河流动力学基础
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悬移质单宽输沙率的概念 – 垂线积分型:均匀沙的Einstein公式 –
垂线平均型:维利卡诺夫公式 和 Bagnold公式
垂线积分型公式: Einstein悬移质重量输沙率理论
此理论中悬移质的垂线分布采用 Rouse 公式；积分下限取 a=2D(即推移层 的厚度，为二倍粒径) ；纵向流速的垂线分布采用对数型统一公式(2-35)：
悬移质部分 Sv
a=2D 推移质单宽输沙率 gb ub Sva=?
1 ub¯1 gb
单位时间内推移质 的平均运动距离 推移层 厚度
2D
这块体积内的沙重就是推移 质单宽输沙率：单位时间内 通过单宽床面的推移质
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悬移质单宽输沙率的概念 – 垂线积分型:均匀沙的Einstein公式 –
垂线平均型:维利卡诺夫公式 和 Bagnold公式
根据研究生教材图3-8或图3-12判断可知床面形态为沙垄，必须区分Rb和R’b 。
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悬移质单宽输沙率的概念 – 垂线积分型:均匀沙的Einstein公式 –
垂线平均型:维利卡诺夫公式 和 Bagnold公式
均匀沙的Einstein悬移质输沙率公式: 例题
[例]
判断是否能够悬移： 粒径为D=0.6 mm颗粒的沉速为：
垂线平均型:维利卡诺夫公式 和 Bagnold公式
垂线积分型公式: Einstein悬移质重量输沙率理论
以重量计的单宽输沙率为：g s = γ s ∫ US V dy
a h
研究生教材式(2-35)
式(6-22)
Z
即：
⎛ 30.2 yχ ⎞⎛ h − y a ⎞ ′S va lg⎜ ⎟ g s = γ s ∫ 5.75U * ⎟ dy ⎜ y h−a⎟ ⎜ k ⎟⎜ ⎠ s ⎝ ⎠⎝ a
河底含沙量的取值问题: 借助于推移质理论
gb 推移层内的推移质平均含沙量＝ 2 D × u × γ b s
问题转化为：ub＝？
Einstein假定，推移质的平均运动速度与剪切流速U’*成正比：
u b ∝ U '∗ =
S va
gRJ
这样，“Sva与推移层内的平均含沙量成正比”就可用下式表示：
gb = 常数 × 2 D × U '∗ γ s
已知垂线平均流速UL及垂线平均悬移质体积含沙量Sm，则单位时间内 通过单位宽度的悬移质泥沙重量为gs =UL·Sm·h·γs 。(下标m意为mean)
UL·1 UL·Sm·h·γs
1
h
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悬移质单宽输沙率的概念 – 垂线积分型:均匀沙的Einstein公式 –
垂线平均型:维利卡诺夫公式 和 Bagnold公式
Einstein垂线积分法: 河底含沙量的取值问题
问题: 参考高度a处Sva=?
Rouse 公 式 只 是 表 达 了
悬移质部分 Sv
a=2D Sva=?
相对值的分布。如果不 知道Sva的量值， Rouse 公式就毫无用处。
推移质部分 床面层，推移层
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悬移质单宽输沙率的概念 – 垂线积分型:均匀沙的Einstein公式 –
D
ν
γs − γ 0 .6 × 10−3 −3 0 .1 gD = × 0 . 1 × 1 . 65 × 9 . 8 × 0 . 6 × 10 γ 10 −6
=18.69
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悬移质单宽输沙率的概念 –
垂线积分型:均匀沙的Einstein公式 –
垂线平均型:维利卡诺夫公式 和 Bagnold公式
1) 首先计算基本水力要素：
床面剪切应力：τ0=γhJ = 9800×1.5×0.0003 = 4.41 N/m2 = 4.41 Pa， 剪切流速：U* = (τ0 /ρ)1/2 = (4.41/1000)1/2 = 0.066m/s， 故
Θ=0.45，Re*=39.6，Froude数Fr=0.29。
ω = −9 ν
D +
−3 ⎞ ⎛ ⎛ ν ⎞ γs — γ 10 10 ⎟ + 1 .65 × 9 .8 × 0 .6 × 10 −3 gD = −9 × × ⎜9 × ⎜9 ⎟ + ⎜ γ 0 .6 0 .6 ⎟ ⎝ D⎠ ⎝ ⎠ −3 2 2
=-0.015+0.0996=0.0846m/s
悬浮指标为： Z =
(勿将其与垂线平均流速公式[3-43]混淆)
⎡ U yχ ⎤ = 5 . 75 lg ⎢ 30 . 2 ⎥ ′ U* k s ⎦ ⎣
U(y)·1 y
1
U·1·Δy·Sv·γs
Δy U Sv
g s = γ s ∫ U ( y )S v ( y )dy
a
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h
gs: 重量单宽输沙率：
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悬移质单宽输沙率的概念 – 垂线积分型:均匀沙的Einstein公式 –
∫
1
⎡1 − ζ ⎤ ⎢ ζ ⎥ ⎦ A⎣
Z
ln ζ d ζ
