1.在厶ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ ABC 的外侧作等腰直角三角形， M 是BC 边中点中点，连接 MD 和ME (1)如图1所示，若AB=AC ，贝U MD 和ME 的数量 关系是 _______________ (2)如图2所示，若AB 工AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的 数量和位置关系？请给出证明过程；(3)在任意△ ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ ABC 的内侧作等腰直角三角形，(1) MD=ME .解：•••△ ADB 和厶AEC 是等腰直角三角形，•••/ ABD= / DAB= / ACE= / EAC=45，/ ADB= / AEC=90 在厶ADB 和厶AEC 中，f ZADB=ZAEC* ZABD=ZACE , ADB AEC (AAS ),• BD=CE , AD=AE , i AB 二 AC•/ M 是 BC 的中点，• BM=CM .J AB=AC ，•/ ABC= / ACB ,•••/ ABC+ / ABD= / ACB+ / ACE ，即/ DBM= / ECM .r BD=CE在厶 DBM 和厶 ECM 中，“ NDBM 二ZECMDBM ECM ( SAS ),• MD=ME別二CM(2) 如图，作 DF 丄AB , EG 丄AC ，垂足分别为 F 、G . 因为DF 、EG 分别是等腰直角三角形 ABD 和等腰直角三角形 ACE 斜边上的高，所以 F 、G 分别是AB 、AC 的中点. 又••• M 是BC 的中点，所以 MF 、MG 是厶ABC 的中位线. •, t. ',—-., MF II AC , MG II AB .M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形,并直接判断△ MED 的形状.图2 图3图1 E3C•••/ BFM= / BAC，/ MGC= / BAC . A/ BFM= / MGC .所以/ DFM= / MGE .•/ DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，•m=，MF=EG，DF=MG .在厶DFM与厶MGE中，SF二EG” ZDFM=Z !&£，•△ DFM MGE ( SAS ).••• DM=ME . / FMD= / GEMDF=IGL•/ DME= / FMD+ / FMG+ / GME= / GEM+ / MGC+ / GME•/ EG 丄AC EGC=90 V/ GEM+ / MGC+ / GME+ / EGC=180 DME=90•DM 丄EM .(3)如图所示：△ MDE是等腰直角三角形.2 .如图1, 在△ ABC中, NACB=90° BC =2，/ A=30°点E，F分别是线段BC，AFAC的中点, 连结EF. (1)线段BE与AF的位置关系是BE如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转〉时(0—： : <180')，连结AF，BE, (1 )中的结论是否仍然成立•如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.(3)如图3，当△田3绕点C顺时针旋转:-时(0、：：： : <18°延长FC交AB于点D，(1) 如图1,线段BE 与AF 的位置关系是互相垂直；•••/ ACB=90 , BC=2，/ A=30° , ••• AC=2二，T 点E , F 分别是线段BC , AC 的中点， BE故答案为：互相垂直；二；(2)( 1)中结论仍然成立•证明：如图 2 ,•••点E , F 分别是线段BC , AC 的中点，1 1Ff FC 1• EC=_BC , FC=-i AC ,.・. = =_，•/ BCE= / ACF a , •△ BEC AFC ,22 BC AC 2•••— --------- :——=、•••/ 仁/ 2,延长BE 交AC 于点0,交AF 于点MBE BC tanSO• / BOC= / AOM ，/ 1 = / 2 •••/ BCO= / AM0=9°• BE 丄 AF ;(3) 如图 3, ACB=90 , BC=2 , / A=30° • AB=4 , / B=60° 过点 D 作 DH 丄 BC 于 H • DB=4 —( 6 - 2#.;) =22 , • BH=— 1, DH=3 — '；,又• CH=2 -(眉-1) =3 -锁,• CH=DH ，•/ HCD=45，•/ DCA=45 , • a =180° 45°=135° .3. (1)如图 1,在四边形 ABCD 中，/ B=Z C=90° , E 为 BC 上一点，且 CE=AB , BE=CD,连 结AE 、DE 、AD ,则厶ADE 的形状是 ________________________________ .(2)如图 2,在 ABC 中，• A =90 , D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD,两线交于点P.①CE=AD 时，在图中补全图形，猜想 .BPD 的度数并给予证明.证明：过 B 点作FB I AB,且FB=AD•FBD =/A =90 ,•/ BD=AC ,• △ FBM A DAC.•••/ FDB=Z DCA, ED=DC• / DCA+Z CDA=90 , FDB +/ CDA=90 •••/ CDF=90 , FCD=Z CFD =45 .