永磁同步电动机(PMSM)三相坐标系的数学模型2 PMSM 三相坐标系的数学模型为方便分析起见，将三相永磁的同步电动机看作是理想的电机，也就是说它符合下列假设：(1) 转子上面没有阻尼绕组；定子中各个绕组的电枢电阻、电感值相等，三相定子的绕组按对称的星形分布；(2) 其气隙磁场服从正弦分布而且各次谐波忽略不计，感应电动势也服从正弦分布；(3) 永磁体的等效的励磁电流恒定不改变；电机中的涡流、趋肤效应、电机铁芯饱和和磁滞损耗的影响均忽略不计；温度与频率不影响电机的参数。

坐标系正方向的选取： (1) 转子逆时针方向旋转为正； (2) 正向电流生出正向磁链；(3) 电压，电流的正方向按照电动机的惯例。

则静止三相坐标系里PMSM 的定子侧电压方程3333s s s s u R i p ψ=⋅+ (4-1)静止三相坐标系里PMSM 的定子侧磁链方程3333()s s s f s L i F ψψθ=⋅+⋅ (4-2) 式中，3A s B C i i i i ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3000000s R R R R ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，3A s B C ψψψψ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3A s B C u u u u ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3sin ()sin(120)sin(120)s F θθθθ⎡⎤⎢⎥=-︒⎢⎥⎢⎥+︒⎣⎦3331cos120cos 240100cos1201cos120010cos 240cos1201001s m l L L L ︒︒⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=︒︒+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪︒︒⎝⎭⎝⎭电机统一理论和机电能量转换告诉我们，电机的电磁力矩[37]*I m ()s s e p T n i ψ=- (4-3) 式中，*代表取共轭复数，Im 代表取虚部。

3 PMSMdq 坐标系的数学模型三相交流电机是一个耦合强、非线性、阶次高的多变量系统，它在三相静止的坐标系里的数学模型相当复杂，应用传统的控制策略对其实现交流调速有很大的困难，所以对于一般的三相交流电机常常应用矢量控制的方法，采用坐标变换，把三相交流的绕组等效变换成两相互相垂直的交流绕组或者旋转的两相直流的绕组，等效变换以后其产生的磁动势相等，系统的变量之间得到了部分的解耦，它的数学模型得到了大大简化，使得对于系统的分析和控制也简化了很多，使得它的数学模型与比较简单的直流电机类似[52]。

图4-1静止的三相和两相坐标系坐标变换采用的空间矢量位置图通常会用到如下的六种坐标变换：三相和两相正交坐标系间变换(3s/2s 变换)，两相正交坐标系和三相坐标系间变换(2s/3s 变换)，静止两相和旋转两相坐标系间变换(2s/2r 变换)，旋转两相和静止两相坐标系间变换(2r/2s 变换)，三相静止和两相旋转坐标系间变换(3s/2r 变换)，两相旋转和三相静止间变换(2r/3s 变换)。

根据磁动势和功率相等的等效原则，两相与三相的合成磁动势相等，即图4-1中，两相与三相绕组的磁动势在βα、坐标轴上投影相等，即)2121(3cos 3cos 33332C B A C B A i i i N i N i N i N i N --=--=ππα (4-4))(233sin3sin3332C B C B i i N i N i N i N -=-=ππβ (4-5)其矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡C B A i i i N N i i 232302121123βα (4-6) 要使变换之后总功率保持不变，可证，匝数比应等于3223=N N 所以，可以求得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡C B A i i i i i 232302121132βα (4-7) 所以，三相和两相正交坐标系间变换的变换矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=2323021211322/3s s C (4-8) 又因为，0=++C B A i i i ，所以，可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡C B A i i i i i 2222222323021211320βα (4-9) 所以，三相和0αβ正交坐标系间变换的变换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---222222232302121132 (4-10) 这是一个正交矩阵，所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0222321222321220132βαi i i i i C B A (4-11) 所以，两相正交坐标系和三相坐标系间变换的变换矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=2321232101323/2s s C (4-12)图4-2 静止的两相坐标系和旋转的两相坐标系由图4-2可知⎩⎨⎧+-=+=φφφφβαβαcos sin sin cos i i i i i i qd (4-13) 其矩阵形式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡βαβαφφφφi i C i i i i r s q d 2/2cos sin sin cos (4-14) 进而，可求得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡q d s r q d i i C i i i i 2/2cos sin sin cos φφφφβα (4-15) 所以，静止两相和旋转两相坐标系间变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=φφφφcos sin sin cos 2/2r s C (4-16) 旋转两相和静止两相坐标系间变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=φφφφcos sin sin cos 2/2s r C (4-17)三相静止和两相旋转坐标系间变换的变换矩阵：3/2cos cos(120)cos(120)sin sin(120)sin(120)s rC φφφφφφ⎛⎫⎪-︒+︒⎪⎪=---︒-+︒⎪⎪⎪⎝⎭(4-18)加之 90φθ=-︒ (4-19) 变换阵可变为下面的形式3/2s i n s i n (120)s i n (120)c o s c o s (120)c o s (120)s r C θθθθθθ⎛⎫⎪-︒+︒⎪⎪=-︒+︒⎪⎪⎪⎝⎭(4-20)其逆变换矩阵是2/33/2Tr ss r C C = (4-21)所以32/32s r s r x C x = (4-22) 23/23r s r s x C x = (4-23)式中3[]Ts A B C x x x x =，20[]T r d q x x x x =(x 可以是电流i ，电压u ，也可以是磁链ψ)。

