§2.2 曲面的第一基本形式
2.2.1 第一基本形式 我们来考察曲面上邻近两点之间的距离. 设 P, Q 是曲面 S : r = r (u, v ) 上的两个邻近 点, 对应的径矢分别为 r (u, v ), r (u + ∆u, v + ∆v ), 应用 Taylor 展开式, 有 − − → P Q = r u ∆u + r v ∆v + o(|∆u| + |∆v |), − − → 故 P Q 长度的平方为 − − → 2 2 2 2 |P Q|2 = r 2 u ∆u + 2r u · r v ∆u∆v + r v ∆v + o(|∆u| + |∆v | ), 当 P 与 Q 无限接近时, 按通常的理解, 有 du = ∆u, )就是
2 2 I = r2 u du + 2r u · r v dudv + r v dv ,
− − → dv = ∆v , 故 |P Q|2 的主要部分(记为 I
令 E = r2 u, 则 I = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 . 称为曲面的第一基本形式, 它是曲面上点和方向的函数, 在给定点处它是方向的函数. E, F, G 称为曲面的第一类基本量, 在给定点处都是常数.容易验证 EG − F 2 > 0, 所以第一基本形式是 du, dv 的正定二次形式, 且 E > 0, G > 0 . 【例 1】 求柱面 r (u, v ) = ρ(u) + v b 的第一基本形式. 【解】 由参数方程计算得 r u = ρ (u),
2 Edu2 1 + F du1 dv1 + Gdv1 2 Edu2 2 + F du2 dv2 + Gdv2
条件是 Eduδu + F (duδv + dvδu) + Gdvδv = 0 .
.
由 ds2 = du2 + (u2 + a2 )dv 2 可知 E = 1, 代入上式得 cos θ = F = 0, G = u2 + a2 .
容易求出它的第一基本形式为 I= 4a4 (du2 + dv 2 ) (u2 + v 2 + a2 )2 4 2 2 = 2 (du + dv ). 1 2 2 1 + a2 (u + v )
【例 4】 旋转曲面 r (u, v ) = {f (v ) cos u, f (v ) sin u, g (v )} 的第一基本形式为 I = [f (v )]2 du2 + ([f (v )]2 + [g (v )]2 ) dv 2 . 2.2.2 第一 基本形 式的性 质 定理 2.1 曲面的第一基本形式是参数变换的不变量. u = u(¯ u, v ¯) 证明 设 是曲面 S : r = r (u, v ) 的任一容许的参数变换, 并记在参数 v = v (¯ u, v ¯) (u, v ) 和 (¯ u, v ¯) 下的第一基本形式分别为 I = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 , ¯ = Ed ¯ u ¯ du ¯ v I ¯ 2 + 2F ¯ dv ¯ + Gd ¯2 , 66
P0
v = v (t); v = v ∗ (t∗ ),
du∗ dv ∗ + r v dt∗ dt∗
,
P0
因此, C 与 C ∗ 在其交点 P0 (u0 , v0 ) 处夹角 φ 的余弦为 cos φ =
dv dv du r u du dt + r v dt · r u dt∗ + r v dt∗ dv r u du dt + r v dt dv r u du dt∗ + r v dt∗
设 E ∗ , F ∗ , G∗ 是曲面 S ∗ 的第一基本形式系数, 由于 T 是正交矩阵, 所以
∗ E ∗ = r∗ u · r u = (r u · T ) · (r u · T ) = r u · r u = E,
同理 F ∗ = F, G∗ = G , 这时 S 与 S ∗ 的第一基本形式相同. 2.2.3 第一 基本形 式的应 用 1. 求曲面上曲线的弧长 设 C : r (t) = r (u(t), v (t)), t ∈ [a, b] 是曲面 S : r = r (u, v ) 上一条曲线, 按照曲线论中 弧长的计算公式, 则有
首先我们得到第一基本形式系数之间的如下关系: ¯ = ru E ¯ · ru ¯ = ru ∂u ∂v + rv ∂u ¯ ∂u ¯ · ru ∂u ∂v + rv ∂u ¯ ∂u ¯
=E ¯ = ru F ¯ · rv ¯ =E ¯ = rv G ¯ · rv ¯ =E
∂u ∂u ¯ ∂v ∂u ¯ ∂u ∂v ¯ ∂v ∂v ¯
2 E = r2 u = |ρ (u)| ,
F = ru · rv ,
G = r2 v,
r v = b, 且
2 G = r2 v =b ,
F = r u · r v = ρ (u) · b,
所以, 正螺面的第一基本形式为 I = |ρ (u)|2 du2 + 2ρ (u) · b dudv + b2 dv 2 . 65
2
.
