对每行计算乘数
mi1aa1i1111, i2,3,,n
用 mi1 乘以第1个方程，加到第 i个方程，消去
第 2个方程到第 n个方程的未知数x1 ，得 A2xb2
即:
a111
a112 a222
aa1212nnxx12
bb1212
an22 an2nxn bn2
其中： a bii2 2 j a bii1 1j m m ii1 1b a1 1 1 1j i,j2,3, ,n
an1 ann
x1
x
x n
b1
b
b n
若矩阵A非奇异，即A的行列式 deAt0，根据
克莱姆（Gramer）法则，方程组有唯一 解：
xi
Di D
i1,2, ,n
其中D表示 detA，D i 表示 D 中第 i列换成 b后
所得的行列式。
当阶数较高时用这种方法求解是不现实的。n阶行
综上所述，高斯消去法的框图如图3-1所示。从 中可看出高斯消去法的计算机运算和存储方式的特点：
1〉按消元规则进行运算后，对角线以下元素为0。 故对于对角线以下元素不用作计算，减小了计算量。
2〉对角线以下元素对回代求解无影响，故可将乘 数放在该处，即
a akikkaik,ik1,k2, ,n
以节省存储单元。
列式有 n项!，每项又是 个n数的乘积。对较大的 ，
其计n算量之大，是一般计算机难以完成的。而且， 这时的舍入误差对计算结果的影响也较大。
例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需 3000次乘法运算，而用克莱姆法则要进行 9.71020次 运算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。
线性代数方程组的计算机解法常用方法：
当 annn 时0，对上三角形方程组自下而上逐步回代 解方程组，计算 xn,xn,即1, ,x1
xn
bnn annn
n
,
xi
bii
aiji x j
j i 1
aiii
i n 1,,2,1
ak kk ,k1,,2 称, 为,n 各次消元的主元素，
主元素所在的行称为主行。
高斯消去法的计算步骤为：
2x1 x2 x3 7 4x1 5x2 x3 11 x1 2x2 x3 0
解：消元
2 4
1 5
1 1
7 11
4 2r1
r2
2 0
1 3
1 7 3 3
1 2 1
0
1 2 r1 r3
0 2.5 0.5 3.5
2 1 1 7
2.5
3
r2 r3
0
3
3
3
0 0 2 6
回代得
6 x3 23,
xn 阶线性方程组的高斯消去法。
记 A为xb ，A1x和b1 的A元1素分b别1记为
和
，
a
1
ij
，系b i数1 上标i,j1 代,2 ,表 ,第n1次消元之前1的
状态。
第1次消元时，设 a111 0
只要 ak，kk 消0 元过程就可以进行下去，直到经过 消元n之1后，消元过程结束，得
Anxbn
也即
a111
a112 a222
aa1212nn
x1 x2
bb1212
annn xn bnn
这是一个与原方程组等价的上三角形方程组。把
经过 n-1次消元将线性方程组化为上三角形方程组的
计算过程称为消元过程。
2x1 8x2 2x3 14
2x2 2x3 6
9x2
9
再用第2个方程消去第3个方程中的 x2 得,
2x1 8x2 2x3 14
2x2 2x3 6
9x3 18
最后，经过会代求得原方程组的解为
x3
18 9
2
x2
6
2x3 2
1
x1
14
8 x2 2
2 x3
5
例 2 解方程组
第 k次消元 2k 时n ，1 设 第 次消k元1已完成，
即有
其中A：kxbk
a111
a112 a222
a223
a11n a22n
Ak
akkk
akkn
ankk
ankn
b b
1
1
2
2
b k
b
k
k
b
n
k
设 akkk ，0计算乘数
mika ak ik kkk , ik1, ,n
消去法
高斯消去法属于直接法，一般由“消元过程” 和“回代过程”两部分组成。先举几个简单实例，
再对一般n阶方程组说明高斯消去法的基本思想。
例 1 用高斯消元法求解方程组
2x1 8x2 2x3 14 x1 6x2 x3 13 2x1 x2 2x3 5
解 用第一个方程削去后两个方程中的 x1 得,
✓直接法 ✓ 迭代法
消去法 矩阵三角分解法
– 直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组
的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）
– 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程
组精确解的方法 – 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原
始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收 敛性及收敛速度等问题
第三章 线性方程组的数值解法
问题的提出：
n阶线性代数方程组的一般形式为：
a11x1 a12xx a1nxn b1
a21x1
a22xx a2nxn
b2
an1x1 an2xx annxn bn
写成矩阵-向量形式 Axb
其中 A为系数矩阵， x为解向量， 为b右端常向量。
a11 a1n
A
1〉消元过程
设 ，对 akkk 0 2〉回代过程
k 1 ,，2 , 计,n 算 1
amijkik1 aaki((akkkki))jk mikakkj bik1 bik mikbkk
xn
bnn annn
bii n aijixj ,
xi
ji1
aiii
i, j k1,k2,,n
i n1,,2,1
3.1 消去法
消去法在线性代数中已有详细的讨论，在此只给 出一些说明以及算法的具体描述。
消去法的基本思想：是通过将一个方程乘或除以
某个常数，以及将两个方程相加减，逐步减少方程中
的变元数，最终使每个方程只含一个变元，从而得出
所求的解。
高斯消去法
消去法常用方法： 选主元消去法
高斯－约旦消去法
3.1 高斯消去法 ——按自然顺序进行的消元法
3〉对角线以上元素和常数变换后的元素仍放在原来 的位置以节省存储单元。
aijaik ak j aij biaik bj bi
i,jk1,k2, ,n
4〉回代后的数值仍放在常数项存储单元
这时
bi
bn ann
bn
n
aijxj
ji1
aii
bi