当 BD=AC,BD CE AC AD=■ 3时，.BPD 的度数(1)(2)45 ° 分 分•/ AD=CE, • BF=CE••• . FBD = . A = 90. FBD . A =180 .••• BF// EC•••四边形BECF 是平行四边形.• BE / FC• . BPD =/FCD =45 . ------------------------------------------------------------------------- 6 分(3) 60 . ---------------------------------------------------------------------------------------- 7 分4. 在△ ABC 中，AB 二AC , Z A 三：0，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60得到线段BD ，再将 线段BD 平移到EF,使点E 在AB 上，点F 在AC 上. （ 1）如图1，直接写出乙ABDF 叹CFE 的度数； （2）在图1中证明：AE -CF ； （3）如图2,连接CE ,判断△ CEF 的形状并加以证明.1) . ABD= 15 ° , CFE= 45 (2)证明：连结CD DF.•-线段BC 绕点B 逆时针旋转60得到线段BD , •- BD =BC , . CBD 二 0 . •- △ BCD 是等边三角形. ■- CD 二 BD . •-线段BD 平移到EF, •- EF / BD , EF 二 BD .••四边形BDFE 是平行四边形，EF 二CD. ........... 3分 AB =AC ，乙A =30 , ZABC :、.ZABD 乙ABC- CBD 拧=ACD•- . DFE =. ABD=「, . AEF =. ABDQ .ZAEF ； ZACDi ............................................................................................... 4......................................................................................... 分 ZCFE : 〃+/AEF5 匸二孑, •- . CFD =. CFE DFE 上一「=3i..•- ■ A= CFD"..A AA图1•••△AEF^A FCD(AAS).•••AE =CF. .......................(3)解：△ CEF是等腰直角三角形. 证明：过点E作EG丄CF于G,••• . CFE j , • . FEG 上.•- EG 二FG T . A =\0 , . AG斶,1 •- EG AE .21 1•「AE =CF •- EG= —CF . • FG=—CF .2 2•- G为CF的中点.•EG为CF的垂直平分线.•- EF 壬C•乙CEF=2ZFEG0O。

•△ CEF是等腰直角三角形. ..............5 •将△ ABC绕点A顺时针旋转［得到△ ADE , DE的延长线与BC相交于点F，连接AF . （1）如图1，若.BAC =60 , DF =2BF，请直接写出AF与BF的数量关系；（2）如图2，若一BAC < ：=60 , DF = 3BF，猜想线段AF与BF的数量关系，并AF 证明你的猜想；（3）如图3，若.BAC < ：• , DF二mBF （m为常数），请直接写出竺BF 的值（用含:、m的式子表示）.解：DAEC B AA图1GCB F图31) AF=BF .解：（理由如下：在DF上截取DG=BF ,ffl：连接AG ,（如图1）,由旋转得AD=AB，/ D= / B ,FD Gr AD-AB在厶 ADG 和厶ABF 中，“ ZB 二ZD，二△ ADG ◎△ ABF (SAS ),二AG=AF，/ DAG= / BAF ,tDG=BF•••/ GAF= / GAB+ / BAF= / GAB+ / DAG= / DAB=60 .•••△ GAF 是等边三角形，又:DF=2BF，• AF=GF=DF - DG=DF - BF=BF，即AF=BF ;(2)解：猜想：AF=2BF •证明：在DF上截取DG=BF，连接AG (如图2).r AD=AB 由旋转得AD=AB，/ D= / B，在△ ADG 和厶ABF 中，“ ZB 二ZD，ADG ABF (SAS)，tDG=BF• AG=AF，/ DAG= / BAF，•/ GAF= / GAB+ / BAF= / GAB+ / DAG= / DAB=60 ，•••△ GAF 是等边三角形，又J DF=3BF，• AF=GF=DF - DG=DF - BF=2BF，即AF=2BF ;(3)在DF上截取DG=BF，连接AG，(如图3)，由旋转得AD=AB，/ D= / B，在厶ADG和厶ABF中，f AD=AB、ZB=ZD，• △ ADG ABF (SAS )，• AG=AF，/ DAG= / BAF，HG 二BF•••/ GAF= / GAB+ / BAF= / GAB+ / DAG= / DAB a ，•△ GAF 是等腰三角形，•/ DF=mBF，• GF=DF - DG=mBF - BF= (m - 1) BF，过点 A 作AH 丄DF 于H，贝U FH= GF= ( m —1) BF，/ FAH= / GAF= a，■/ sin / FAH=丄二，• sin一AF 26 .