两边平方得 曲面在一点处的杜邦指标线方程为 N
L 2 x 2 M N x 2 y y 1
曲面上点的分类 由曲面在一点处的杜邦指标线方程知是以P为中 心的有心二次曲线
椭圆点 LN M20
双曲点 LN M20 抛物点 LNM2 0
平点 LM N0
例证:：求rv设证曲曲rv线线s的v切C uv线:srv曲面rv上s的其点切都线是曲抛面物的点方。程为
§3 曲面的第二基本形式 3.1 曲面的第二基本形式 前面研究了曲面的内蕴几何，而与的曲面的形式 无关，本节研究外在形式---曲面的弯曲性
曲面在一点的弯曲性，自然地用曲面偏离此点的 切平面来描述
给出曲面S ：r=r(u,v) 上的曲线C：u=u(s),v=v(s)
P为C上一点对应参数为s，Q为其邻近点（s+△s）
P是C上一点对应参数为s，则对C有
g
gg
r
r
r
r， rk， n， ， n， 共 面 ,设 n， 夹 角 ,则
ggr
r
n
II=rn(ds)2kn(ds)2kcos(ds)2(ds)2I
kcosII Ld2 u2Mdu N dvd2 v
I Ed2 u2FduG dvd2 v
只要在p点及与C相切的曲线，这个值不变，这就是曲面 在P点沿C方向的法曲率
du
k
n
f
( p,
) dv
在P点沿方向dr取线段PN使得 P N
1 |kn |
的点N的轨迹曲面在P点处的杜邦指标线
u P u N u r x r ru y r rv1d r r r1u r r ru d u r r rv d v |k n||d r| |k n||r u d u r v d v |
）(s)2
21!（nr rgg(s0 )(s)2
1
r n
2!
gg
r(ds)2
r gg
r
r
r
2
n r(ds)2 r
nruurdu 2
2r ruv ndudv nrvvdv2
令L nruu , M ruv n, N nrvv有定义
定义：称 II L d u 2 2 M d u d v N d v 2 为曲面的第二基本
s
M r xy n
,
1 p2 q2
t
N r yy n
,
1 p2 q2
其中：
p z ,q z, x y
2z
2z
s ,r , t
xy x2
2z y 2
注1 第二基本形式不是正定型：
2、参数变换下最多差有一个符号：
3.2 曲面上曲线的曲率
给出曲面S ：r=r(u,v)及 S上曲线C：u=u(s),v=v(s)
v rs
uv
s
v
uvg
s
uv
s
vk
uv ,
v rv
uv
s
,
v r
s
s
k
uv 2v
v
g
k
k
uv
vk
v ,
v r sv
k
uv
,
v r
v
v
v 0, n
形式，其中L，M，N为曲面的弯曲系数。
几何意义：曲面的第二基本形式近似地等于P的邻近 点Q到P的切平面中距离的两倍
计算公式1
n r r u r v r u r v , L ( r u u , r u , r v ) , M ( r u v , r u , r v ) , N ( r v v , r u , r v ) |r u r |v E G F 2 E G F 2 E G F 2 E G F 2
{ R cos
sin ， R cos
co s ，0}
r { R sin co s ， R sin sin ， R co s }
E
r
gr
R 2 cos2 ， F
r
gr
0，Байду номын сангаасG
r gr
R2
r
n {cos cos , cos sin ,sin }
r
{ R
cos
cos， R
cos
sin ，0}
r { R sin sin ， R sin co s ， 0}
r { R co s co s ， R co s sin ， - R sin }
所以第二基本形式 II (R co s2d 2R d 2)
对于曲面 r x ,y ,z (x ,y ) 有
r
L r xx n
,
1 p2 q2
定义3.4.2 设点P是曲面上曲线C上一点, k是Cr在点p 的曲率,. 则称 k 为C在点p的曲率向量, 称 k n 为在 曲面S上的点P处沿曲线C的切方向的法曲率.记为 k n
曲面法曲率是曲面上点P和方向 (d ) 的函数 同一点只要方向相同，则法曲率相同
k
n
f
( p,
du ) dv
S上点p的切方向d和曲面的法向确定的平面称为曲面 上一点处沿切方向的法截面 ，法截面 和曲面的交线 就是P点处沿切方向的法截线 对法曲率，是否存在一条曲线使得这条曲线的曲率就 是法曲率呢？只要 cos 1即可，这就是法截线
n
梅尼埃定理：曲面上曲线 在给定点p处的曲率中
心C就是与曲线具有相同切线的法截线 0 在同一
点p的曲线中心 c 0 在曲线C的密切平面上的投影。
0
例 在球面上验证梅尼埃定理: 把梅尼埃定理中的取 为一个球面上的小圆, 取为与该小圆相切于点的大 圆. 则梅尼埃定理显然成立.
3.3 杜邦指标线
法曲率是曲面上点P和方向 dr=rudurvdv 的函数
的第二基本形式
r
解：n { co s co s , co s sin , sin }
ru rv , L ( ruu , ru , rv ) , M ( ruv , ru , rv ) , ( rvv , ru , rv )
EG F 2
EG F 2
EG F 2 EG F 2
r
r u u r r 计算公式2：因为 n d r 0 d n d r n d 2 r 0
uur
所以 IIdndr 可得
u u r u u r u u r L n u r u ,M r u n v ,N n v r v
例1 求球面 r { R c o sc o s,R c o ss i n ,R s i n }
n
Q
p C
M
TP
uuur PQ
r(s0
s)
r(s 0)
g
r(s0 )s
21（! rgg(s0 )
）(s)2，lim s0
0
由Q作 P点的切平面点M,s一定时,|pM|大则曲面弯曲厉害.
记
r uuuur =nMQ
r uuur nPQ
rg n(r(s0
)s
21（! rgg(s0
)
）(s)2
)
21!（nr rgg(s0 )