解：定常流动
∫
CS
ρV ⋅ ndS = 0
Uh
= ∫ c (3.5 − x / h)dx
h 0
c=U 3
流体力学
连续方程－例题2
如图所示一水箱，水均匀垂直流入流出，求水的 如图所示一水箱，水均匀垂直流入流出，求水的 深度随时间的变化率dh/dt。 深度随时间的变化率dh/dt。
解：第一项
∂ dh ∫CV ρdτ = ρ w A dt ∂t
x y z
ρ uV ⋅ ndS ρ vV ⋅ ndS ρ wV ⋅ ndS
CS
CS
控制体上所受的和外力只与动量的净流 出率有关
流体力学
动量方程4
分量形式
∑ F = ∑ (m V ) − ∑ (m V ) ∑ F = ∑ (m V ) − ∑ (m V )
x
i
xi out
i
xi in
y
i
yi out
− ∑ miVri
(
)
in
其中 Vr = V − VCV
流体力学
动量方程14－运动控制体
已知V = 30 m/s，U = 10 m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30 m/s，U = 10 m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003 m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003 m ，求R 和 R
控制体
控制体
流场中某一确定的空间区域
与外界有质量交换 空间位置相对于某参照系不变 边界形状、包围空间大小一般是确定的 欧拉方法
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSIII CSII CS I I
dS1 dS1
tt
II II
V V
III III
dS3 dS3
n n
i
yi in
∑ F = ∑ (m V )
z
i
zi out
− ∑ (miVzi )in
力与速度的正负号 与选定坐标方向一致 者取正，反之取负
流体力学
动量方程5－例题1
自由射流：已知Q00 ,, V00 ,, ρ＝const，重力和摩擦 自由射流：已知Q V ρ＝const，重力和摩擦 力可以忽略，V11= V22 = V00，求： Q11 ,, Q22 以及液 力可以忽略，V = V = V ，求： Q Q 以及液 体对平板的作用力。 体对平板的作用力。
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
0-0 0-0
A1 ,, Q,V1 A1 Q11 ,V1
1-1 1-1
(3) 受力分析 平板对控制体 的力F，y方向
流体力学
A0 ,, Q ,V0 A0 Q00 ,V0
F F
2-2 2-2
A2 ,, Q ,V2 A2 Q22 ,V2
θ θ
y y
x x
动量方程6－例题1
系统
某一确定流体质点集合的总体
与外界无质量交换 随流体质点的运动而运动 边界形状、包围空间大小随流体质点的 运动而变化 拉格朗日方法
流体力学
系统的物质导数
物理定律通常应用于系统 系统的物质导数
DN D = ∫sys φdτ Dt Dt
N
dτ dτ
系统体积内包含的总物理量
φ
流体力学
单位体积流体的物理量分布函数
x x
流体力学
动量方程11
求解步骤
建立坐标系 是否运动、是否包含所有 的进出口、所求力是否为 外力 质量力、表面力
选取控制体
控制体受力分析
连续方程 （速度） 、伯努利方程 （压强） 、动量 方程（分量方程求解各分力）
流体力学
动量方程12－解题注意事项
控制体的选择 包含所有进出口，使要求解的力为控 制体所受的外力 定常流动、参数在有限个进出口上均布
=
∂ ∫CV φdτ + ∫CS φV ⋅ ndS ∂t
系统某物理量随时间的变化率和控制体上的物 理量变化之间的关系
流体力学
4.2 对控制体的积分方程
连续方程
DM =0 Dt
系统的质量守恒
系统体积为τ，质量为M，质量守恒
初始时刻系统与控制体重合
DM ∂ = ∫ ρdτ + ∫ ρV ⋅ ndS = 0 CS Dt ∂t CV
60 60
(5) 动量方程 – x方向
Fx = R x = ∑ miVri
(4) 连续方程
A1 ,, Q,V1 A1 Q11 ,V1
∑Q
in
= ∑ Qout
1-1 1-1 0-0 0-0
F F A0 ,, Q ,V0 A0 Q00 ,V0
