高等数学基础试题类型高等数学基础试题类型分为单项选择题、填空题、计算题和应用题。

单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；计算题或应用题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。

四种题型分数的百分比为：单项选择题20%，填空题20%，计算题44%，应用题16%。

期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。

高等数学基础模拟题一、单项选择题1.函数2e e xx y -=-的图形关于（A ）对称．(A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y =2.在下列指定的变化过程中，（C ）是无穷小量．(A) )(1sin∞→x x x (B) )0(1sin→x x(C) )0()1ln(→+x x (D) )(e1∞→x x3.设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（C ）．(A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '- 4.若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f xd )(ln 1（B ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x +)(ln 1 (D) c xF +)1( 5.下列积分计算正确的是（D ）． (A) 0d sin 11=⎰-x x x (B) 1d e 0=⎰∞--x x(C) πd 2sin 0=⎰∞-x x (D) 0d cos 11=⎰-x x x6.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（A ）对称．(A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点7.当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． (A)x 1 (B) x x sin (C) 1e -x(D) 2xx 8.设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim（B ）．(A) e 2 (B) e (C)e 41 (D) e 21 9.=⎰x x xf xd )(d d2（A ）． (A) )(2x xf (B)x x f d )(21 (C) )(21x f (D) x x xf d )(2 10.下列无穷限积分收敛的是（B ）．(A)⎰+∞d e x x (B) ⎰+∞-0d e x x (C) ⎰+∞1d 1x x (D) ⎰+∞1d 1x x二、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数24)1ln(xx y -+=的定义域是 )2,1(- ．2.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=00)1()(21x kx x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．3.曲线1)(3+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 3 ． 4.函数x y arctan =的单调增加区间是 ),(∞+-∞ ．5.若⎰+=c x x x f sin d )(，则=')(x f x sin - ．6.函数)1ln(92--=x x y 的定义域是{}|13,2x x x <≤≠．7.函数⎩⎨⎧≤>-=0sin 01x x x x y 的间断点是 0x = ．8.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是12． 9.函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是 (),1-∞-．10.='⎰x x d )(sinsin x C + ．三、计算题（每小题11分，共44分） 1.计算极限1)1sin(lim21-+-→x x x ． 解：21)1)(1()1sin(lim 1)1sin(lim 121-=-++=-+-→-→x x x x x x x 2.设xxy 3e cos +=，求y d ．解：)3(d )e (cos d )3e (cos d d xxxxy +=+=x xxxln3d 3)e (d e sin +-= x x xxxln3d 3d e sin e +-= x xxxln3)d 3e sin e (+-=3.计算不定积分⎰x x xd e21．解：由换元积分法得 c u x x xuu x x+-=-=-=⎰⎰⎰e d e )1(d e d e 121c x +-=1e4.计算定积分⎰e1d ln x x ．解：由分部积分法得⎰⎰-=e 1e1e1)d(ln ln d ln x x x x x x 1d e e1⎰=-=x5.计算极限x x x 5sin 6sin lim 0→．解：00sin 6sin 661666lim lim sin 5sin 551555x x xx x x x x→→=⨯=⨯=．6.设xx y 2sin 2+=，求y '．解：()()()2sin 22sin sin 2ln 2xxy x x x ''''=+=+ 2sin cos 2ln 2x x x =+7.计算不定积分⎰x x x d 3cos ．解：sin 3sin 3sin 3cos3d d d 333x x x x x x x x x x x '⎛⎫'==⋅-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ sin 31sin 3d 33x x x x =⋅-⎰ sin 31cos333x x x C =⋅++ 8.计算定积分⎰+e1d ln 2x xx． 解：()ee 112ln d 2ln d(2ln )xx x x x+=++⎰⎰()()()22212ln 2ln 2ln1|222ex e +++==-52=四、应用题（本题16分）1、某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为rV r rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4r V r S -=' 由0='S ，得唯一驻点3π2V r=，由实际问题可知，当3π2V r =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π4V时，用料最省． 2、 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：如图所示，圆柱体高h ，与底半径r 满足 222h r l += 圆柱体的体积公式为 2V r h π=将222r l h =-代入得()22V l h h π=-求导得()()()2222223V h lh l h ππ'=-+-=-令0V '=得h =，并由此解得r =，即当底半径为r =，高h =时，圆柱体得体积最大。

典型例题例1 计算极限32)1sin(lim21-+-→x x x x ． 解 利用重要极限1sin lim0=→xxx ，及极限的运算法则得)1)(3()1sin(lim 32)1sin(lim121-+-=-+-→→x x x x x x x x )1()1sin()3(1lim 1--⋅+=→x x x x )1()1sin(lim)3(lim 111--⋅+=→→x x x x x 41141=⋅= 例2 计算极限1276lim 223+---→x x x x x ．解：利用极限的运算法则得5)4(lim )2(lim )4)(3()2)(3(lim 1276lim 333223-=-+=--+-=+---→→→→x x x x x x x x x x x x x x 例3 设xx x y sin ln 3-=，求y '．解：利用导数的运算法则得xx x x x x x x x x y 2333sin ))(sin ln (sin )ln ()sin ln ('--'-='-='x x x x x x x 233sin cos )ln (sin ])(ln )[(--'-'=xx x x x x x 232sin cos )ln (sin )13(---= 例4 设2sin ln x y =，求y '．解：设2sin x u=，2x v =得u y ln = v usin = 2x v =利用复合函数求导法则，得x v u x v u y x y '⋅'⋅'='=')sin (ln 2 x v u x v u )()(sin )(ln 2'''=x v u2cos 1⋅⋅=222tan 2sin cos 2x x x x x == 例5 设yy x =()是由方程4e ln y y x +=确定的函数，求d y ．解：利用导数运算法则和复合函数求导法则，等式两端分别对x 求导得左：y yy y y y x '='⋅'='1)(ln )(ln右：y y y y y x x x x x x'⋅'+='+'='+)(e )()e ()e(444 y y x '⋅+=34e由此得 y y y y x '⋅+='34e 1 整理得441e yy y x -=' 由微分定义得x yy y xd 41e d 4-= 例6 计算⎰x x xd e21．解：利用换元积分法得⎰⎰⎰-=--=)1d(e d e 1d e 11221x x x x x xx xc u u xu u +-=-=⎰e d e 1c x+-=1e例7 计算⎰x x xd ln α．解：利用分部积分法得⎰⎰⎰+-+=+=+++)(ln d 1ln 1)1(d ln d ln 111x x x x x x x x x ααααααα⎰+++-+=x xx x x d 111ln 111αααα ⎰+-+=+x x x x d 11ln 11ααααc x x x ++-+=++)1(ln 111αααα 例8 求曲线x y 22=上的点，使其到点)0,2(A 的距离最短． 解：曲线x y 22=上的点到点)0,2(A 的距离公式为22)2(y x d +-=d 与2d 在同一点取到最小值，为计算方便求2d 的最小值点，将x y 22=代入得x x d 2)2(22+-=令 2)2(2)(2+-='x d令0)(2='d 得1=x ．可以验证1=x 是2d 的最小值点，并由此解出2±=y ，即曲线x y 22=上的点)2,1(和点)2,1(-到点)0,2(A 的距离最短．高等数学基础第一次作业（一） 单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B.2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y =⒊下列函数中为奇函数是（B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y-= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（D ）．A. 12lim 22=+∞→x x xB. 0)1ln(lim 0=+→x xC. 0sin lim =∞→x x xD. 01sin lim =∞→xx x⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． A.xxsin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。