第5章 分式5．1 分式知识点1 分式的概念如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 就是分式．分式AB 中，A 叫做分子，B 叫做分母．[注意] 判断一个式子是不是分式，不能把原式变形(如约分)，而只能根据其原始形式判断．如x2x是分式．π是圆周率，是一个常数，不能看成字母．1．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ (1)1x ；(2)－x 2；(3)2xy x ＋y ； (4)2x －x 3；(5)14(x 2＋1)．知识点2 分式有意义的条件(1)分式A B 有意义的条件：分母不为零，即当B≠0时，分式AB 有意义．(2)分式A B 无意义的条件：分母为零，即当B ＝0时，分式AB 无意义．2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ (1)x x －3；(2)x ＋1x 2＋9；(3)x|x|－2.探究 一 掌握分式值为零的条件教材例1(2)的拓展题当x 为何值时，下列分式的值为零？ (1)2x －1x ＋4； (2)x 2－9x －3.[归纳总结] 分式AB 的值为零的条件是分子为零，且分母不为零，即当A ＝0且B≠0时，分式AB的值为零．探究 二 用分式表示实际问题中的数量关系教材例2变式题一辆汽车行驶a 千米用b 小时，它的平均车速为________千米/时；一列火车行驶a 千米比这辆汽车少用1小时，它的平均速度为________千米/时．[反思] 已知分式x 2－1x －1的值为0，求x 的值．解：因为x 2－1x －1的值为0，所以x 2－1＝0.解得x ＝±1.以上的解答正确吗？若不正确，请改正．一、选择题1．下列式子是分式的是( )A .x 2B .x x ＋1 C .x 2＋y D .x 32．若分式2a ＋1有意义，则a 的取值范围是( )A ．a ＝0B ．a ＝1C ．a ≠－1D ．a ≠03．2016·连云港若分式x －1x ＋2的值为0，则( )A ．x ＝－2B ．x ＝0C ．x ＝1D ．x ＝1或x －24．若a ＝－1，b ＝2，则代数式ab －b2a ＋b的值是( )A ．5B ．－5C ．6D ．－65．下列说法正确的是( )A ．如果A ，B 都是整式，那么A B就是分式 B ．只要分式的分子为零，分式的值就为零 C ．只要分式的分母为零，分式就无意义D .x2x不是分式，而是整式 6．下列分式一定有意义的是( )A .a 2＋1a 2 B .a －1a ＋2C .a －3a ＋3D .a 2a 2＋17．分式x ＋a 2x －1中，当x ＝－a 时，下列结论正确的是( )A ．分式的值为零B ．分式无意义C ．当a≠－12时，分式的值为零 D ．当a ＝－12时，分式的值为零8．某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a 元，之后的每一分钟收费b 元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是( )A .8－a b 分钟B .8a ＋b 分钟 C .8－a ＋b b 分钟 D .8－a －bb分钟 二、填空题9．2016·衢州当x ＝6时，分式51－x 的值等于________．10．2015·上海如果分式2xx ＋3有意义，那么x 的取值范围是________． 11．已知分式x －3x 2－5x ＋a ，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝________．12．当x ＝________时，分式|x|－2x －2的值为0.13．在一次射箭比赛中，某运动员有m 次射中a 环，有n 次射中b 环，则该运动员平均每次射中的环数是________环．14．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a 克，再称得剩余电线的质量为b 克，那么原来这卷电线的总长度是________米．15．有一组数：12，35，510，717，926，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n(n 为正整数)个数为________．三、解答题16．某学校七年级(1)班准备用m 元班费买奖品发给同学们．若买了单价为a 元/支的铅笔n 支，剩下的钱准备买单价为(a ＋b)元/本的笔记本，则共能买多少本笔记本？17．已知分式3x －4（x －1）（x －4）.求：(1)当x 为何值时，此分式有意义； (2)当x 为何值时，此分式的值为0； (3)当x ＝2时，分式的值．18．当整数x 为何值时，分式2x －1的值也是整数？19．已知分式x －nx ＋m ，当x ＝－3时，该分式没有意义；当x ＝－4时，该分式的值为0，试求(m ＋n)2020的值．20．若|2x|－4x 2－2x －8的值为0，试求x 的值．