3.2《复数的四则运算》教案（2）
教学目标
1、理解复数代数形式的四则运算法则。
2、能运用运算律进行复数的四则运算。
教学重难点 复数的除法运算 教学过程： 一、复习巩固：
1、复数加减法的运算法则：
(1)运算法则：设复数z 1=a+bi,z 2=c+di ，那么：z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i ；z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i 。
(2)复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。
2、复数的乘法：
(1)复数乘法的法则：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi 2=(ac-bd)+(bc+ad)i 。
(2)复数乘法的运算律：
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。
即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3。
3、共轭复数的概念、性质：
定义：实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。
复数z =a +bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即
设z =a +bi (a ,b ∈R ),那么2-2z z a z z bi +==；。
12121212,z z z z z z z z +=+-=- 4、i 的指数变化规律：
4n i =1，41n i +=i ，42n i +=1-，43n i +=i -
【巩固练习】
1．计算:(1+2 i )2
_____=i 34-+
2．计算i 3
(1)+_____=-2+2i
3．若z C ∈且z i (3)1+=,则z _____=.-3-i
4．已知m R ∈且m i R 3
()+∈,则m _____.=33
±
5．已知z i 1322
=-
+,求z z z 322339+++的值.
8
6．计算: i +2i 2
+3i 3
+…+2008i 2008
;
解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2005i-2006-2007i+2008)=502(2-2i)=1004-1004i. 7.已知复数2
2
2(32)(R)x x x x i x +-+-+∈是420i -的共轭复数，求x 的值。
解:因为420i -的共轭复数是420i +，根据复数相等的定义，可得2224,
3220.
x x x x ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩
解得32
36
x x x x =-=⎧⎨
=-=⎩或或，所以3x =-。
二、问题引入：
1i =2i
i i
=-； 11i
i +=
-2(1)2(1)(1)2
i i i i i +==+-； 11i
i -=
+2(1)2(1)(1)
2i i i i i --==--+。
三、知识新授：
1、复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为： ()().a bi
a bi c di c di
++÷++或
2.除法运算规则：
①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )， 即(a +bi )÷(c +di )=x +yi
∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i . ∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .
由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=++=.
,2222d c ad bc y d
c b
d ac x
于是有:(a +bi )÷(c +di )=
2
222d
c ad
bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将
di
c bi
a ++的分母有理化得：
原式=
22
()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i
c di c di c di c
d ++-+⋅-+-==++-+ 222222
()()ac bd bc ad i ac bd bc ad
i c d c d c d ++-+-=
=++++.
∴(a +bi )÷(c +di )=
i d
c ad
bc d c bd ac 2
222+-+++ 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的
23+的对偶式
23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化.
把这种方法叫做分母实数化法
四、例题讲解：
例1.计算(12)(34)i i +÷-
解：(12)(34)i i +÷-1234i i
+=-(12)(34)(34)(34)i i i i ++=-+22236485103425i i i i
+++-+==+ 解法提炼：先写成分式形式，然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)。
化简成代数形式就得结果。
例2、复数z 满足(12)43i z i +⋅=+，求z 。
解：43(43)(12)1052,12(12)(12)5
i i i i
z i i i i ++--=
===-++- ∴z=2+i.
五、课堂练习： 1、计算:
⑴(7)(34)i i +÷+ ⑵21(
)1i i +- ⑶11
3232i i -
-+ 答案：（1）1-i （2）-1（3）
4
13
i 注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、化简等。
2.若132x i =
-,则21
x x
=-_____.-1 (整体代入法妙) 又如计算32221
x x x
x -+-=132i --
3.已知复数2(1)3(1)2i i z i
++-=+,且2
1z az b i ++=+(a b R ∈、),则a +b =_____. 1
六、拓展研究:
例3、下列命题中正确的是（ 2 ） 例4、下列命题中的真命题为（ D ） 例5: 10050,12
z z z =-
++已知求的值。
解：2
2
42(1),()12
i z i z i -==-=-=- 例6. ⑴、已知复数z 的平方根为 3 + 4i ,求复数 z ;
⑵、求复数 z =3 + 4i 的平方根.
解：2
(1)(34)724z i i =+=-+由题意，知：；
例7、设关于x 的方程2
(tan )(2)0()x i x i R αα-+-+=∈，若方程有实数根，求锐角α
的值，并求出方程的所有根。
解：x t =设方程的实数根为， 八、课堂小结：
1、定义: 把满足(c +di )(x +yi ) =a +bi (c +di ≠0) 的复数x +yi 叫做复数a +bi 除以复数c +di 的商, 其中a,b,c ,d,x,y 都是实数, 记为()().a bi
a bi c di c di
++÷++或
2、222222
()()
()()
()()()a bi c di c di c di a bi a bi c di c di ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++÷+=
=
+++-+-==++--++++
3、转化思想：
4、整体代换思想： 九、课后作业：
课本 P111 习题3.2 No.3、7、8； 课本 P118 复习题 No.2、3.。