第六章习题解答习题6.11、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）,()x x y V f y y αα-⎛⎫⎛⎫=∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2,()x y V f y x y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭； （4）0,()x V f y αααα⎛⎫=∈=+⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
（5）0,()x V f y ααα⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
解：（1）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有 （2）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有 （3）不是。
因为而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()f f f αβαβ+≠+（4）不是。
因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠（5）不是。
因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n nV P⨯=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2n 维线性空间，设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义()f M MA AM =+证明，f 是V 的一个线性变换。
证明：,,M N V k F ∀∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。
3、设3V R =，(,,)x y z V α=∈，定义证明：f 是V 的一个线性变换。
证明，111222(,,),(,,),x y z x y z k F αβ''∀==∀∈ 所以 f 是V 的一个线性变换。
习题6.21、,f g 是2R 的线性变换，2(,)x y R α=∈使0()(,),()(,)f x y g y x αα=+=-，求2253,,,,,f g f g gf fg f g +-解：0()()()()(,)(,)(,)f g f g x y y x x x ααα+=+=++-= 2、设f 是2R 的线性变换，对2R α∈有 求()P f ，其中21()P t t t =++。
解：记e 表示恒等变换，则22()()()()()()P f f f e f f ααααα=++=++3、证明线性变换的算律（1）——（3）、（5）——（8）、（9）——（11）证明：（1）(),()V f g V ααα∀∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（1）有()()()()()()()()f g f g g f g f f g g fαααααα+=+=+=+∴+=+（2）(),(),()V f g h V αααα∀∈⇒∈由§4.1的向量运算的算律（2）有（3）()V f V αα∀∈⇒∈，定义变换0：00()α=，显然这个变换是线性变换，由§4.1的向量运算的算律（3）有（5）()V f V αα∀∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（5）有 （6）,,()V k l F f V αα∀∈∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（6）有 （7）,,()V k l F f V αα∀∈∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（7）有 （8）,(),()V k F f g V ααα∀∈∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（8）有 （9）(),(),()V f g h V αααα∀∈⇒∈，则[()]()[()()](()())h f g h f g h f g αααα+=+=+（本节定义1）所以 ()h f g hf hg +=+（10）(),(),()V f g h V αααα∀∈⇒∈，则所以 ()()h fg hf g =（11）,(),()V k F f g V ααα∀∈∈⇒∈，则 所以 ()()k fg kf g =其次 [()]()(())((())()()f kg f kg k f g k fg αααα=== 所以 ()()f kg k fg =4、设f 是2R 的线性变换，123311173(,),(,),(,)ααα===，如果120()(,)f α=，201()(,)f α=，求3()f α。
解：因为12322311173(,)(,)(,)ααα+=+==所以 312122222001()()()()(,)(,)f f f f ααααα=+=+=+5、设()f L V ∈，1110()m m m m P x a x a xa x a --=++++是F 上的多项式，证明1110()()m m m m P f a f a f a f a E L V --=++++∈，称()P f 是线性变换f 的多项式。
证明：由线性变换的乘法定义和性质，对自然数12,,,m ，有2,,,()m f f f L V ∈，再由数乘定义与性质，对110,,,m m a a a a F -∈，有1110,,,()m m m m a f a f a f a E L V --∈再由线性变换的加法定义有1110()()m m m m P f a f a fa f a E L V --=++++∈习题6.31、求矩阵A 的特征根和特征向量：（1）311242113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）110010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；（3）110430100A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭解：（1）311202242242113113||E A λλλλλλλλ------=---=---------所以，特征根为2，2，6对于2λ=111111222000111000()E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，则线性无关特征向量为对于6λ=得线性无关特征向量3121(,,)η=（2）3110010101||()E A λλλλλ---=-=-- 特征根为三重根1，则010000000()E A λ-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，线性无关特征向量为12100001(,,),(,,)ηη''==（3）22110430234110||()()E A λλλλλλλλλ+--=-=--+=-- 特征根为0、1、1对于0λ=，线性无关特征向量为1001(,,)η=对于1λ=线性无关特征向量为1121(,,)η=2、设A αλα=，证明(ttA t αλα=是正整数）。
证明：对t 用数学归纳法：t=1显然成立，设命题对1t -成立，则命题对一切自然数都成立。
3、设n 阶方阵A 满足2A A =（此时A 称为幂等矩阵）。
证明A 的特征根是1或0。
证明：设A 的特征根为λ，对应的特征向量为α，那么22()()A A A A A ααλαλαλα====，但2A A =所以有210()λαλαλλα=⇒-=，但0α≠，所以10()λλ-=，从而A 的特征根是1或0。
4、证明A 与A '有相同的特征根。
证明：|||()|||E A E A E A λλλ''-=-=- 所以A 与A '有相同的特征根。
5、设A αλα=，01()m m x a a x a x ϕ=+++，证明()()A ϕαϕλα=，其中01()m m A a E a A a A ϕ=+++。
证明：由习题2及矩阵的运算得：6、设A 是n 阶方阵，A 的特征根为12,,,n λλλ，证明：（1）A 可逆当且仅当0123,,,,,i i n λ≠=；（2）当A 可逆时，求1A -的特征根。
解：（1）由定理12||n A λλλ=，所以A 可逆当且仅当0123,,,,,i i n λ≠=。
（2）1111|||||()|E A AA A A A E λλλλ-----=-=- 因此，如果λ是A 的特征根，那么1λ-是1A -的特征根。
于是1A -的特征根是11112,,,n λλλ---7、设A αλα=，A βλβ=，则对任意数k ，l ，有()()A k l k l αβλαβ+=+ 证明：()()A k l kA lA k l k l αβαβλαλβλαβ+=+=+=+习题6.41、求下列矩阵的特征根和特征向量，并指出哪个矩阵与对角矩阵相似，写出满足相似关系的可逆矩阵和对角矩阵。
（1）120020211A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭；（2）320131571A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭；（3）112336224A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭解：（1）212002012211||()()E A λλλλλλ---=-=---特征根为1，2 对于1λ=，020100010010210000()E A λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线性无关特征向量为1001(,,)η=对于2λ=，线性无关特征向量为1205(,,)η=- A 不能对角化。
（2）232013131107321571||()()()()E A λλλλλλλλ--=-=-+++--+-+特征根为1，2 对于1λ=，220101121011572000()E A λ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭线性无关特征向量为1111(,,)η=对于2λ=120102111011573000()E A λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭线性无关特征向量为1211(,,)η=-A 不能对角化。
（3）特征根为0，2 对于0λ=，线性无关特征向量为12201021(,,),(,,)ηη=-= 对于2λ=，112201356023222000()E A λ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭线性无关特征向量为1132(,,)η=可以对角化，满足相似关系的可逆矩阵为201023112T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，对应的对角矩阵为：1000000002T AT -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2、设142034043A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求4A ；解：2142034125155043||()()()()()E A λλλλλλλλλ----=+-=--=--+--特征根为1，5，－5。
对于1λ=042010044001042000()E A λ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，线性无关特征向量为1100(,,)η=；对于5λ=442202084021042000()E A λ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，线性无关特征向量为2212(,,)η=；对于5λ=-642321101024012012048000000()E A λ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，线性无关特征向量为3121(,,)η=-；令121012021T ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则1155T AT -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭所以 141625625T A T -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3、设A 是n 阶方阵，证明：（1）A 可逆当且仅当A 的每个特征根都不等于0；（这是习题6.3的第6题） （2）若A 可逆，λ是A 的特征根，则1λ-是1A -的特征根；（这也是）（3）A 与对角矩阵相似当且仅当1A -亦是。