4.1 系统与控制体 1. 基本物理定律
质量守恒定律 ——连续性方程
动量守恒定律（牛顿运动定律） ——动量方程和动量矩方程 ——内维尔·斯托克斯方程
能量守恒定律（热力学第一定律） ——伯努利方程 ——能量方程
1
4.1 系统与控制体 2. 微分方法和积分方法
微分方法：将基本物理定律应用到流体微元或微元控制体上, 可得到微分形式的基本方程，求解方程可得到物理 量的空间分布规律。
壁面上（V·n）=0,截面1上
（V1·n1）=-V1，截面2上 （V2·n2）=V2，因此
V2dA2 V1dA1 0
4-13
12
4.3 流体流动的连续性方程
对于任意有限截面的流管，如果 和V1 为VA21、A2两个有效 截面上的平均流速，则有
V1 A1 V2 A2
4-13
——不可压缩流体一维流动的连续性方程。
G VA ( / 4)d12V1 53.4(kg / s)
13
4.3 流体流动的连续性方程 3. 可压缩流体定常流动的连续性方程
对于可压缩的定常流动，由式4-11:
r V
gnr
dA 0
c.s
4-14
——对可压缩流体定常流动，通过控制面净流出的质量流量 恒为零
对于任意有限截面的流管，如果 和V1 为VA21、A2两个有效截
适用于任何流体的定常和不定常流动。
11
4.3 流体流动的连续性方程
2. 不可压缩流体的连续性方程
对于定常流动或者不可压缩流体，式（4-11）可以简化为：
r V
gnr
dA
0
c.s
4-12
——对不可压缩流体的流动，通过控制面净流出的体积流量 恒为零
考虑图4-4所示的微元流管内
不可压缩流体的流动，在流管
【例4-1】已知油的密度为850kg/m3，在内径为0.2m 的输
油管道截面上的流速为2m/s，求另一内径为0.05m 的截面上
的流速及管道内的质量流量。
【解】由不可压缩流体连续性方程 V1A1 V有2 A2
V2 V1 d1 / d2 2 20.2 / 0.052 32(m / s)
其质量流量
量的物理量β=dB/dm=1，雷诺输运方程为：
由质量守恒ddmt定律s 知t，c系.v 统d内的c.质s 量Vr不gnr变d，A （dm/dt）4s=-100，所
以
d
r V
gnr
dA 0
t c.v
c.s
4-11
——积分形式的连续性方程，表示通过控制面的净质量流出率
等于控制体内部质量的减少率。
积分方法：将基本物理定律应用到有限体积控制体上，可得 积分形式的基本方程。求解方程可得到物理量在 有限体积区域上的总体量的变化规律。
2
4.1 系统与控制体 3. 系统和控制体
系统：一定质量的流体质点的集合, 相当于热力学中的闭口系
控制体：流场中确定的空间区域 。相当于热力学中的开口系, 其边界面称为控制面.
其中
5
4.2 雷诺输运定理
CV
S
ur
所以：
展开后有：
II III I
控制体内B的变化率 B通过控制面 B通过控制面
净流出率
净流入率 6
4.2 雷诺输运定理
CV
S
ur
II III I
控制体内物理量B随时间变化率：
由于控制体相对静止且固定不变
7
4.2 雷诺输运定理
I
dAi
II
r Vi
III
r dAo Vo
dE dt
s
t
ed
c.v
e
c.s
r V
nr
dA
联立式（4-15）得
ed
e
r V
nr
dA Q&W&
t c.v
c.s
4-16 4-17
——单位时间内输入系统的热量与环境对系统作功之和，等于控
制体内能量对时间变化率加上通过控制体表面的能量流率。
通常条件下，不考虑系统与外界的热交换，即认为Q=0
no
t
ni
单位时间内通过微元控制面的流出的体积通量为：
单位时间内通过微元控制面的流入的体积通量为：
物理量B的净流出率：
8
4.2 雷诺输运定理 得到雷诺输运方程
dB dt
s
t
d
c.v
c.s
r V
r n
dA
4-8
式中B是系统内任一物理量，β是单位质量的该物理量，即β
=dB/dm；s——系统，c.v ——控制体，c.s ——控制面，V —
通过控制面的作功W&
c.s
面上的平均流速，1 2为两个有效截面上的密度，有
1V1A1 2V2 A2
4-14a
或者
Qm1 Qm2
4-14b
14
4.4 理想流体的能量方程
能量守恒定律——热力学第一定律：系统内的能量变化率等于
单位时间内外界对系统所做的功加上单位时
间内外界传递给系统的热量
dE Q&W& dt
4-15
dE 系统能量对时间的变化率，是空间和时间的函数（状态量） dt
Q& 系统热量随时间的变化率，是时间的函数（过程量）
系统吸热，Q为正值；系统放热，Q为负值。 系统与外界作功随时间的变化率，是时间的函数（过程量）
W& 环境对系统作功，W为正值；系统对环境作功，W为负 Nhomakorabea值。
15
4.4 理想流体的能量方程
对式中4-15系统能量变化率应用雷诺输运方程，则B=E，
β=dE/dm=e
—速度，n ——控制面的外法线方向
——雷诺输运方程。表示了系统内物理量B随时间的变化率， 等于控制体内该物理量随时间的变化率加上通过控制面该物 理量的静流出率。
9
4.2 雷诺输运定理 2. 雷诺输运方程的物理意义 流体质点参数B的随体导数 = 当地导数 + 迁移导数
——以流体质点和空间坐标点为研究对象，适用于微分分析
3
4.2 雷诺输运定理 1. 雷诺输运方程
描述了系统内流体参数变化与控制体内流体参数的变化之 间的关系。 定义B为系统内任一物理量，β为单位质量的该物理量，则
dB 或者
dm
B dm dV
CV
S
ur
ur
t
t t
4
4.2 雷诺输运定理
CV
S
ur
II III I
系统内物理量随时间变化可以表示为：
流体系统参数B的随体导数 = Bc.v对时间的导数 + B的净流出率 ——以系统和控制体为研究对象，适用于控制体分析
定常条件下
dB dt
s
c.s
r V
gnr
dA
4-9
定常条件下系统内物理量B的变化仅与通过控制面的流动有关，
与其内部状态无关，可以得到积分形式的控制方程
10
4.3 流体流动的连续性方程 1. 连续性方程 质量守恒定律——系统内的流体在流动过程中质量不发生变化。 令雷诺输运方程中的物理量B为系统的质量m, 则单位质