将式(4-2) 3s/2r 变换，可以得到13/233/233/23/233/23()s r s s r s s rs r s f s r s C C L C Ci C F ψψθ-=+ (4-24) 式中 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=032/3ψψψψq d sr s C ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=032/3i i i i C q d s r s 13/233/2s r s s r C L C -33sin sin(120)sin(120)10.50.5100cos cos(120)cos(120)0.510.50100.50.51001m l L L θθθθθθ⎛⎫⎪-︒+︒⎧--⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=-︒+︒⨯--+⎨⎬⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎪ ⎪⎝⎭33333 sin sin(120)sin(120) 1.500cos cos(120)cos(120)0 1.5000Tm lm llL LL LL θθθθθθ⎛⎫⎪-︒+︒+⎛⎫⎪ ⎪⎪-︒+︒=+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭3/23()f s r sC Fψθ设3331.5d m lL L L=+，3331.5q m lL L L=+，033lL L=(4-25) 则，0dq坐标系中定子侧的磁链方程为33030001.5000000d d dq q q flL iL iL iψψψψ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦(4-26) 从式（4-1）可推出A A Au R i pψ=+(4-27) 从式(4-20)至(4-23)推出sin cos)A d qx x xθθ=+(4-28) 把式(4-27)代入式(4-28)000 ()sin()cos)0d d d s q d d q s qu Ri p u Ri p u Ri pψωψθψωψθψ--++---+--=(4-29) 要使任意θ值都能使得式(4-29)成立，须满足如下条件000d d d s qq q q s du R i pu R i pu R i pψωψψωψψ=+-⎧⎪=++⎨⎪=+⎩(4-30)因为式(4-3)中的零序分量i与机电能量转换无关，所以只要考虑dq坐标系中的直轴、交轴的分量sin sin(120)sin(120)sin 1.5cos cos(120)cos(120)sin(120)0sin(120)0f fθθθθψθθθθψθ⎛⎫⎪-︒+︒⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪=-︒+︒⨯-︒=⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥+︒⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎝⎭s d qsd q j i i ji ψψψ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(4-31) 式（4-3）和（4-31）可推出*Im()s s e p T n i ψ=-Im{()()}p d q d q n j i ji ψψ=-+-()p d q q d n i i ψψ=-将式(4-26)代入得33(1.5())e p f q d q d q T n i L L i i ψ=+- (4-32)由上述推导可以求得dq 坐标系中三相PMSM 的定子侧电压方程为d d d s qq q q s d u R i p u R ip ψωψψωψ=+-⎧⎨=++⎩ (4-33)dq 坐标系中三相PMSM 的定子侧磁链方程为331.5d d d f q q q L i L i ψψψ=+⎧⎨=⎩(4-34)dq 坐标系中三相PMSM 的定子侧电磁转矩为33(1.5())e p f q d q d q T n i L L i i ψ=+- (4-35)式(4-33)-(4-35)中，d u ，q u 是定子电压的dq 轴分量； d i ，q i 是定子电流的dq 轴分量；R 是定子的电阻；d ψ、q ψ为定子磁链的dq 轴分量；s ω是同步电角速度； 3d L ，3q L 代表dq 轴电感分量； p n 代表极对数； f ψ代表永磁体磁链；p 代表微分算子/d dt [37]。