U·1·Δy·Sv·γs
Δy U Sv
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悬移质单宽输沙率的概念 – 垂线积分型:均匀沙的Einstein公式 –
垂线平均型:维利卡诺夫公式 和 Bagnold公式
垂线积分型公式: Einstein悬移质重量输沙率理论
Einstein公式中的积分函数编制成了图表，以便于应用。
′ 后方程右 代入 Rb
边得到的值 4.39 ( 大) 2.94 ( 小) 3.26 ( 小) 3.56 ( 大) 3.47( 小) 3.50 ( 小) 3.533( 大 ) 3.518
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悬移质单宽输沙率的概念 –
垂线积分型:均匀沙的Einstein公式 –
垂线平均型:维利卡诺夫公式 和 Bagnold公式
k s/ δ= 2.80 1.98 2.17 2.35 2.30 2.31 2.33 2.32 χ 1.20 1.40 1.31 1.26 1.28 1.27 1.27 1.27
′ /(11.6ν ) (图 3-10) k s U*
′ 所满足的方程 Rb ′ )1/2 lg(24540 Rb ′) 3.528=( Rb
⎫ ⎧ ⎡ 30.2 Hχ ⎤ ′aS va ⎨2.303lg ⎢ g s = 11.6γ sU * I I 1 + 2 ⎬ ⎥ K s ⎣ ⎦ ⎭ ⎩
A Z −1 I 1 = 0 . 216 (1 − A ) Z ⎡1 − ζ ⎤ ∫ ⎢ ζ ⎥ dζ ⎦ A⎣
1 Z
U(y)·1 y
1
A Z −1 I 2 = 0 . 216 (1 − A ) Z
均匀沙的Einstein悬移质输沙率公式: 例题
[例]
3)按Einstein方法计算悬移质单宽输沙率gs ，完整的步骤是： 先判断是否有推移运动； 再计算推移质单宽输沙率gb ; 从gb计算河底边界的悬沙浓度Sva ；最后由公式计算悬移质单宽输沙率gs 。 求粒径为D=0.6mm颗粒的临界剪切应力τc(判断一下泥沙是否已起动)。 先计算Shields图中的辅助线参数：
U(y)·1
1
y Δy
U(y)·1·Δy·Sv(y)·γs
U(y)
Sv(y)
g s = γ s ∫ U ( y )S v ( y )dy
a
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h
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悬移质单宽输沙率的概念 – 垂线积分型:均匀沙的Einstein公式 –
垂线平均型:维利卡诺夫公式 和 Bagnold公式
单宽悬移质输沙率：2. 垂线平均值计算
垂线平均型:维利卡诺夫公式 和 Bagnold公式
均匀沙的Einstein悬移质输沙率公式: 例题
[例]某河流的平均水深为h=1.5 m，断面平均流速为U=1.1 m/s，水力坡降
为J=3 0/000 ，均匀床沙粒径为D=0.6 mm，试求其悬移床沙质的输沙率。
解：这个例题的第一种方法是用Einstein法计算。
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第六章
1. 泥沙扩散方程
悬移质运动
Fick 第一定律、悬移质泥沙的扩散方程
2. 悬移质含沙量的垂线分布
扩散理论、泥沙扩散系数的试验研究、重力理论
3. 悬移质输沙率
均匀沙输沙率公式、非均匀沙输沙率 4. 水流挟沙力 理论公式、经验或半经验公式
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ω 0.0846 = = 3.21 <5 κU * 0.4 × 0.066
Rouse提出悬浮指标时，没有分 。 割沙粒阻力和沙波阻力，因此悬 浮指标里的剪切流速不带撇
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故颗粒在推移运动的同时也作悬移运动
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悬移质单宽输沙率的概念 –
垂线积分型:均匀沙的Einstein公式 –
垂线平均型:维利卡诺夫公式 和 Bagnold公式
′ )1/2 lg(28630 Rb ′) 3.528=( Rb ′ )1/2 lg(26790 Rb ′) 3.528=( Rb ′ )1/2 lg(25770 Rb ′) 3.528=( Rb ′ )1/2 lg(26180 Rb ′) 3.528=( Rb ′ )1/2 lg(25970 Rb ′) 3.528=( Rb ′ )1/2 lg(25970 Rb ′) 3.528=( Rb ′ )1/2 lg(25970 Rb ′) 3.528=( Rb
单宽悬移质输沙率：1. 沿垂线积分计算
g s = γ s ∫ U ( y )S v ( y )dy
a h
问题1 ：积分的下限a＝？床面高度a处的含沙量 Sva ＝？ 问题2 : 是否可以从床面积到水面？ 对问题2的回答是“不行”，理由如下： a) 所采用的流速公式当y＝0时没有意义(流速和含沙量趋于正、负无穷 大)；b) 从输沙机理上看，在床面附近运动的泥沙，支持其重量的是河床 床面支持、而不是水流的紊动能量，所以这一层运动的泥沙属于推移质 的范畴。