2017—2018学年上学期竞赛试卷
高一数学
总分：150分时间：120分钟
一、选择题:(本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)
1．设全集是实数集都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）
A. B.
C. D.
2．已知集合中的是一个四边形的两条对角线的长，那么这个四边形一定不
是（）
A. 梯形
B. 平行四边形
C. 矩形
D. 菱形
3．函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
4．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝( )
A. x2
B. 2x2
C. 2x2＋2
D. x2＋1
5．已知，，，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
6．函数的单调减区间是（）
A. B. C. D.
7．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，
则xf(x)＞0的解集为（）
A. B.
C. D.
8．若函数有零点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
9．若函数是R上的减函数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
10．已知函数是定义域为的偶函数，且时，，则函数的零点个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11．若点分别是函数与的图像上的点，且线段的中点恰好为原点，则称
为两函数的一对“孪生点”，若，，则这两个函数的“孪生点”共有（）A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
12．已知函数，若任意且都有
，则实数的取值范围（）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知幂函数在上是减函数，则实数_______. 14．设0<x<1，则函数y＝＋的最小值是________.
15．函数的最大值为，最小值为，则_____。
16．设是定义在上的奇函数，且对于任意的，恒成立，当
时，，若关于的方程有5个不同的解，则实数的取值范围是________。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
）17．（本题满分10分）
(1)已知集合,求.
(2)若，求实数的取值范围。
18．（本题满分12分）已知
(1)若；
(2)求的最大值与最小值.
19．（本题满分12分）已知函数的反函数为，．（1）求的解析式，并指出的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）设，解关于的方程.
20．对于函数,若存在，使得成立，则称为的不动点.已知函数的两个不动点分别是和.
（1）求的值及的表达式；
（2）当函数的定义域是时，求函数的最大值．
21．（本题满分12分）已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．当x＞0时，f(x)＞0.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(1)＝，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．
22．（本题满分12分）已知函数，，记。
（1）若对于一切恒成立，求实数的取值范围.
（2）对任意，都存在，使得，.若
，求实数的值；
参考答案
1—5BCDDA6----10ABCCB 11—12BA
13、2 14、4 15、4 16、
17、（1）；（2）.
18、令，，原式变为：，
（1）若，则，解得即，
（2），，
当时，此时，，
当时，此时，．
19、（1），，定义域为
（2）是偶函数，理由如下：的定义域为，关于原点对称.对任意，都有
（3）若，，令，，，因为
，所以，所以，即的值域为，
若，则方程无解；
若，则，所以，方程有且只有一个解；
若，则，所以，方程有两个解
20、(1)依题意得f(-3)=-3,f(2)=2，即解得
∴f(x)=-3x2-2x+18.
(2)①当区间［t,t+1］在对称轴左侧时,即,也即时， f(x)的最大值为f(t+1)=-3t2-8t+13；
②当对称轴在［t,t+1］内时,即,也即时, f(x)的最大值为；
③当［t,t+1］在右侧时,即时，f(x)的最大值为f(t)=-3t2-2t+18
所以.
21、
(1)证明：令x＝0，y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)为奇函数．
(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2.∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)．
∵当x＞0时，f(x)＞0，且x1＜x2，∴f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，∴f(x)为增函数，∴当x＝－2时，函数有最小值，f(x)min＝f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝－1.
当x＝6时，函数有最大值，f(x)max＝f(6)＝6f(1)＝3.
22、（1）当时，
即，
，
令，
下面求函数的最大值。
，
∴
故的取值范围是
（2）据题意知，当时，，
∵在区间上单调递增，
∴，即
又∵
∴函数的对称轴为
∴函数在区间上单调递减
∴，即
由，得，∴。