Q0 = Q1 + Q2
(5) 动量方程 - x方向
Fx = 0
2-2 2-2
A2 ,, Q ,V2 A2 Q22 ,V2
θ θ
y y
x x
n n tt+ δ tt +δ
V V
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt DN sys Dt ∂ = ∫ φdτ + ∫ φV ⋅ ndS CS ∂t CV
系统的变量N对时间的变化率 控制体变量 N对时间的变化 率，反应流场的非定常性 变量 N 流出控制体的净流 率，反应流场的不均匀性
∑ (ρV A)
r
in
= ∑ (ρVr A)out
流体力学
连续方程－例题1
水以均匀速度U流入一二维通道，由于通道弯曲 水以均匀速度U流入一二维通道，由于通道弯曲 了90º，在出口端速度分布变为 c(3.5-x/h)。设通 了90º，在出口端速度分布变为 c(3.5-x/h)。设通 道宽度为常数，求 c。定常流动 道宽度为常数，求 c。定常流动
R x = − p1m A1 − ρV A1
2 1
V1 ,,p1 ,,A1 V1 p1 A1
P = p11A1 P = p A1
= −1.36 × 10 (N )
3
动量方程 - y方向
Fy = R y
流体力学
Rxx R Ryy R
y y
V2 ,,pa ,,A2 V2 pa A2
x x
动量方程10－例题2
动量方程2
∂ ∑ F = ∂t ∫CV ρVdτ + ∫CS ρVV ⋅ ndS
∑F
∂ ∫CV ρVdτ ∂t
作用在控制体上的外力之和 控制体中流体的动量 对时间的变化率 流出控制体的动量净流率
∫
流体力学
CS
ρVV ⋅ ndS
动量方程3
定常流动
∑F = ∫
CS
CS
ρVV ⋅ ndS
∑F = ∫ ∑F = ∫ ∑F = ∫
A A H H 1 1 A11,,V1 A V1
ρa ρa
第二项：净流出率
h h
ρw ρw
∫
流体力学
CS
ρV ⋅ ndS
A22,,V22 A V 2 2
= ρ w A2V2 − ρ w A1V1
连续方程－例题2
dh ρ w A + ρ w A2V2 − ρ w AV1 = 0 1 dt
dh A1V1 − A2V2 = dt A
V1 ,,p1 ,,A1 V1 p1 A1
P = p11A11 P=p A
V1 A1 = V2 A2
Rxx R Ryy R
y y
V2 ,,pa ,,A2 V2 pa A2
A2 V1 = V2 = 4(m/s ) A1
流体力学
x x
动量方程9－例题2
(5) 动量方程 - x方向
Fx = Rx + P = ∑ (miV xi )out − ∑ (miV xi )in
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
Vr = V − U
V 1 V 1 A11 A y y 2 2 2 2 x x U U Rxx R Ryy R
60 60
(3) 受力分析
维持叶片做匀速直 线运动的力 Rx，Ry
流体力学
1 1
动量方程15－运动控制体
(4) 连续方程
Qr 1 = Qr 2
V 1 V 1 A11 A y y 2 2 2 2 x x U U Rxx R Ryy R
= ∑ (miV xi )out − ∑ (miV xi )in
流体力学
动量方程7－例题1
V1Q1 − V0 cos θ Q0 − V2Q2 = 0
Q0 ⎧ ⎪Q1 = 2 (1 + cosθ ) ⎨ Q0 ⎪Q2 = (1 − cosθ ) 2 ⎩
A1 , Q1 ,V1 A1 , Q1 ,V1
1-1 1-1 0-0 0-0
CV 做匀速运动，所有运动量均为相对于 CV的，若CV做加速运动或旋转，则需添 加惯性力
流体力学
动量方程13－运动控制体
∂ ∫CV ρVr dτ + ∫CS ρVrVr ⋅ ndS = ΣF ∂t
流体仅在控制面的有限个区域流入流出 且 ρ，V 在进出口截面均布
∑ F = ∑ (m V )
i
ri out
A A H H 1 1 A11,,V1 A V1
ρa ρa
h h
ρw ρw
A22,,V22 A V 2 2
流体学
动量方程1
动量方程
Dk ∑ F = Dt
系统的动量定理
系统体积为τ，动量为k，动量定理
初始时刻系统与控制体重合
∂ ∑ F = ∂t ∫CV ρVdτ + ∫CS ρVV ⋅ ndS