【基础知识】
知识点
一
、
分
式
的
有
关
概
念
及
性
质
1．分式
如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子就叫做分式。
分式中，A 叫做分子，B 叫做分母。
分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式
才有意义。
2
．
分
式
的
基
本
性
质
（M 为不等于0的整式）. 3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
如果分子分母有公因式，要进行约分化简。
1．当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A.
2
2x x B. C. D.
总结升华：分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零。
2．若分式的值为零，则x 的值为 ．
总结升华：分式等于零的条件是：分子等于零，分母不等于零，两个条件缺一不可。
举一反三：
（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；
（2）当x________时，分式没有意义．
3．下列各式从左到右的变形正确的是（）A．B．
C．D．
总结升华：分式的恒等变形用的是分式的基本性质，可类比分数的基本性质来进行。
【变式】如果把分式中的x,y都扩大10倍,那么分式的值一定( ) A．扩大10倍B．扩大100倍C．缩小10倍D．不变
知识点二、分式的运算1．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分需注意事项：
(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；
(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式
的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积。
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
通分注意事项：
(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字
母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积。
(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉。
3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算±＝
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
；
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
（2）乘法运算
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
（3）除法运算
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘。
（4）乘方运算（分式乘方）
分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
4．零指数
. 5．负整数指数
6．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的。
4．化简分式
总结升华：观察题目中分式的特点是寻找解题思路的关键．【变式1】
【变式2】整体通分法计算：
5．（1）巧用裂项法计算：
总结升华：分式计算时先对分式的分子与分母因式分解有利于发现分式之间的联系．【变式】计算：
（2）分组通分法计算：
（3）分子降次法计算：－－＋
【变式】计算
知识点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；
(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解。
解分式方程的基本思想是去分母，将分式方程转化为整式方程，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母方法，关键是确定最简公分母。
6．解方程
7．若分式方程mx＋1 x－1
＝－1有增根，则增根为________，此时m的值为________．
举一反三：【变式1】解方程
【变式2】已知分式方程的解为非负数，求a的取值范围?
【变式3】若关于x的方程
2
x－3
＝1－
m
x－3
无解，则m＝________.
知识点四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解。
另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性。
方法指导（一）分式的概念需注意的问题
（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；
（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母．
（二）约分需明确的问题
（1）对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．
（三）确定最简公分母的方法（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数。
（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.
（四）列分式方程解应用题的基本步骤（1）审——仔细审题，找出等量关系；
（2）设——合理设未知数；
（3）列——根据等量关系列出方程；
（4）解——解出方程；
（5）验——检验增根；
（6）答——答题。
8．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对
城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．
总结升华：解分式方程时要抓住“审、设、列、解、验、答”六个步骤，同时还需验根。
举一反三：
【变式1】某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部
工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．
⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
⑵若工期要求不超过
15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
总结升
华：在求解时，把，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解.
【变式2】A、B两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车原来的速度和乙车的速度．
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一、填空题
1．当________时，分式有意义．
2. 化简的结果是___________.
3．若分式的值为零，则x的值等于___________．4．如果－3 是分式方程的增根，则a＝___________.
5．一汽车在a小时内走x千米，用同样的速度，b分钟可以走__________千米．
二、选择题
6. 计算：的结果是（）
（A）（B）（C）
（D）
7．下列关于x的方程，其中不是分式方程的是（）
（A）（B）
（C）（D）
8．一件工程甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数
是（）（A）a＋b （B）（C）（D）
9．解关于x的方程（m2－1）x＝m2－m－2 (m2≠1) 的解应表示为（）（A）x＝（B）x＝
（C）x＝（D）以上答案都不对
三、解方程
10．（1）（2）；
（3）；（4）．（5）
四.先化简，再求值：，其中x满足。
五．某文具厂加工一种学生画图工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的1.5倍，结果提前5天完成任务，求该文具厂原来每天加工多少套这种学生画图工具．。