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线性方程组求解的数值方法


... ...
...
(i k 1, ..., n)
a(1) 1n
a(2) 2n ...
a(n) nn
x1
x2 ... xn
bb12((12))
...
bn(n)
§3.1 Gaussian Elimination and LU Decomposition
X(p)=(b(p)-U(p,p+1:n)*X(p+1:n))/U(p,p); end
3.0 Introduction
3.0 Introduction
【作业】(1)编写Matlab程序解下列上三角形方程组:
4x1 x2 2x3 3x4 20
2x2 7x3 4x4 7 6x3 5x4 4
103xx11
7x2 2x2
6x3
7 4
5x1 x2 5x3 6.
解:用行初等变换将方程组的增广矩阵化为行阶梯形:
10 7 0 7 [ A, b] 3 2 6 4 r2 (3/10)r1, r2 (5/10)r1
5 1 5 6
10 7 0 7
10 7 0 7
10 7 0 7
3x4 6.
(2)编写Matlab程序解下列下三角形方程组:
5x1
x1 3 x1
x1
3x2 4x2 3x2
6x3 6x3 x4
10 4 2 5.
§3.1 Gauss消去法与LU分解法
直接法的基本思想: 将线性方程组化成与之等价的上三角形或下三角形, 再用回代法求解。它的核心是矩阵分解。
线性方程组的系数矩阵:
3.0 Introduction
(1)低价稠密矩阵(阶数<150); (2)大型稀疏矩阵(阶数高且零元素较多)。
求解线性方程组的方法:
(1)直接法: 经过有限步算术运算,求得精确解 (假设计算过程没有舍入误差)。 如Gauss消去法,三 角分解法。
(2)间接法(迭代法): 通过迭代序列,逐步逼近方 程组的解。如Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法。
xk
ik 1
akk
, k n 1, n 2, ,2,1.
Backsub.m
function X=backsub(U,b) % 解上三角方程组--回代过程 %Backsubstitution in Gauss elimination % Input--U is a n x n upper-trianglular matrix % --b is a n x 1 constant vctor % Output--X is the solution vector of UX=b % Usage: X=backsub(U,b) %Find the dimension of b and initialize X n=length(b); X=zeros(n,1); X(n)=b(n)/U(n,n); for p=n-1:-1:1
0
0.1 6
6.1 r2 r3 0
2.5 5 2.5 r3(0.1/ 2.5)r2 0 2.5
5
2.5
0 2.5 5 2.5
0 0.1 6 6.1
0 0 6.2 6.2
解得
x=(0, -1, 1)’.
§3.1 Gaussian Elimination and LU Decomposition
Step
k:设
a
(k kk
)
, 0计算因子
且计算
a ( k 1) ij
b( k 1) i
a(k) ij
b(k ) i
mik
a(k kj
)
mik
b(k ) k
(i, j k 1, ..., n)
共进行 n? 步1
mik
a(k) ik
/ ak(kk )
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
Ch3 线性方程组求解的数 值方法
Numerical Solutions of Systems of Linear Equations
§3.0 Introduction
工程问题(电子网络,船体放样等)
自然科学(实验数据的最小二乘法曲线拟合)
线性方程组
解非线性方程组
解常/偏微分方程组(差分法,有限元法)
将增广矩阵/* augmented matrix */ 第 i 行 mi1 第1行,
得到
a (1) 11
a (1) 12
...
a (1) 1n
A( 2 )
b1(1) b (2)
其中
a(2) ij
b(2) i
a (1) ij
b(1) i
m
i
a (1)
1 1j
mi1b1(1)
(i, j 2, ...,n)
【注】上述过程可用矩阵表示为:
其中
LU=PA
1Hale Waihona Puke 0 0L0.5
1 0,
0.3 0.04 1
10 7 0
U
0
2.5
5 ,
0 0 6.2
1 0 0 P 0 0 1.
0 1 0
【高斯消元法思路】
§3.1 Gaussian Elimination and LU Decomposition
(1) 用消元法将A化为上三角阵 upper-triangular matrix ; (2) 回代求解 backward substitution 。
§3.1 Gaussian Elimination and LU Decomposition
消元

A(1) A (ai(j1) )nn ,
b (1)
b
b1(1) ...
bn(1)
Step
1:设
a(1) 11
, 0计算因子
mi1
a(1) i1
/
a(1) 11
(i 2, ..., n)
【最简单的情形】三角形线性方程组:
3.0 Introduction
a11x1 a12x2 a1n xn b1,
a22x2 a2n xn b2 ,
ann xn bn.
简记为
Ax b,A为上三角矩阵。
若所有aii 0,可用“回代”过程得到方程组的解。
xn
bn ann
,
n
b rki xi
核心:矩阵分解。
Gauss消去法(Gaussian elimination):
(对方程组的三种变换)
(1)交换两个方程的次序; (2)用一个非零常数乘一个方程; (3)将一个方程的非零倍数加到另一个方程上去。
这等价与对增广矩阵进行三种行初等变换,将它化为行阶梯形。
【例3.1】解下列线性方程组:
§3.1 Gaussian Elimination and LU Decomposition
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