37°，∴AG=AB·sin∠ABG=41.5×sin37°≈25.∴球的直径约为25cm.说明：将几何计算题与研究性学习问题和方案设计问题有机的结合起来，是近年中考题的又一热点．这类题一般难度不太大，关键是考查建模能力.例2．在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在DABCQ P直线翻折得△AB ’E ，那么△AB ’E 与四边形AECD 重叠部分的面积是 .分析：解答本题首先要根据题意，画出图形（如图11-2）然后根据对称性和相关几何知识进行求解．解：在Rt △ABE 中，∵∠B=45°，AB=2，∴AE=BE=2 ，∴S △ABE =1． 由翻折知：△AB ’E ≌△ABE ，∴EB ’=EB=2 ∴B ’C=BB ’－BC=22－2， ∵四边形ABCD 是菱形，∴CF ∥BA ．∴∠ B ’FC=∠B ’AB=90°, ∠B ’CF=∠B=45° ∴CF=2222-=BC ∴S △B’FC =221CF =32－2∴S 阴=S △AB’E －S △CFB’=22－2．说明：图形折叠问题的本质是全等变换, 也是近年中考题中的一个亮点．这类问题的解决方法是要抓住因折叠而形成的等线段和等角，这些相等关系是解决问题的关键.常用代数方程求解．例3．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t ≤6），那么： ⑴当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？⑵求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论； ⑶当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？分析：⑴中应由△QAP 为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP，由AQ=6－t ，AP=2t ，可求出t 的值；⑵中四边形QAPC 是一个不规图形，其面积可由矩形面积减去△DQC 与△PBC 的面积求出；⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此须分类讨论.解：⑴AP=2t ，DQ=t ，QA=6－t ，当QA=AP ，即6－t=2t ，t=2（s ）时，△QAP 为等腰直角三角形；⑵S △DQC =21·12·t=6t, S △PBC =21·6·(12－2t)=36－6t, ∴S 四边形QAPC =12·6－6t －（36－6t ）=36（cm 2），由计算结果可见：在P 、Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变； ⑶∵∠QAP=∠ABC=90°，①当BC AP AB QA =时，△QAP ∽△ABC ，∴62126tt =-，解之得t=1.2（s ）； ②当AB AP BC QA =时，△PAQ ∽△ABC ，∴12266tt =-，解之得t=3（s ）. 故当t=1.2s 或3s 时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似.说明：本例是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓其本质，揭示出变中不变的规律．其结论也可提出：“P 、Q 两点到对角线AC 的距离之和保持不变”，四边形QAPC 的面积也可由△QAC 与△CAP 的面积求出，；⑶中考察了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.例4. 当你进入博物馆的展览厅时，你知道站何处观赏最理想？如图，设墙壁上的展品最高处点P 距离场面a 米，最低处点Q 距离场面b 米，观赏者的眼睛点E 距离地面m 米．当过点P 、Q 、E 三点的圆与过点E 的水平线相切于点E 时，视角∠PEQ 最大，站在此处观赏最理想．(1)设点E 到墙壁的距离为x ，求a 、b 、m 、x 的关系式； (2)当a=2.5，b=2，m=1.6时，求：○1和墙壁的距离为x 米；○2视角∠PEQ 的度数（精确到1度） 解：(1)∵水平直线HE 切⊙O 于点E. ∴HE 2=QH ·HP又HE=x ，QH=b －m ，PH=a －m ， ∴x 2=（a －m ）（b －m ）.(2)○1当a=2.5，b=2，m=1.6时，由(1)中所得： x 2=（2.5－1.6）（2－1.6）∴x=0.6 ∴点E 与墙壁距离x 的值为0.6米.○2作OD ⊥PR 于D ，则∠POQ=2∠POD ，∵∠POQ=2∠PEQ ， ∴∠PEQ=∠POD.在Rt △POD 中，tan ∠POD=125=OD PD ∴∠PEQ=23°说明：将几何计算题富于一个实际情境是中考中的一个新视点，符合新课程标准的精神，在今后的中考命题将会有很强的生命力，解这类题时，要能从实际中抽象出纯数学问题，然后利用相关知识解决问题.复习中应注意对常规题进行演变，有对针性训练.例5.如图,方形ABCD 的AB 边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，DF 切半圆于F点E ，交AB 的延长线于点F ，BF=4． 