学习重点：
投影变换问题的提出
投影变换的方法
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一、投影变换问题的提出 求点到直线的距离的三种情况
以图（a）情况为最方便（因为在投影图上可以直接反映它们之间 的距离）。而后面两种情况，就需要用到一些辅助性的作图。
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一、投影变换问题的提出 1.如何求一般位置直线的实长？ 2.如何求一般位置平面的真实大小？ 解决的方法：改变已知形体对投影面 体系的相对位置，以达到简化定位问题和 度量问题的解答。
直线绕铅垂线的旋转
平面绕正垂线的旋转
只有这样才能使旋转的这些点，不改变它们本身之间的 相对位置。
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二、旋转法的六个基本作图问题 1.第一个问题---把一般位置直线旋转成平行线
把一般位置直线AB旋转成 正平线： 把AB旋转到AB∥V面 时，新水平投影a1b1∥OX 轴，此时旋转角为φ ；新 正面投影a1b1必反映AB 实长， a1b1 与OX轴的 夹角必等于AB与H面的倾 角α 。
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二、换面法的基本原理 1.点的一次变换
旧投影体系
V X— H A点的两个投影：a, a
（1）换V 面 原H 面保持不变，以新 的V1 面替换原V 面。 V a'
V1 X1 — 新投影体系 H A点的两个投影：a, a1
a1 '
A X ax a H
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学习内容：
基本原理
基本作图问题
学习重点：
换面法的六个基本作图问题
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一、新投影面选择原则
V1 a V A b B a a1 b1
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
X
H
b
X1
1. 新投影面必须对空间形体处于最有利的解题位置。 2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构 成一个相互垂直的两投影面的新体系。
把一般位置直线旋转成正平线的分析
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二、旋转法的六个基本作图问题 1.第一个问题---把一般位置直线旋转成平行线
（1）把一般位置直线AB旋 转成正平线： （2）把一般位置直线AB旋 转成水平线：
把AB旋转成正平线
把AB旋转成水平线
结论：为求AB对H面的倾角α ，应把AB以铅垂线为轴旋转成正平线；为求 AB对V面的倾角β ，应把AB以正垂线为轴旋转成水平线；
V1
V X

