2．2分层抽样与系统抽样[学习目标] 1.理解分层抽样\系统抽样的概念.2.会用分层抽样、系统抽样从总体中抽取样本.3.能用分层抽样、系统抽样解决实际问题．知识点一分层抽样的概念将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照__________随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作________，有时也称为类型抽样．分层抽样具有如下特点：(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；(2)按比例确定每层抽取个体的个数；(3)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样的方法；(4)分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；(5)分层抽样也是等机会抽样，每个个体被抽到的可能性都是样本容量n总体容量N，而且在每层抽样时，可以根据个体情况采用不同的抽样方法．知识点二分层抽样的步骤思考分层抽样的总体具有什么特性？题型一对分层抽样概念的理解例1有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．现从中抽出8件进行质量分析，则应采取的抽样方法是()A．抽签法B．随机数法C．系统抽样D．分层抽样反思与感悟 判断抽样方法是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点：(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．(2)样本能更充分地反映总体的情况．(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．跟踪训练1 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个．方法2：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下列说法正确的是( )①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是15； ②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③题型二 分层抽样的应用例2 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？反思与感悟 利用分层抽样抽取样本的操作步骤：(1)将总体按一定属性特征进行分层；(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)；(5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．跟踪训练2 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是________．例3 某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，为了调查他们的身体状况，从中抽取一个容量为36的样本，则最适合抽取样本的办法是( )A ．简单随机抽样B ．抽签法C ．分层抽样D ．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样知识点一 系统抽样的概念当总体容量和样本容量都很大时，无论是采用分层抽样或简单随机抽样，都是非常麻烦的．系统抽样就是为了解决这个问题．系统抽样是将总体中的个体进行编号，___________，在第一组中按照_________抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样． 系统抽样具有如下特点：(1)当总体中的个体数较大时，用系统抽样更易实施，更节约成本；(2)系统抽样的效果与个体的编号有关，如果编号的特征随编号呈周期性变化，可能使样本的代表性很差知识点二 系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：(1)编号：先将总体的N 个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；(2)分段：确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n； (3)确定第一个编号：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；(4)成样：按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．知识点三 三种抽样方法的比较简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的比较如下表所示：题型一 对系统抽样概念的理解例1 下列抽样中，最适宜用系统抽样的是( )A ．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200名入样B ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D ．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样反思与感悟 系统抽样适用于个体数较大的总体，判断一种抽样是否为系统抽样，首先看在抽样前是否知道总体是由什么构成的．抽样的方法能否保证将总体分成几个均衡的部分，并保证每个个体等可能入样．跟踪训练1 下列抽样方法不是系统抽样的是( )A ．从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号的顺序，随机选起点i 0，以后选i 0＋5，i 0＋10(超过15则从1再数起)号入选B ．工厂生产的产品用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验C ．做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调查人数为止D ．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈 题型二 系统抽样的应用例2 为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．反思与感悟 当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k ＝N n；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．跟踪训练2 现有60瓶牛奶，编号为1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽取的编号可能为( )A ．3,13,23,33,43,53B ．2,14,26,38,42,56C ．5,8,31,36,48,54D ．5,10,15,20,25,30题型三系统抽样的设计例3某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．反思与感悟 1.当总体容量不能被样本容量整除时，要先从总体中随机剔除整除后余数个个体且必须是随机的，即每个个体被剔除的机会均等．剔除个体后使总体中剩余的总体容量能被样本容量整除.2.剔除个体后需对样本重新编号.3.起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．跟踪训练3为了了解参加某次考试的2607名学生的成绩，决定用系统抽样的方法抽取一个容量为260的样本．请根据所学的知识写出抽样过程．题型四抽样方法的综合应用例4为了考察某校的教学水平，抽查了这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察．为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计14人，考察这14名学生的成绩；③把该校高三年级的学生按成绩分成优秀，良好，普通三个级别，从中抽取100名学生进行考查(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)．根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步骤．反思与感悟 1.简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用．2．三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法．3．三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．跟踪训练4下列问题中，宜采用的抽样方法依次为：(1)________；(2)________；(3)________；(4)________．(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；(2)某社区有1200户家庭，其中高收入家庭420户，中等收入家庭470户，低收入家庭310户，为了调查该社区购买力的某项指标，要从所有家庭中抽取一个容量为120的样本；(3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；(4)已知某校高一学生的学号后三位数字从001编至805，教育部门准备抽查该校80名高一学生的体育达标情况．例5 要从参加全运会某些项目比赛的1013名运动员中抽取100名进行兴奋剂检查，采用何种抽样方法较好？写出过程． 088,188,288,388,488,588,688,788,888,988.1.对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式解：(1)样本容量n 总体容量N ＝各层抽取的样本数该层的容量； (2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比．2．选择抽样方法的规律：(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法．(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．(3)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法．3.系统抽样的实质是“分组”抽样，适用于总体中的个体数较大的情况．4．解决系统抽样问题的两个关键步骤为(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)用系统抽样法抽取样本，当N n不为整数时，取k ＝⎣⎡⎦⎤N n ，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N －nk )个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．抽签法C ．随机数表法D ．分层抽样2．为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，必须要求( )A ．每层的个体数必须一样多;B ．每层抽取的个体数相等;C ．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取n i ＝n ·N i N(i ＝1,2，…，k )个个体，其中k 是层数，n 是抽取的样本容量，N i 是第i 层所包含的个体数，N 是总体容量;D ．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制;3.甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．20人，30人，10人D ．30人，50人，10人4．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．5．为了解1200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔k 为( )A ．10B ．20C ．30D ．406．为了了解参加某次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为( )A ．2B ．3C ．4D ．57．要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按抽签方法确定的号码是( )A ．7B ．5C ．4D ．38．在1000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，公证部门用随机抽样的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，这种抽样方法是________，这10个中奖号码为__________________________________．9. 已知函数f （x ）=﹣2sin 2x+2sinxcosx+1．（1）求f （x ）的最小正周期及对称中心；（2）若x ∈[﹣，]，求f （x ）的最大值和最小值．。