求：(1)cos ∠F 的值；(2)BE 的长.分析：(1)要求cos ∠F 的值，就要把∠F “放”到直角三角形中，由于DF 是半圆切线，只要连结OF 即可，然后利用相似三角形与切割线定理，求出OF 、EF ；(2)利用勾股定理和相似三角形即可求得．解：(1)连结OE.∵DF 切半圆于E ， ∴∠OEF=90°，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠DAF=90°， ∴∠OEF=∠DAF.又∵∠F 为公共角，∴△OEF ∽△DAF. ∴21===AB OE DA OE AF EF .即AF=2EF. ∵DF 切半圆O 于E ，∴EF 2=FB ·FA=BF ·2EF ， ∴EF=2BF=8，AF=2EF=16.∴AB=AF －BF=12，FO=21AB+BF=21×12+4=10. 在Rt △OEF 中，cos ∠F=54108==FO EF . (2)连结AE ，∵DF 切半圆于E ，∴∠EAF=∠BEF. ∵∠F=∠F ，∴△BEF ∽△EAF. ∴21168===AF EF EA BE .设BE=k(k ＞0)，则AE=2k ， ∵AB 为半圆O 的直径， ∴∠AEB=90°.在Rt △AEB 中，AE 2+BE 2=AB 2，（2k ）2+k 2=122, ∴BE=k=5512. 说明：在相似形、圆等问题中渗透三角形函数知识、方程知识，围绕有关相似比、面积之比来命题是近年中考题命题又一新特点．解这类题要善于把三角函数的值与线段比相互转化，并能设参数来表示有关线段，运用勾股定理或相似三角形的有关比例式来解决．例6．已知：如图与⊙O 2相交于A 、B 两点，O 1在⊙O 2上，⊙O 2的弦BC 切⊙O 1与B ，延长BO 1、CA 交于点P ，PB 与⊙O 1交于点D ．O 2O 1图①图②⑴求证：AC 是⊙O 1的切线；⑵如果PD=1，⊙O 1的半径为2，求BC 的长．分析：⑴由于AC 与⊙O 1有共公点A ，只要证AC ⊥AO 1即可． ⑵欲证AD ∥O 1C ，借公共弦这一“桥梁”．证∠ACO 1=∠PAD ， ⑶根据图形借助切割线及其推论或三角形相似，通过线段比来解决.解：⑴连结AO 1，∵BC 是⊙O 1的切线，∴∠O 1BC=90°, ∵四边形AO 1BC 是⊙O 2的内接四边形，∴∠O 1BC+∠O 1AC=180°.∴∠O 1AC=90°，∴AC 是⊙O 1的切线 ⑵连结AB,∵PC 切⊙O 1于点A, ∴∠PAD=∠ABP, 又∠ACO 1=∠ABO 1 ,∴∠PAD=∠ACO 1 ∴AD ∥O 1C⑶∵PC 是⊙O 1的切线，PB 是⊙O 1的割线，∴PA 2=PD·PB ∵PD=1，PB=5，∴PA=5∵AC 、BC 分别切⊙O 1于A 、B ∴O 1B ⊥BC ，O 1A ⊥PC ∴∠PBC=∠PAO 1=90° 又∠P=∠P ∴△PBC ∽△PAO 1 ∴552,1==BC PA PB AO BC 即 ∴BC=52 说明：解几何计算综合题要善于把复杂的几何图形“分解”为若干个基本图形，并综合这些基本图形的性质及图形中元素的内在联系去思考，则能快速找到解题途径．如本题若把原图分解为下列①②两个图形，则⑶的解题思路一目了然．例7.有一长方形的餐厅，长10m ，宽7m ，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5m 的圆形（如图1所示）.在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5m 的前提下，问此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方14×20方格纸内画出设计示图1图2图3图4意图.（提示：①画出的圆应符合比例要求；②为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上）分析：这是一道方案设计问题，图2中每一正方形小格宽度均表示0.5m ，餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子，就看能否在图2中画出三个或四个半径为三格宽的圆，并使圆与圆之间、圆与方格纸外边框之间的间距不少于一格，我们可以按画三个圆、画四个圆分别计算.解：此餐厅内能摆下三套和四套同样大小的圆桌和椅子.摆放三套与四套的设计方案参考图3、图4，只要满足如下条件：① 每个圆的半径为1.5cm ；② 每个圆的圆心到方格纸外边框的距离不小于2cm ； ③ 任意两圆的圆心距不小于3.5cm.说明：对于一道运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断.该试题是在考生容易想象的情境中考查学生用数学的能力，源于生活，打破常规，重视学生探究问题的能力的培养和动手操作意识的形成，这是今后中考试题的一个方向.ABCPQABC习题11⒈如图，在△ABC 中,已知BC=6,∠C=600,sinA=0.8,求AB 和AC 的长.(结果保留根号)⒉如图，挂着“庆祝凤凰广场竣工”条幅的氢气球升在广场上空，已知气球的直径为4m ，在地面A 点测得气球中心O 的仰角∠OAD=60°，测得气球的视角∠BAC=2°（AB 、AC 为⊙O 的切线，B 、C 为切点）则气球中心O 离地面的高度OD 为（ ）。