a
ax
. a x1
a1
ax 1
X1
H

a
H
V1 X1
9
二、换面法的基本原理
（2）换H 面 原V 面保持不变，以新 的H1 面替换原H 面。 V a'
旧投影体系
V X— H A点的两个投影：a, a
X1
V X1 — 新投影体系 H1 A点的两个投影：a , a1
点的换面规律： 1) 点的新投影和保留投影 A ax1 H1 的连线垂直于新投影轴； ax X2) 点的新投影到新投影轴 a1 的距离等于被替换的投 影到旧投影轴的距离 。 H a
应该选择哪一个投影面进行变换，要看给出的直线位 置而定。给出的是正平线，则应变换H面；给出的是水平 线，则应变换V面。
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三、换面法的六个基本作图问题 3. 第三个问题---把一般位置直线变换成垂直线
综合第一和第二个问题，就得出把一般位置直线变成 垂直线的方法，必须经过两次变换。
1.点绕铅垂线旋转
设空间Ａ点绕一铅垂线Ｏ旋转，则它运动轨迹是 一个圆周，此圆周为一水平圆，在Ｈ面的投影为一 圆，在Ｖ面上则成为一段平行于ＯＸ轴的直线。
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一、基本原理
如右下图：给出Ａ点及铅垂线Ｏ的两面投影，求作Ａ 点绕此铅垂线向反时针方向（对Ｈ面看）旋转φ角后的新投 影。 作法如下：
04
第四章 投影变换
part
目录
CONTENTS
1
第一节 投影变换的目的和 方法
4
第五节 以平行线为轴的旋 转法 第六节 度量问题和定位问 题举例
2
3
第二节 变换投影面法
5
第三节 旋转法
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第一节 投影变换的目的和方法
学 习 内 容 及 学 习 重 点
学习内容：
投影变换的目的 投影变换的方法
把正垂面旋转成水平面
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二、旋转法的六个基本作图问题 6.第六个问题---把一般位置平面旋转成平行面
综合第四和第五个问 题，就可得出把一般位置 平面旋转成平行面。
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
4
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第三节 旋转法
学习内容：
学 习 内 容 及 学 习 重 点
基本原理 基本作图问题
学习重点：
点、直线、面的旋转 旋转法的六个基本作图问题
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一、基本原理
当用旋转法改变已知形体和投影面的相对位置 时，投影面体系是不变的，而是把已知形体绕一固 定的轴线旋转。作为旋转轴的直线，通常是选择垂 直线或平行线。
作法如下：
（1）以o为圆心，以oa为半 径，向顺时针方向旋转φ 角， 得A点的新水平投影a1。
（2）过a1向下引铅垂联系线， 与过a引出的平行于OX轴的直 线相交，得A点的新正面投影 a1。
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一、基本原理 ３.直线和平面的旋转
旋转直线可以简化 为旋转此直线上的两个 点，旋转平面可以简化 为旋转此平面上不属于 一条直线上的三个点； 但是必须遵守绕同一条 轴、按同一方向、旋转 同样大小的一个角度 （简言之同轴、同向、 同角）的原则。
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二、旋转法的六个基本作图问题 2.第二个问题---把平行线旋转成垂直线
选择旋转轴时应根据给出的直线的位置而定。给出的 是正平线，应选择正垂线为轴，旋转后成为铅垂线；给出 的是水平线，则应选择铅垂线为轴，旋转后成为正垂线； 在空间把正平 线AB旋转成铅垂线 A1B1（A1重合于A） 的情况。只有以正 垂线为旋转轴，才 能把它变成铅垂线。 作法如右图。
（1）以o为圆心，以oa 为半径，向逆时针方向 旋转φ 角，得A点的新 水平投影a1。 （2）过a1向上引铅垂联 系线，与过a引出的平 行于OX轴的直线相交， 得A点的新正面投影a1。
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一、基本原理 2.点绕正垂线旋转
设空间Ａ点绕一正垂线Ｏ旋转，则它运动轨迹是一个圆周，此圆 周为一正平圆，在Ｖ面的投影为一圆，在Ｈ面上则成为一段平行于ＯＸ 轴的直线。 如右下图：给出Ａ点及正垂线Ｏ的两面投影，求作Ａ点绕此正垂 线向顺时针方向（对Ｖ面看）旋转φ角后的新投影。
V H
a b a
.
H X1 V1a1●
b1
●
a2 (b2 )

X2轴的位置？ 与a1b1垂直
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三、换面法的六个基本作图问题 4. 第四个问题---把一般位置平面变换成垂直面
空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那 么该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法： 一般位置直线 在平面内取一条 变换成投影面垂直 投影面平行线，经一 线，需经几次变换 次换面后变换成新投 能否只进行一次变换？ ？ 影面的垂直线，则该 平面变成新投影面的 垂直面。 思考： 若变换H面，需在面内 取什么位置直线？
把一般位置平面旋转成正垂面
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二、旋转法的六个基本作图问题 5.第五个问题---把垂直面旋转成平行面
把正垂面旋转成水平面， 只要把此平面绕一正垂线为轴 旋转，直到平行H面。这种作 图方法以表明在右图中。 同理，欲将铅垂面旋转成 正平面，只要把此平面绕一铅 垂线为轴旋转，直到平行V面。
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X1 ax1
a'
a1
XV H a
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二、换面法的基本原理 2.点的两次变换
V
X2
H2

a2

ax2 A

a
V1 按次序更换
a1
ax X

a
H
ax1 X1
⑴ 新投影体系的建立
V1 X — 1 先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系: H V 1 — 再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系: X2 H 2
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二、换面法的基本原理
⑵ 求新投影的作图方法
a


X V ax
H
作图规律 a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1

ax1
.
a2
a
ax2
.
H X1
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V1
a1

H2 V1
X2
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三、换面法的六个基本作图问题 1. 第一个问题---把一般位置直线变换成平行线 作图方法： （1）作新轴O1X1∥ab； （2）作出两端点A和B 的新投影，得a1b1。
把一般位置直线AB旋转成垂直线
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二、旋转法的六个基本作图问题 4.第四个问题---把一般位置平面旋转成垂直面
把一般位置平面旋转成正 垂面，可归结为把平面内的一 条水平线旋转成为正垂线。这 种作图方法以表明在右图中。 同理，把一般位置平面旋 转成铅垂面，可归结为把平面 内的一条正平线旋转成为铅垂 线。