已知：△ ABD和厶CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD 于点G . (1)如图I，求证：/ EAF = Z ABD ;(2)如图2，当AB = AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长1 2线交ED于点N，/ MBF = - Z BAF，AF = AD，请你判断线段FM和FN之间2 3的数量关系，并证明你的判断是正确的.AC图AC图2证明：（1）如图1,连接FE FC•••点F在线段EC的垂直平分线上/• FE=FC•••Z FE（= Z FCE•••△ABD^R^ CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C）• AB=CB,Z ABD=Z CBD•••在△ ABF与△ CBF中Z ABD=Z CBDBF= BFABF^A CBF( SAS •FE=FA,Z FEC=Z BAF T ZFEC+ Z BEF=180°T Z BAF+Z BEF+Z AFE+Z ABE=360°•Z AFE+Z ABE=Z AFE+Z ABD+Z CBD=180°又T Z AFE+Z EAF+ Z AEF=180°•Z EAF+Z AEF=Z ABD+Z CBDT Z ABD=Z CBD, Z EAF= Z AEF/•Z EAF=Z ABD(2) FM=7FN2证明：由(1)可知Z EAF= Z ABD 又T Z AFB= Z GFA• △AFG^A BFA /-Z AGF=Z BAF1 1又T Z MBF=- Z BAF....Z MBF=- Z AGF又T Z AGF=Z MBG+Z BMG• BG=MGT AB=AD Z.Z ADB=Z ABD=Z EAF 又TZFGA=Z AGD • △AG® △DGA• Z MBG=Z BMG AGF AG AF2T AF= —AG GD AD3GF AG2AG GD3设GF=2a AG=3a.「. GD=9a2• FD=5a T Z CBD=Z ABD Z ABD=Z ADB2• Z CBD=Z ADBEG AG 2 " ________ __ ______ __ __BG GD 3 • BE/ADBG _ EGGD AG设EG=2k • BG=MG=3kDo• Z BAF=Z FCE FA=FC—•-Z EAF= Z AEF“…"•Z BAF+Z BEF=180G FED过点F作FQ//ED交AE于QGQ GF -2a =- ••• GQ =«QE5 5 5a27.如图，等腰Rt△ ABC中，/ ACB=90 ° AC=BC=4, P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE丄AB于E,连接PQ交AB于D . （1）当/BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP为x, BD为y,求y关于x 的函数关系式，并求出当△ BDQ为等腰三角形时BD的值.解：(1) VZ ACB=90 , AC=BC=4，设AP 为x，二PC=4-x , CQ=4+x .BQD=30 , • CQ= ：、PC.「. 4+x= (4 - x).解得x=8 - 4「.(2)当点P, Q运动时，线段DE的长度不会改变•理由如下：作QF丄AB，交直线AB的延长线于点F，丁PE丄AB于E，•/ DFQ= / AEP=90 ,•••点P, Q做匀速运动且速度相同，• AP=BQ .•/△ ABC是等腰直角三角形，•可证PE=QF=AE=BF .在厶PDE和厶QDF中，f ZDPQ=ZAEP“ ZPDE=ZQDF , •△ PDE QDF (AAS ),• DE=DF . • DE=^AB .L QF=EP2••• GQ=4 EG=8k9 98 35MQ=3k+^k= k9 9••• FQ// EDMFFNMQQE=7• FM= 7 FN2 2又:AC=BC=4，二AB=4 匚，二DE=2 匚，•••当点P, Q运动时，线段DE的长度不会改变.(3 )••• AP=x，BD=y，• AE= "x，2•/ AB=AE+DE+BD，丁 4 二：x+2 _+y，2即y=- ^x+2 - (O v x v 4)，2当厶BDQ为等腰三角形时，x=y，• x=4 甘：r —4，即BD的值为4 -—4.& 已知/ ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC. (1)如图1，过点A作AF丄AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△ CDF的形状并证明；(2)如图2，E是直线BC 上的一点，直线AE、CD相交于点P，且/ APD=45°，求证BD=CE.•••/ FAD=Z DBC .•/ AD=BC, AF=BD,•△FAD^A DBC .•FD=DC/ 仁/ 2.•••/ 1 + Z 3=90°，:丄 2+ / 3=90°.即/ CDF=90°.• △ CDF是等腰直角三角形. 2 •分為* /F(2)过点A作AF丄AB,并截取AF=BD,连接DF、CF.•••/ ABC=90°, AF丄AB,•••/ FAD=Z DBC .•/ AD=BC, AF=BD,•△FAD^A DBC .•FD=DC，/ 仁/2 .•••/ 1 + Z 3=90°,•••/ 2+Z 3=90°.即/ CDF=90°.•△ CDF是等腰直角三角形.•••/ FCD=Z APD=45°• FC// AE.•••/ ABC=90 ° AF丄AB,•AF/ CE•四边形AFCE是平行四边形. ................................. 6•分•AF=CE•BD=CE ............................................................................... 