我们用 J =
表示参数变换的Jacobi矩阵, 则上述关系式可以写成如下矩阵的形式 ¯ F ¯ E E F = Jt J, ¯ G ¯ F G F
又因为
du =
∂u du ¯+ ∂u ¯ ∂v dv = du ¯+ ∂u ¯
∂u dv ¯, ∂v ¯ ∂v dv ¯, ∂v ¯
即 [du, dv ] = [du ¯ , dv ¯]J t , 于是我们有 ¯ F ¯ E ¯ = [d u I ¯ , dv ¯] ¯ G ¯ F = [d u ¯ , dv ¯]J t E F F G du ¯ dv ¯ J du dv du ¯ dv ¯
b
s=
a b
|r (t)|dt E
a b√ a
= =du dt来自2+ 2F
du dv dt dt
+G
dv dt
2
dt
I
【例 5】 求 xy 平面上, 曲线 x = x(t), y = y (t) 的弧长. 【解】 熟知 xy 平面的第一基本形式 I = dx2 + dy 2 , 因此
t2
s=
t1
√
t2
∂u 2 ∂u ∂v ∂v 2 + 2F +G ; ∂u ¯ ∂u ¯ ∂v ¯ ∂u ¯ ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂u +F + +G ∂u ¯ ∂v ¯ ∂u ¯ ∂v ¯ ∂u ¯ ∂v ¯ ∂u ∂v ¯
2
∂v ∂v ; ∂u ¯ ∂v ¯
+ 2F
∂u ∂v ∂v ¯ ∂v ¯
+G
∂v ∂v ¯
【例 2】 求 xy 平面的第一基本形式. 【解】 可设 xy 平面的参数表示为 r (x, y ) = {x, y, 0}, 则第一基本形式为 I = dx2 + dy 2 . 【例 3】 求球面 x2 + y 2 + z 2 = a2 的第一基本型. 【解】 在球坐标参数下, 球面有表示 r (θ, φ) = {a cos θ cos φ, a cos θ sin φ, a sin θ}; 容易求出它的第一基本形式为 I = a2 (dθ2 + cos2 θdφ2 ). 在球极投影参数下, 球面有表示 r (u, v ) = 2a2 v a(u2 + v 2 − a2 ) 2a2 u , , u2 + v 2 + a2 u2 + v 2 + a2 u2 + v 2 + a2
= [du, dv ] = I. 【注 1】
E F F G
¯ F ¯, G ¯ 一般将 当曲面选取容许参数 (¯ u, v ¯) 时, 所得到的第一基本形式系数 E,
67
与参数 (u, v ) 下的第一基本形式系数 E, F, G 不同, 但从定理2.1的证明可以看出 ¯G ¯−F ¯ 2 = ∂ (u, v ) E ∂ (¯ u, v ¯) 定理 2.2 证明
I=
t1
dx dt
2
+
dy dt
2
t2
dt =
t1
x 2 + y 2 dt.
这与曲线论(或微积分)中平面曲线的弧长公式一致. 68
【例 6】 试计算单位球面 r (θ, φ) = {cos θ sin φ, sin θ sin φ, cos φ} 上, 曲线 θ = log cot(π/4 − t/2) , 0 ≤ t ≤ π/2, φ = π/2 − t 的弧长(该曲线从赤道出发, 围绕北极点呈“龙卷风”形状). 【解】 直接计算得到球面的第一基本形式为 I = sin2 φdθ2 + dφ2 , 而且 1 dθ = , dt sin(π/2 − t) dφ = −1, dt
因此, 所求曲线的弧长为
π/2
s=
0
E
π/2 √ 0
dθ dt
2
+ 2F
dθ dφ dt dt
+G
dφ dt
2
dt
=
√ 2 dt = π/ 2.
2. 求曲面上两条曲线之间的夹角 曲面上两条曲线之间的夹角即两曲线在交点处切向量之间的夹角. 设 C 与 C ∗ 是曲面 S : r = r (u, v ) 上两条交于 P0 (u0 , v0 ) 点的曲线, 并设其参数方程分别为 u = u(t), u = u∗ (t∗ ), 它们在 P0 (u0 , v0 ) 点处的切向量为 ru ru dv du + rv dt dt ,