平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线)相交。所构成的三角形与原 三角形相似。
A D B E
∵ DE∥BC
C ∴△ADE∽△ABC
AD AE DE AB AC BC
A A, ADE B, AED C
如图，△ABC 中，DE∥BC， GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则 图中与△ABC相似的三角形共有多 少个?请你写出来. A
∵A A, B B, C C
B C B′ C′
∴△ABC∽△A´B´C´ 2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与 △ABC相似比为 1
k
成比例 相等 对应边——————的两个三 对应角_______, D 角形, 叫做相似三角形 . A
C E 6 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F B
相似三角形判定方法
1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等； 2、（预备定理）平行于三角形一边的直线与 其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的 三角形与原三角形相似。
拓展提高：
1.如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,
若 BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6, 求线段AE的长度
D A
1.5 2 6
D
A
E
C
7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值 （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE 求AE和BC的长．
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB， DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
F A A E G F G E
“A”型
A D B
（图1）
“X”型
D E
E
O
C
B
（图2） C
符号语言： 在△ABC中， ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
练习：
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可 能多地找出图中的相似三角形，并 O E 说明理由。
1. EF∥AB 2.EF∥CD 3.AB∥CD
或：
F
Δ OEF∽Δ OAB
A
C
解：∵MD∥AC， B ∴△BDM∽△BAC MC 3 BD BM 2 ∴ = = ， BC = 5 BA BC 5
A D E
2份 M
3份
C
5份
又∵ ME∥AB， ∴△CEM∽△CAB CE CM 3 = ∴ = 5 CA CB
拓展提高：
3.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC， E,F为中点. 求证：（1）△EDM∽△FBM； (2) BD=9，求BM的长
D C F M A E B
再 见
D B
三角形相似 具有传递
Δ OEF∽Δ OCD Δ OAB∽Δ OCD
Δ OEF∽Δ OAB Δ OEF∽Δ OCD
性!
Δ OAB∽Δ OCD
练习：
2、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请 尽可能多地找出图中的相似三角形， D 并说明理由。
1. DE∥BC 2.DF∥AC 3. Δ ADE∽Δ ABC Δ DBF∽Δ ABC Δ ADE∽Δ ABC
E A
C
D
B
AD AE DE . AB AC BC
故△ADE∽ △ABC,
B
若DE ∥ BC 则 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠ACB=∠DCE,
D
A C E
AB AC BC . DE DC CE
若△ABC∽ △DEC,
从上面的解答中，你获得了那些信息？
A
E
E
D A
D
B
C
B
C
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两 相似.
23.2相似三角形的判定 之
预备定理
回顾：
两个条件要 同时具备
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形.
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三 角形是相似三角形. 符号语言：
A A′
在△ABC和△A´B´C´中，
AB BC CA . AB BC CA
C
F
l5
练习：
如图，l3∥l4 ∥l5 ,请指出成比例的线段. l1
A D B E C
l2
l1
l2
E
l3 l4 l5
D
l3 l4
C
A
B
l5
l1
A D B
l2 l3
E C
l1
D
A B
l2
E
l3 l4
C
l4 l5
l5
平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对 应线段的比相等.
三角形的中位线截得的三角形与原三角形 是否相似？相似比是多少？
边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形
相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的三角形与原三角形相似。 DE//BC △ADE∽△ABC
A
A
E A
D
D B
E C
B D
C E
B C
判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线） 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
C
变式3：若点D是BA延长线上的 一点,过点D作DE∥BC，与CA的 延长线交于点E，△ADE与 △ABC相似吗? E
A
D
∵ DE∥BC
G
B
F C
∴△ADE ∽ △ABC
如图，已知DE ∥ BC, 则．．．．．． 若DE ∥ BC则 ∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB,
解： 与△ABC相似的三角形有3个:
△AＤＥ △ＧＦＣ
B
G D O E C
△ＧＯＥ
F
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1：4 （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。
A D E F
G H I C
探索发现：
变式1：如图，在△ABC中,点D为AB中点, 过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与 A △ABC相似吗? ∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
B D E C
变式2：如图，若点D是AB边 上的任意一点, 过点D作 DE∥BC，量一量，检验△ADE 与△ABC是否相似。
D B
A
E
∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
5、如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点， 且 BE:EC=3:2 ， 连 接 AE 、 BD 交 于 点 F ， 则 BE:AD=_____，BF:FD=_____。 A 3:5 3:5 D
F B E C
6、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB 于 D ， 过 点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E ， 若 AD:DB=3:2，则EC:BC=______。 B 3:5
B F
A
E
C
Δ DBF∽Δ ABC
三角形相似 具有传递
性!
Δ ADE∽Δ DBF
这是两个极具代表性的
相似三角形基本模型：“A”型和“X”
A D B
A
A
型
E
B
D
E l
B
C l
C
D
E
C
B A C D
E
D A
l
E
B
C
这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你 可要认真噢！
相似三角形判定的预备定理：
B
练一练1
1如图 已知DE∥BC ∥AC,请尽可能多地找出图中的 相似三角形，并说明理由。
A A
D
E F
D
E G
B
F
C
B
C
2.如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结 BC交对角线AC于E，交AD于F，则： (1)图中与△AEF相似的三角形有___。 (2)图中与△ABC相似的三角形有___。 (3)图中与△GFD相似的三角形____。
B
D
C
B
D
C
10.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
A
AE AG AB AD
G C
E F
G
E A B
B C
D
F
D
11.已知DE∥BC,EF∥CD, AD AB 求证:
AF
A
AD
E A
E
D
F D
F B C
B
C
12:如图，E是平行四边形ABCD的边BC 的延长线上的一点，连结AE交CD于F， 则图中共有相似三角形（ ） A1对 B2对 C3对 D4对
当两个三角形的相似比为 1 时，它们 是全等的，全等是相似的一种特殊情况。
探究：
如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、 l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5 在 l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条 线段DE,EF的长度. l1 AB DE l2 相等吗？ 与 BC EF l3 A D 任意平移l5，再度量 l4 B E AB,BC，DE,EF的长 度. l5 AB DE 相等吗？ C F 与 BC EF
B E
6 2
C
3
F
练习：
1、若
吗？
BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段AE的长度
A
解：∵DE∥BC,DF∥AC ∴四边形DFCE为平行四边形 ∴FC=DE=2，EC=DF=6 ∵DF∥AC ∴△BDF∽△BAC
B F DF ∴B C AC