7•分 ......9.已知△ ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE连接BE EF.( 1)如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为________________ •(2)如图2,若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明.( 3)如图3，若E是线段AC延长线上的任意一5 •分点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明.②若BC二DE = 4，当AE取最大值时, 求AF的值.(1 )答：猜想BE与EF的数量关系为：BE=EF ;证明：(1)TA ABC是等边三角形，E是线段AC的中点，•••/ CBE=丄/ ABC=30 , AE=CE ,2•/ AE=CF , • CE=CF，•/ F= / CEF , v/ F+ / CEF= / ACB=60，•/ F=30°,•••/ CBE= / F，• BE=EF ;(2)答：猜想BE=EF •证明如下：如图2,过点E作EG II BC ,交AB于点G，•/△ ABC 是等边三角形，• AB=AC，/ ACB=60，又v EG II BC，•/ AGE= / ABC=60 ,又v/ BAC=60 AGE 是等边三角形，• AG=AE , • BG=CE ,r BG-CE又v CF=AE ,••• GE=CF , 在△ BGE 与厶ECF 中，“ ZBGE二ZECE0 ,tGE=CF•••△BGE ECF ( SAS),• BE=EF ;(3) BE=EF •证明如下：如图3，过点E作EG II BC交AB延长线于点G ,•••△ABC 是等边三角形，• AB=AC，/ ACB=60 ,又v EG II BC，•/ AGE= / ABC=60，又v/ BAC=60 , •△ AGE 是等边三角形,• AG=AE , • BG=CE，又v CF=AE , • GE=CF ,嗨EC又v/ BGE= / ECF=60，•在△ BGE 与厶ECF 中，“ ZBGE 二NEC?二6Q”,L GE P CF•••△BGE ECF ( SAS),• BE=EF .10•如图1，已知ABC是等腰直角三角形，• BAC =90，点D是BC 的中点•作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE , BG . (1)试猜想线段BG和AE的数量关系是____________________ ;(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转:・(0 ：：： : -360 ),①判断(1)中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论;图2(1)BG=AE .理由：如图1 ,•••△ ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ，点D是BC的中占八、、5••• AD 丄BC , BD=CD ,二/ ADB= / ADC=90 .•••四边形DEFG是正方形，• DE=DG .r DC=DB.C ADBDE 二DG• BG=AE .故答案为：BG=AE ;(2)①成立BG=AE •理由：如图2,连接AD，•••在Rt△ BAC 中，D 为斜边BC 中点，• AD=BD , AD 丄BC,•••/ ADG+ / GDB=90 . 二•四边形EFGD 为正方形，•DE=DG，且/ GDE=90，•/ ADG+ / ADE=90 ,•••/ BDG= / ADE .f BD=AD在厶BDG和厶ADE中, ZBDG=ZADE , •••△ BDG ADE ( SAS)$D二ED•DG=AE ;②••• BG=AE，•当BG取得最大值时，AE取得最大值. 如图3,当旋转角为270°时，BG=AE .•/ BC=DE=4 , • BG=2+4=6 . • AE=6 .在Rt △ AEF中，由勾股定理，得AF= 「一 |,• AF=2 二.11.在△ ABC 中，CA= CB，在△ AED 中，DA = DE，点D、E 分别在CA、AB 上, (1)如图①，若/ ACB = Z ADE = 90°,贝U CD与BE的数量关系是 _________ ; (2)若/ ACB = Z ADE =120° ,将△ AED绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是________ ( 3) 若Z ACB = Z ADE = 2a ( 0° < a< 90 ° ),将厶AED绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段.CD与BE的数量关系，并加以证明(用含a的式子表示)B图①E图②• / CAB= / CBA= / DEA=45 , • DE II BC , •四边形 EBMD 是平行四边形,• DM=BE , •/ DM II AB , •/ CDM=4°, • DM=/CD , • BE=、Jj CD ;故答案为：BE=匚CD ; (2)如图②，• BE=2DC?si a .