x→0 1
13、 求 lim(sin 2 x + cos x) x ．
2
x→0
2 + cos x x2 14、 求 lim( ) . x→0 3
1
第 2 页 共 10 页
1 − 1 − x2 1 15、 若 lim = ， 求： a 的值. x→0 xa 2 1 2 n n 16、 设 un = （ 1 + （ ) 1 + ) L （ 1 + ) ，求： lim un . n →∞ n n n
】
1 ( f (a ) + f (b)) ． 2
三、
1、 求 2、 求
不定积分
∫x
2
2x + 1 dx . + 2x + 2 1
2
∫ ( x + 1)( x
1
2
+ 1)
dx
3、 求
∫ x ( x + 1) dx . ∫
3
4、 求
1 dx ． x+5x
5、 求
arcsin e x ∫ e x dx . arctan e x ∫ e2 x dx .
x 24、 设 x > 0, 证明 f ( x) = ( x − 4) e 2 − ( x − 2)e + 2 < 0 ． 2 2 25、 证明：若 e < a < b < e 2， 则 ln b − ln a > x
4 (b − a ). e2
第 4 页 共 10 页
e x sin x 26、 已知 F ( x ) = x a
5、 设 y = x ln(1 + x ) ，求： y 对 x 的 10 阶导数 y (10) ( x) .
6、 设函数 x = x( y ) 由 y − x + sin x = 0 所确定，求： 7、 设 y = arcsin
dx d 2 x ， . dy dy 2
x − 1 + x e ，求： dy .
第 1 页 共 10 页
浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题
一、 极限与连续
2 1、 求 lim [ x + 2 x + sin x − ( x + 2)] x →+∞
2、 求 lim( −
x→0
1 x
1 ) e −1
x
3、 求 lim
x →−∞
x 2 + sin x − x x + ln x ln(1 + x ) − sin x
y = f ( x)
【
】
（A）有一个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （B）有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （C）有一个拐点，一个极小值点，二个极大值点. （D）有一个拐点，二个极小值点，一个极大值点.
第 5 页 共 10 页
32、曲线 y =
1 + ln(1 + e x ) 的渐近线的条数 x( x − 1)
数连续.
x≠0 x=0
为连续函数.（1）求常数 a ；
（2）证明 F ( x) 的导函
27、 设常数 a > 0 ，讨论曲线 y = ax 与 y = 2ln x 在第一象限中公共点的个数. 28、 设 f ( x) 在 ( −∞, +∞ ) 上存在二阶导数, f (0) < 0, f ′′( x) > 0 ,证明: (1) f ( x) 至多有两 个零点,至少有一个零点； （2） 若 f ( x) 的确有两个零点， 则此两个零点必反号 （ . 注：f ( x) 的零点就是方程 f ( x ) = 0 的根） 29、 设 f ( x) 在闭区间 [ a，b] 上连续， ( a，b) 内可导， （Ｉ）叙述并证明拉格朗日中值定理； （ II ） 如果再 设 f ( a) = f (b) ，且 f ( x) 不是常数， 试 证明至 少 存在一点 ξ ∈ ( a，b) 使
.
sin x 3 是 f ( x) 的一个原函数，求： ∫ x f ′( x)dx . x
15. 设 b 为常数，且积分 16. 设 S ( x ) =
∫
+∞ 1
(
x 2 + bx + 1 − 1)dx 收敛，并求 b 的值及该积分的值. x ( x + 2)
(1) 求： S (π ) 及 S ( nπ ) ；(2) 求： lim
dy . dx
x+ y 13、 设 y = y ( x ) 是由方程 e − 2 x − xy − 1 = 0 确定的 x 的可导函数，求： dy x = 0 .
14、 设 f ′′( a) 存在， f ′( a) ≠ 0 ，求： lim[
x →a
1 1 − ]. f ′(a)( x − a ) f ( x ) − f (a)
x 6 x − x 2 dx dx x x2 − 1 dx . x x −1 x3e − x dx . dx . x ( x + 1)
+∞ 0
2
7. 求
+∞ 2
8. 求

+∞ 1 +∞ 0 +∞ 0
9. 求
10. 求
11. 已知
∫
e − x dx =
2
−x +∞ 1 − e π ，求： ∫ dx ． 0 2 x3 1
3
4、 求 lim
x→0
1 − x2 −1
1
2
．
5、 求 lim( e − x ) x
x x →0
6、 求 lim
sin x − tan x x → 0 tan x(e x − 1) ln(1 − x) 1 2 + cos x x [( ) − 1] x3 3 ln(1 + x ) − sin x
3
x
21、 求由方程 2 y 3 − 2 y 2 + 2 xy + y − x 2 = 0 确定的函数 y = y ( x ) 的极值,并问此极值是极大 值还是极小值，说明理由． 22、 求曲线 y = arctan x 在横坐标为 1 的点处的切线方程. 23、 求曲线 ln( y + x) − cos( xy ) = x 上点 x = 0 处的切线方程.
6、 求
7、 求
∫ sin
x cos x dx . 2 x
ln(1 + x 2 ) 8、 求 ∫ dx , x3
第 6 页 共 10 页
9、 求
x2 − x + 1 ∫ x( x − 1)2 ln xdx ,
四、
1. 求
定积分
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 −1 1 −1 1 −1 2 −2 π 0 6 0
ex 3.设 y ( x) = arccote − ln ，求 y ′( x) . ex + 1
d2y x = 1− t2 ,求 2 . dx y = arcsin t x = t + arctan t + 1 y = t + 6t
3
18、 设由参数式
，所确定的函数 y = y ( x ) 在 t = −1 处的一阶导数
x →∞
15、 设 f ( x) 在 ( a， + ∞) 内可导，且 lim f ′( x) = a, 证明： lim
x →∞
f ( x) =a． x
x
x = sin t − arctan t , 16、 设 2 y = ln(t + 1 + t ),
17、 设
dy d 2 y , 求 dx dx 2
．
x =0
第 3 页 共 10 页
10、 设 y = arcsin
x − 1 + x e ，求： dy . dy dx
．
x =0
2x
11、 设 y = y ( x ) 是由方程 ln( x 2 + y ) = x 3 y + sin x 所确定，求：
x 12、 设 y = x sin 4 + (arctan 2 x) 3 + ln 2 ，求:
(
x3 1+ x
2
+ x 2 ) 1 − x 2 dx
2. 求 3. 求 4. 求 5. 求 6. 求
( x3 + x 2 ) 1 − x 2 dx ( x + 2 x )2 1 − x 2 dx , ( x 3 + 2 x ) 4 − x 2 dx , x sin 2 x dx ． 1 + cos 2 x
17、 设当 x > −1 时 f ( x ) = lim
1
x + e nx ，讨论 f ( x ) 的连续性． n →+∞ 1 + e nx
x→0 x→0
18、 设 f ( x) = u ( x) + v ( x)，g ( x) = u ( x) − v ( x ) ，并设 lim u ( x ) 与 lim v( x ) 均不存在，则下 列结论正确的是 （A）若 lim f ( x ) 不存在，则 lim g ( x) 必存在；
7、 求 lim
x→0
8、 求 lim
x→0
1 − x2 −1
,
9、 求 lim
4x2 + x +1 + x + 1 x 2 + sin x
1 sin 2 x
x →−∞
10、 求 lim(cos x )
x →0
11、 求 lim(
x→0
sin x x2 ) x
1