五
归纳总结 反思提高
1.平面图形的镶嵌的概念。
2.平面图形镶嵌的条件。
3.常见的平面镶嵌的方案。 4.体会分类的数学思想及从特殊到一般，从简单到复 杂的研究问题的方法。
中考链接 实战训练
1. 如果仅用一种多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能进行平面镶嵌的是
【
】
B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
七
镶嵌的图案．
布置作业：
1. （必做）根据所学知识，请你设计一个用正多边形进行
2.（选做）现有边长相等的正三角形、正四边形、正六边 形若干个，探究能否同时用这三种图形进行镶嵌？如果 能写出方案，如果不能，说明理由。
希望同学们学会:
关注身边的数学
关注数学中的美
人民教育出版社八年级上册数学教材第十一章数学活动
平面图形的镶嵌
一
课前准备
温故知新

180 1.多边形的内角和公式是 （n 2） . 2.在下表中填入相应正多边形每个内角的度数。
正多边形的 边数
一个内角的 度数
3
60

4
90

5

6

8

12
150

108 120 135
二
创设情境
引入新课
只选用正八边形能进行平面镶嵌吗？
为什么？正十边形呢？
类比探究 发现规律
下表给出了一些正多边形一个内角的度数，请
判别仅选用某一种正多边形，能否进行镶嵌？
正多边形的 边数
12

15

18

20

30

36

一个内角的 度数
150 156 160 162
168 170
1.正三角形、正方形、正六边形能单独进行镶嵌，正 五边形、正八边形等其他的正多边形都不能单独进行镶嵌.
150 2 60 360


1.边长相等的两种正多形进行平面镶嵌的方案有4种：
①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形 ③正三角形与正十二边形；④正方形与正八边形。 2.进行平面镶嵌的条件是：在同一拼接点处的各角之 和恰好为 360 ，拼接在一起的两边 相等 。

运用结论 拓展探究
3 2
3 1 2
1
3 1 2 2
2
1
1 2
1
2 1 3
2 1
3 2 1 3 3 2
3
2
3 2
3
2
1 3
1
1
2 1 3
1
2 1 3
1
2 1 3
3
3
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
3
2
1 3 1
2
1
3
2
1 3 1
3
2
1 3
1
2
1 3
1
3
2
3
2
探究2 ：
2）用若干个形状、大小相同的任意四
边形能进行平面镶嵌吗？
以小组为单位进行探究，能进行镶嵌的展示 结果，不能进行镶嵌的说明理由！
60 3 90 2＝360


两种正多边形镶嵌的条件： 1.拼接在同一顶点处的各角之和恰好为360 °；如
果用a，b分别表示两种正多边形的个数，用x、y分别表示两种 正多边形一个内角的度数，则ax + by =360°.
2.拼接在一起的两边相等。
同时选用边长相等的正方形与正六
边形能进行平面镶嵌吗？
在拼接点处有 6 个 角，这些角之和是三角 形内角和的 ２ 倍，等 于 360 °。
3
3
1 2 2 2 3 1
1
3
1 1 3
起的两条边长 度是 相等 的。
6拼接在一
若干形状、大小相同的任意三角形可以 进行平面镶嵌。
3
1 3 2 2 1 3
3
2
3 2
3 2
1
2
1 3 2
2 1 3
1
2
3
2 1 3 2 3
3 1 2
2 1 1 3 3 若干形状、大小相同的任意三角形可以 3 3 1 2 1 1 2 2 进行平面镶嵌。 2 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1 1
3 2
若干形状、大小相同的任意三角形可 以进行平面镶嵌。
∵ ∠1+∠2+∠3=180° ∴2(∠1+∠2+∠3)=360°
2 2 2 3 1
生活中常常用瓷砖严丝合缝、不留空隙地铺满墙面 或地面。从数学的角度看，就是用几何图形不留空隙、不 重叠地铺满平面的一部分，这就是平面图形的镶嵌。
三
探究1：
实践探究
合作交流
从正三角形、正方形、正五边形、正六边形中选用其 中一种镶嵌，哪几种正多边形能够进行平面镶嵌？
前后4人为一个小组，用准备的学具先拼一拼，然后说一说为什么能进 行镶嵌或者不能进行镶嵌？
进一步想一想用三种边长相等的正多边形能否镶嵌
成一个平面图案？请同学们课后思考。
四
学以致用 解决问题
学校的实验楼教室地面需要进行镶嵌装修，请你 结合所学的知识，同桌讨论后设计出你认为可行的镶 嵌方案。 同桌讨论后进行全班交流，比一比谁的设计方案
多！
利用计算机，我们可以设计出更多、更漂 亮的镶嵌图案，请欣赏！
A．正三角形
2. 有以下边长相等的三种图形①正三角形②正方形③正八边形.选其中两种图 形镶嵌成平面图形,请你写出两种不同的选法，用序号表示图形 或 。
六
堂清测试 及时反馈
1.如果只用一种正多边形进行镶嵌，在每个拼接点周围都有6个正多边 形，则该正多边形的边数为【 】 A.3 B.4 C.5 D.6 2.用两种边长相等的正多边形进行镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边 形是【 】 Ａ.正方形 Ｂ.正六边形 Ｃ.正十二边形 Ｄ.正十八边形 3.现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、 正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖进行地面镶 嵌，选择的方式有【 】 A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
2.如果能用某种正多边形单独进行镶嵌，那么它一内
角的度数是360的约数。
（用数学式子表示为：ax =360°，x 表示正多边形的每一
个内角的度数，a 表示正多边形的个数。）
探究2 ：
1）用若干个形状、大小相同的任意三
角形能进行平面镶嵌吗？
以小组为单位进行探究，先用准备好的学具 拼一拼，然后议一议为什么？
探究3：
从下面边长相等的正多边形中选择两种进行
平面镶嵌，你会选择哪两种？
①
②
③
有三种选择：①②、①③、②③
①②、①③、②③这三种方案都能进行平 面镶嵌吗？
①
②
③
请大家以小组为单位，利用学具对这三种方 案分别进行探究。
如果能进行镶嵌的，拼出图形并说明理由；如果不 能进行镶嵌的说明理由。
60 4 120 ＝ 360 60 2 120 2＝ 360
60° 60° 60°
60°
60°
60°
60 6＝360


90°
90 4＝360


120 3＝360


60 6＝360
90 4＝360
120 3＝360
如果一种正多边形能单独进行平面镶嵌，那么它的一 个内角的度数是360的约数。 如果用x 表示正多边形的一个内角的度数，a 表示正 多边形的个数，那么上面的结论可表示为：ax =360°。
4 3 1 2
若干形状、大小相同的任意四边 形可以进行平面镶嵌。
4
3
1 2 3 4
2
1
3 4 3 2
2 1
1பைடு நூலகம்
4
∠1+∠2+∠3+∠4=360°
1. 形状、大小相同的任意三角形可以进行平 面镶嵌。 2. 形状、大小相同的任意四边形可以进行平 面镶嵌。 3. 镶嵌时，在某一拼接点处拼接在一起的各 角之和为360 °。拼接在一起的两条边相等。
90 ° 120 ° 150 °
火眼金睛 明察秋毫
判断：
1.用边长相等的正方形和正八边形能否进行镶嵌？ 2.用边长相等的正三角形和正十二边形能否进行镶
嵌？
请同学们通过动手计算做出判断？并与同伴交流你的结论！
正方形与正八边形可以进行镶嵌
135 2 90 ＝360


正三角形与正十二边形可以进行镶嵌