交 BC 于点 M , J/ ACB= / ADE=90 ,CA=CB , DA=DE ,E•/ CA=CB ，/ ACB=120同理AE=二AD ,•旦ABCD•••△ CAD BAE ,BE故答案为：BE=〔CD ;(3) BE=2CD?sir a ,证明：如图③，分别过点CAB= / CBA=30，二 AB= ^AC ,AD AEAC -AB一一 一一C 、D 作CM 丄AB 于点 M , DN 丄AE 于点•/ CA=CB , DA=DE ，/ ACB= / ADE=a,•••/ CAB= / DAE , / ACM= / ADN aAM=」AB ,2=W A E .CAD= / BAE , Rt △ ACM •厂汀 -'，-'和 Rt △ ADN 中,sin /ACM= —, sin /ALAN ADN =屮,，又•••/ CAD= / BAE , •△ BAE CAD , S/ CAD= / BAE=30 +Z BAD ,••• BE= :CD ;12.如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点.点E从点A出发，沿B停止.连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点FG . ( 1)设AE=x时，△ EGF的面积为y.求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2) P是MG的中点，求点P运动路线的长. AB运动到点G,连接EG、解：(1)当点E与点A重合时，x=O, y= - X 2X 2=22当点E与点A不重合时，在正方形ABCD中，• / MDF=90，•/ 在厶AME和厶DMF'ZA=ZMDF"WDM, •△ AME DMF (ASA )• ME=MFL ZAME=ZDMFO v x<2/ A= / ADC=9OA= / MDF中在Rt△ AME 中，AE=x , AM=1 , ME=J • EF=2ME=2 ~"过M作MN丄BC ,垂足为N (如图)则/ MNG=9°，/ AMN=90 , MN=AB=AD=2AM•••/ AME+ / EMN=90•••/ EMG=9° •••/ GMN+ / EMN=90 •••/ AME= / GMN• Rt△AME s Rt△NMG _=_J，即—j = • MG=2ME=22'■T= ，即• y= ■ EF X MG=料「0「=2x2+2 2• y=2x +2，其中O W x<;2(2)如图，PP即为P点运动的距离;在Rt△ BMG 中，MG 丄BG ;•••/ MBG= / G' MG=90 -/ BMG ;• tan/ MBG=J=2,BG• tan / GMG =tan / MBG= —=2 ；MG•- GG =2MG=4 ;△ MGG中，P、P‘分别是MG、MG的中点，• PP是厶MGG的中位线；• PP = GG =2；即:2点P运动路线的DEB C G长为2.13.将等腰Rt A ABC和等腰Rt A ADE按图1方式放置，/ A=90°, AD边与AB边重合，AB =2AD= 4.将厶ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度a ( 0° W a W 180 ° ) , BD的延长线交直线CE于点P. (1)如图2，BD与CE的数量关系是,位置关系是(2)在旋转的过程中，当AD丄BD时，求出CP的长；(3)在此旋转过程中，求点P运动的路线长.解：图1 图2 备用图(1)BD=EC , BD丄CE ;理由：•等腰Rt△ ABC和等腰Rt△ ADE按图1方式放置， / A=90°，AD 边与AB边重合，AB=2AD=4 ,二D, E分别是AB和AC的中点，故BD=EC=AD=AE ，BD 丄CE ;故答案为：BD=EC，BD 丄CE;(2)如图3所示：•••△ ABC和厶ADE都是等腰三角形，二AB=AC，AD=AE，r AB=AC•••/ BAC= / DAE=90 ,二/ BAD= / CAE，在△ ABD 和厶ACE 中，“ ZEM二ZCAE ,AD=AEL•••△ ABD ACE ( SAS),「•/ ABD= / ACE，v/ 1 = / 2，二BP丄CE，•/ AD 丄BP,/ DAE=90 , AD=AE，•四边形ADPE 为正方形，• AD=PE=2 , v/ ADB=90 , AD=2 ,AB=4，•/ ABD=30°, • BD=CE=2 ",• CP=CE —PE=2 - 2;(3)如图4,取BC 的中点O,连接OP、OA , v/ BPC= / BAC=90 ,• OP=OA= BC=2 爲在此旋转过程中(0°WaW 1)(,由(2)知，当a =60时，2/ PBA最大，且/ PBA=30，此时/ AOP=60，•点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的亦+包，•点P运动的路线长为：L =歸+冠=2亦严"兀X 也& 空! n180 314.如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE (AB v AE)在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为：.在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG. (1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG; (2)当点C在直线BE上时，连接FC直接写出/ FCD的度数；(3)如图(3)为了使同学们顺利地解答本题( 1 )中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在3，如果〉=45 °, AB =2, AE=4、. 2，求点 G 到 BE 的距离.•••四边形 AEFG 是正方形，• AE=AG Z EAD+Z DAG=90° . • Z BAE=Z DAG ABE ADG (SAS). • BE=DG(2) 解：45。