数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。

试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。

解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ，所以y 1(t )无失真；因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。

2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。

○1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即f s ≥2f m○2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s===解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nTt s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见，恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x (t )，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。

第三章 傅里叶分析I. 傅里叶变换概述3.1 [习题3.2]设序列x (n )=δ(n-m )，求其频谱X (e j ω)，并讨论其幅频和相频响应分析：求解序列的频谱有两种方法：○1先求序列的z 变换X (z )，再求频谱ωωj e z j z X e X ==)()(，即X (e j ω)为单位圆上的z 变换； ○2直接求序列的傅里叶变换 ∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()(解：对序列x (n )先进行z 变换，再求频谱，得m z m n ZT n x ZT z X -=-==)]([)]([)(δ则ωωωjm e z j e z X e X j -===)()(若系统的单位采样响应h (n )=x (n )，则系统的频率响应)}(exp{)(1)()(ωϕωωωωωj e H e e e X e H j jm jm j j ====--•故其幅频和相频响应（如图）分别为幅频响应 1)(=ωj e H 相频响应 ωωϕm -=)(由图可见，该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。

3.2 设x (n )的傅里叶变换为X (e j ω)，试利用X (e j ω)表示下列序列的傅里叶变换：（1）)1()1()(1n x n x n x --+-= （2） )]()([21)(2n x n x n x -+=*分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即)()(ωj e X n x ⇔，)()(ωj e X n x -⇔-)()(ωωj m j e X e n m x --⇔-解：（1）由于)()]([ωj e X n x DTFT =，)()]([ωj e X n x DTFT -=-，则)()]1([ωωj j e X e n x DTFT --=- )()]1([ωωj j e X e n x DTFT -=--故ωωωωωcos )(2])[()]([1j j j j e X e e e X n x DTFT ---=+= （2）由于)()]([ωj e X n x DTFT **=-故)](Re[2)()()]([2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+=* 3.3 设X (e j ω)是如图所示的信号x (n )的傅里叶变换，不必求出X (e jω)，试完成下列计算：（1）)(0j e X（2） ⎰-ππωωd e X j )(（3） ωππωd e X j ⎰-2)(分析：利用序列傅里叶变换的定义以及帕塞瓦定理来求解。

（1） 序列的傅里叶变换公式为：正变换 ∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()(反变换 ⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(（2） 帕塞瓦定理⎰∑-∞-∞==ππωωπd e X n x j n 22)(21)(解：（1）由傅里叶正变换公式可知ω=0，则6)()()(00===∑∑∞-∞=∞-∞=⋅-n n nj j n x en x e X（2）由于e j0=1，则由傅里叶反变换公式可知n=0，故πππωωππωππω422)(2)()(00====⋅=--⎰⎰n j j j n x d e e X d e X（3） 由帕塞瓦定理，得ππωππω28)(2)(22==∑⎰∞-∞=-n j n x d e XII. 周期序列的离散傅里叶级数（DFS ）3.4 如图所示，序列x (n )是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。

分析：利用DFS 的定义求解，即∑-===1)(~)](~[)(~N n kn N W n x n x DFS k X ，其中k = 0 ~ (N-1)解：已知N = 6，则由DFS 的定义得k jk jk j k j k j n nk j n kn eeee e en x W n x k X 5624623622626250625061068101214)(~)(~)(~ππππππ-----=-=+++++===∑∑对上式依次取k = 0 ~ 5，计算求得339)5(~33)4(~0)3(~33)2(~339)1(~60)0(~j X j X X j X j X X +=-==+=-==，，，， 3.5 设⎩⎨⎧≤≤+=n n n n x 其他，，0401)(，)2()(4-=n R n h令6))(()(~n x n x =，6))(()(~n h n h =，试求)(~n x 与)(~n h 的周期卷积。

分析：可以利用列表法求解，直观方便。

由于)(~)(~n x n y =○*∑-=-=1)(~)(~)(~N m m n h m x n h 只要将列表中对应于某个n 的一行中的)(~m n h -值和第一行中与之对应的)(~m x 值相乘，然后再将所有乘积结果相加，就得到此n 的)(~n y 值 解：注意：本题需要利用下一节中有限序列与周期序列的关系以及序．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．列循环移位的概念。

．．．．．．．．．在一个周期（N =6）内的计算卷积值)(~)(~n x n y =○*∑-=-=1)(~)(~)(~N m m n h m x n h 则)(~n x 与)(~n h 的周期卷积)(~n y 值（n =0~5）如下表所示：III. 离散傅里叶变换（DFT ）3.6 已知x (n )如图所示，为{1，1，3，2}，试画出序列x ((-n ))5，x ((-n ))6 R 6(n)，x ((n ))3 R 3(n)，x ((n ))6， x ((n-3))5R 5(n) 和x ((n ))7 R 7(n)的略图。

分析：此题需注意周期延拓的数值，也就是x ((n ))N 中N 的数值。

如果N 比序列的点数多，则需补零；如果N 比序列的点数少，则需将序列按N 为周期进行周期延拓，造成混叠相加形成新的序列。

解：各序列的略图如图所示。

3.7 试求下列有限长序列的N 点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）：（1）)()(n R a n x N n = （2）N n n n n x <<-=000)()(，δ （3）)()(n nR n x N = （4）)()(2n R n n x N = 分析：利用有限长序列的DFT 的定义，即10)()(10-≤≤=∑-=N k W n x k X N n knN ，解：（1）因为)()(n R a n x N n =，所以k Nj N N n nk Njn N n knNn aea ea Wa k X ππ2121011)(--=--=--===∑∑（2）因为N n n n n x <<-=000)()(，δ，所以k n Njn n knNN n knNeW W n n k X 002100)()(πδ-=-===-=∑（3）由)()(n nR n x N =，得∑-==10)(N n knN nW k X注意：为了便于求解，必须利用代数简化法消除掉上式中的变量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．n ．。

．∑-=+=10)1()(N n n k N kNnW k X W NW W N WN W N W N W W W N W W W nW nWW k X kNk N N n knNkNN N k N k N k N N k N k N k N k N N n n k N N n kn Nk N-=--+--=+--=-+-+++--++++=-=-∑∑∑-=---=+-=11)1()1(])1()2(2[])1(32[)1)((11)1(32)1(321)1(1则所以kNW Nk X --=1)( （4）注意：本题可利用上题的结论来进行化简。