杭州二中 2018 学年第一学期高一年级期末考
数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. cos 600︒ = （ ）
A. 12
B. -12
C.
D.
2.集合 A = {- 1，0，1}，B = {y y = sin x , x ∈ R }，则
A. A ⋂ B = B
B. A ⋃ B = B
C. A = B
D. C R A = B
3.下列函数在 (0，+ ∞)上单调递增的是（
） A. f ( x ) = x 3 - x 2 B. f ( x ) = tan x C. f ( x ) = ln x - x D. f ( x ) =
1x x +
4.将函数 y = sin(2 x +3π
) 的图像向右平移6π
个单位后，横坐标不变，纵坐标变成原来的 2
倍，则所得函数的解析式为（ ）
A. y = 2 cos 2 x
B. y = 2 s in(2 x +
6
π) C. y = 12sin 2 x D. y = 2 s in 2 x 5.已知向量a , b 满足1,2a b == ，且a , b 的夹角为150 ，则向量 a 在向量 b
的投影为（）
B.
D. 6.已知函数 f ( x ) =1x ++1x -, 若 f (a ) = f (b ) ，则下列一定不正确的是（）
A. ab > 1(a ≠ b )
B. a + b = 0
C. (1 - a ) (1 - b ) > 0
D. a = b
7.已知[0,]2
πθ∈，若θ满足不等式33cos sin cos ln
sin θθθθ-≥，则θ的取值范围是（） A. [,)42ππ B. (0,]4π C. [,]43ππ D. [,]42ππ
8.函数 f ( x) = ln(1- 2 sin(
3π-2 x )的单调递减区间是（ ） A 5(,)1212k k ππππ-+
, k ∈ Z B. 711(,)1212
k k ππππ++, k ∈ Z C. [,)124k k ππππ-+, k ∈ Z D. 511(,)1212k k ππππ++, k ∈ Z 9.如图，四边形 ABCD 满足2,1AB CD ==，M , N 分别是 BC , AD 的中点， BA , C D 的 延长线与 MN 的延长线相交于 P , Q 两点，PQ AB = PQ DC + 3, PQ = λMN ,则实数λ的值是（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -1
10.定义M1 是函数f (x) =e x -e的零点，M2 =log4 27·log81 25·log625 8 ，M 3= | sin x2 |(x≠
0) ，则有（）
A. M2 <M1 <M3
B. M1 <M2 <M3
C. M3 <M2 <M1
D. M2 <M3 <M1
二、填空题(本大题有7 小题，每小题4 分，共28 分)
11.已知向量OA=(-1,3) ，OB=(1,2) ，OC=(2,-5) ，若G 是∆ABC 的重心，则OG的坐标是
12.函数y =sin1
2sin
x
x
-
-的值域是.
13.设平面向量a ，b 满足2a +b =(3,3) ，a - 2b =(-1,4) ，若a ，b 的夹角为θ，则cosθ=
14.函数
tan,0
()2
sin,0
x x
f x
a x x
π
π
⎧
--<<
⎪
=⎨
⎪≤≤
⎩
，若函数g (x)=f (f (x))恰有3 个不同的零点，则
实数a的取值集合为
15.边长为2 的等边三角形ABC 所在的平面上有点O，若0
OA OB =，则OA OC的取值范围是
16.定义函数f (x )=1
3sin4x +
1
4 cos4x ，若f
(θ)=
1
7，则tanθ=
17. 关于x 的不等式x2 -a x+ 4 < 0 的解集中仅含有4 个不同的整数，则实数a 的取值范围是.
三、解答题
18. (本题满分 10 分)已知向量a , b 的夹角为 60︒ ，且1,2a b ==
（1）在指定的位置用尺规作出向量 2a -12b （2）求a -b 与 2a +b 的夹角的余弦值；
（3）求b a λ- (λ∈ R ) 的最小值.
19. (本题满分 10 分) 定义函数 f ( x ) = 3 s in(2 x -
3π)
（1）求函数 y =()f x 的最小正周期；
（2）将函数 y = f ( x ) 的图像向左平移ϕ(ϕ> 0) 个单位得到 y = g ( x ) 的图像关于 y 轴对 称，求ϕ的最小值；
（3）判断方程()f x = log 2x 的根的个数（不需要写出解答过程）
20. 定义在 R 上的单调函数 f ( x ) 满足： f ⎣⎡ f ( x ) - x x ⎦⎤ = 0 .
（1）求证： f ( x ) = x x ；
（2）若 f (sin θ) + f θ)
< 0 ，求θ的取值范围； （3）对任意的 x ≥ 1有不等式 f ( x + m ) + mf ( x ) < 0 恒成立，求实数 m 的取值范围.
21. 定义函数f (x)=ax2 +bx +a .
（1）若方程f (x)=x 有唯一的根，求a,b 满足的关系式；
（2）若a =1,b=-3，求函数g (x)=x
（3）若对任意的x∈不等式0 ≤ f (x)≤4x恒成立，求实数a +b 的取值范围.。