G CA G CA G G
( h1 b1 h 2 b 2 h 3 b 3 ) ( ( h1 b1 h 2 b 2 h 3 b 3 ) (
CA CB G 面 ABC
a1 h1 a2 h2

a3 h3 a3 h3
a

a
a
2
i i
j a 2 a 2
j k j k


3
Ω
1 2
a
3
a
3
1
i a
2
k a 2 a 2
a
3

a 2 a 2

i
a 2

2 j a 2

2 a 2
2 k 2 a a 2 2
a
a 2 2

a
2
2
j
a
2
2
k
15
固体物理
固体物理学
a2 a3
对称操作是指能使晶体自身重合的动作。 与晶体宏观对称性相对应的是点对称操作 （操作过程中保持空间中至少有一个不动点的 对称操作），包括旋转、中心反演，镜面反映
及它们的联合操作。
对称操作的数目越多，晶体的对称性越高。
21
固体物理
固体物理学 举例：立方晶体的对称操作
绕三个立方轴转

2 , , 3 2
i,j=1,2,3
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量 具有相同的量纲。
7
固体物理
固体物理学
2.3位矢之间关系
正格矢： 倒格矢： 二者的关系：
R l l1 a 1 l 2 a 2 l 3 a 3
G
h
h1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3
h
G
R
l
2 n
固体物理
固体物理学
§1.5 晶体对称性
17
固体物理
固体物理学
晶体的对称性是指晶体经过某种操作后能够自身
重合的特性。
晶体的对称性是晶体内部原子周期性排列的结果。
晶体的对称性包括宏观对称性和微观对称性，后
者也称为晶格的对称性。宏观对称性是微观对称
性的表现。
本节重点介绍晶体的宏观对称性，并依据宏观对 称性对晶格进行分类。
2π Ω
a
2
2
j
a
2
2
k
Ω
1 2
a
3
b1
a
2
a3

2π a
j k
2π a
a
同理得：
b2 2π a 2π a
倒格矢：
b1
i k i j
j k
i k
b2
2π
b3
b3
2π a
i j
16
体心立方的倒格子是边长为4/a的面心立方 。

12
固体物理
固体物理学
h 1 h 2 h 3）的面间距 2 d ，其中 G h h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3 Gh
晶面族（
对于简单立方晶格：
2 Gh a
2 2
2 2 2 b1 i ,b2 j ,b3 k a a a
设G
h
h1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3
(3)
a i 和 b j 需满足以下关系
a i b j 2
ij

2 ， i j 0， i j
3
固体物理
固体物理学
a i b j 2
ij

2 ， i j 0， i j
5
固体物理
固体物理学
二、倒格子与正格子之间的关系
2.1 数学描述 空间 基矢
a1 , a 2 , a 3
a2 a3 b 1 2 a3 a1 b 2 2 a1 a2 b 2 3
位置矢量
R l l1 a 1 l 2 a 2 l 3 a 3
4
固体物理
固体物理学 练习：
a2 a3 b1 2 a 1 a 2 a 3 a 3 a1 倒格基矢定义为： b 2 2 a 1 a 2 a 3 a1 a 2 b 3 2 a 1 a 2 a 3
) b1 a 1 b 3 a 3 0 ) b2 a 2 b3 a 3 0

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固体物理
固体物理学
d 2 Gh
(2) 晶面族(h1h2h3)的面间距d为
证明：由前面的证明可知，原点 到面ABC的距离即为所求面间距 (设为d)。
d
d OA cos 又 OA G h OA G h cos d OA G Gh a1 h1 ( h1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3 ) 1 Gh 2 Gh
基矢量的
b1 ( a 2 , a 3 )
b1
， b2
， b3
具体形式：
令 b1 c ( a 2 a 3 )
2 c a1 a 2 a 3
a 1 b1 c a 1 ( a 2 a 3 ) 2
a2 a3 b1 2 a 1 a 2 a 3 a3 a1 b2 2 a 1 a 2 a 3
得
类似地，可求得 b 2 和 b 3
a1 a2 b3 2 a 1 a 2 a 3
18
固体物理
固体物理学
一、晶体的宏观对称性：
晶体的宏观对称性不仅表现在几何外形上，还
反映在晶体的宏观物理性质中。
例如：介电常数一般为二阶张量
( , x, y, z )
电位移
D E

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固体物理
固体物理学
立方对称的晶体
六角对称的晶体
// 0 0 0 0 0
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固体物理
固体物理学
总结：引入倒格子（倒易点阵）的意义：
1. 利用倒易点阵可以方便而形象地表示晶体的衍射几何学。 倒格子中的一格点与正格子中的一组晶面相对应。如：单
晶的电子衍射图相当于一个倒易点阵在二维平面的投影，
每一个衍射斑点与一个倒易阵点对应。因此，倒易点阵是 晶体衍射工作中不可缺少的分析工具。 2. 倒易矢量也可以理解为波矢k，通常用波矢来描述电子在晶 体中的运动状态或晶体的振动状态。由倒易点阵基矢所张
( 2 )
3


2
3
a1 (a 2 a 3 )
证明提示：将 b , b , b 表达式代入后，利用矢量运算即可证明。 1 2 3



( 2 )
3

3
[ a 2 a 3 ] ([ a 3 a 1 ] [ a 1 a 2 ])
依据： A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C 有 [ a 3 a 1 ] [ a 1 a 2 ] {[ a 3 a 1 ] a 2 } a 1 {[ a 3 a 1 ] a 1 } a 2 a 1 所以

0
0
D 0E
D// // E//
D E
—— 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象
—— 立方晶体的光学性质则是各向同性的 ——已知晶体的对称性，可以简化物理常数的测量
20
固体物理
固体物理学
晶体宏观对称性的描述
列举晶体的全部对称操作：
求简单立方晶格l1a 1 l 2 a 2 l 3 a 3
、a 3
的集合确定一组布拉菲格点
a 1 、a 2 ——正格子，
为正格子的基矢。
格矢G h h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3 的集合也确定一组布拉菲格点 b 3 为倒格子的基矢。 b2 、 ——倒格子， b1 、


( 2 )
3

3
[a 2 a 3 ] a1
( 2 )
3

9
固体物理
固体物理学
2.5 正格子中(h1h2h3)晶面族与倒格矢Gh的关系
(1) 倒格矢 的晶面族正交。 即
G h1 b1 h 2 b 2 h 3 b 3
与正格子中密勒指数为(h1h2h3)
G h1 b1 h 2 b 2 h 3 b 3
沿晶面族(h1h2h3)的法线方向。
证明提示：设晶面ABC是晶
面族（h1h2h3）中最靠近原
点的晶面，截距分别为
a1 h1 , a2 h2 , a3 h3
思路：证明 G 同时垂直于 CA 和 CB 即可
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固体物理
固体物理学 简单证明如下：
G h1 b1 h 2 b 2 h 3 b 3 a3 a1 CA h1 h3 a3 a2 CB h2 h3
固体物理
固体物理学
§1.4 倒格子
倒格子并非物理上的格子，只是一种数学处理方法。
倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶格振动
和固体电子论等有关问题的有力工具。
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固体物理
固体物理学
一、倒格子的引入（从X射线衍射入手）
点O和P为一组晶面上两个格点 S0：入射线方向上的单位矢量 S：衍射线方向上的单位矢量 取格点O为坐标原点，P点其位置矢量：