[规律探究题] 观察如图5－1－1的图形(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律．①1×12＝1－12②2×23＝2－23③3×34＝3－34④4×45＝4－45… …图5－1－1(1)写出第⑤个等式，并在图5－1－2给出的五个正方形中画出与之对应的图形；图5－1－2 (2)详解详析【预习效果检测】1．[解析] 分式的分母中必须含有字母．解：属于整式的有(2)(4)(5)，属于分式的有(1)(3)．2．[解析] 根据分式的概念，分式的分母不能为零，当分母为零时，分式无意义．因此，当分式的分母不为零时，分式才有意义．解：(1)当x －3≠0，即x ≠3时，分式xx －3有意义．(2)当x 2＋9≠0，即x 取任意实数时，分式x ＋1x 2＋9有意义． (3)当|x |－2≠0，即x ≠±2时，分式x|x |－2有意义．【重难互动探究】例1 [解析] 当分式的分子等于零，且分母不等于零时，分式的值等于零．解题时可由分子等于零求出x 的值，然后再代入分母检验，看是否使分母等于零．解：(1)当2x －1＝0时，解得x ＝12，当x ＝12时，x ＋4≠0.所以当x ＝12时，分式2x －1x ＋4的值等于零．(2)当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3. 当x ＝3时，x －3＝0，分式无意义，舍去． 当x ＝－3时，x －3≠0.所以当x ＝－3时，分式x 2－9x －3的值等于零．例2 [答案] a b ab －1[解析] 在行程问题中，路程、速度、时间三者之间的关系：路程＝速度×时间．所以，汽车的平均速度为a b 千米/时，火车的平均速度为ab －1千米/时．【课堂总结反思】[反思] 不正确．改正：因为x 2－1x －1的值为0，所以x 2－1＝0.解得x ＝±1.当x ＝1时，x－1＝0，分式无意义；当x ＝－1时，x －1＝－2，分式有意义，所以x ＝－1.【作业高效训练】 [课堂达标]1．B 2.C 3.C 4.D5．[解析] C A 项，只有分母B 中含有字母，AB才是分式．B 项，分式的值为零还有一个条件：分母≠0.D 项，x2x 的分母中含有字母，所以是分式．只有C 项正确．6．[解析] D 分式一定有意义，即分母不为0.A 项，当a ＝0时，分母为0.B 项，当a ＝－2时，分母为0.C 项，当a ＝－3时，分母为0.D 项，因为a 2≥0，所以a 2＋1≥1，分母不可能为0.故只有D 项正确．7．[解析] C 当x ＝－a 时，分母2x －1＝－2a －1；分子x ＋a ＝－a ＋a ＝0.当a≠－12时，－2a －1≠0，此时分式的值为零．故选C .8．[解析] C8－a b ＋1＝8－a ＋bb分钟． 9．[答案] －1 10．[答案] x≠－3 11．[答案] 6[解析] 由题意可知当x ＝2时，分母x 2－5x ＋a ＝22－5×2＋a ＝－6＋a ＝0，所以a ＝6. 12．[答案] －2[解析] 由分式|x|－2x －2的值为0可知|x|－2＝0，于是有x ＝±2，而当x ＝2时，分式的分母为0，分式无意义，所以x ＝－2.13．[答案] am ＋bnm ＋n[解析] 平均每次射中的环数＝总环数÷射箭总次数． 14．[答案] (ba＋1)[解析] 根据1米长的电线质量为a 克，可知剩余电线的质量除以a 即为剩余电线的长度．故电线的总长度是(ba＋1)米．15．[答案] 2n －1n 2＋116．[解析] 先用准备买奖品的班费减去买铅笔的钱，再除以笔记本的单价，即可求出能买多少本笔记本．解：根据题意，知买铅笔共用去an 元， 所以买笔记本共用(m －an)元， 故共能买m －ana ＋b本笔记本．17．解：(1)当(x －1)(x －4)≠0，即x≠1且x≠4时，分式有意义． (2)当3x －4＝0且(x －1)(x －4)≠0，即x ＝43时，分式的值为0.(3)当x ＝2时，3x －4（x －1）（x －4）＝3×2－4（2－1）（2－4）＝2－2＝－1.18．解：由题意，得x －1的值为±1，±2， 则x 的值为2，0，－1，3.所以当整数x 的值为2，0，－1，3时，分式2x －1的值也是整数．19．解：由题意，得m ＝3，n ＝－4，则(m ＋n)2020＝[3＋(－4)]2020＝()－12017＝－1.20．解：由|2x|－4＝0，可知|2x|＝4， 所以2x ＝±4，所以x ＝±2.当x ＝2时，x 2－2x －8＝4－4－8＝－8≠0； 当x ＝－2时，x 2－2x －8＝4＋4－8＝8－8＝0. 所以x 的值为2.[数学活动][解析] (1)根据等式所反映的规律，不难得出第⑤个等式．画图也是根据图形中所反映出的规律进行．(2)通过归纳上述等式，发现等式左边前面的一个因数是连续的整数，而后面的因数则是一个分数，其分子与前面的因数相同，分母比分子大1.解：(1)5×56＝5－56，所画图形如图所示．(2)n×n n ＋1＝n －nn ＋1.。