1-3 求指数函数()(0,0)at
x t Ae
a t -=>≥的频谱。

(2)220
2
2
(2)
()()(2)
2(2)a j f t
j f t
at j f t
e A A a j
f X f x t e
dt Ae e
dt A
a j f a j f a f -+∞
∞
---∞-∞-====
=-+++⎰⎰πππππππ
()X f =
Im ()2()arctan
arctan Re ()X f f f X f a
==-πϕ
1-5 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。

0cos ()0
ωt
t T x t t T
⎧<⎪=⎨
≥⎪⎩
解：0()()cos(2)x t w t f t =π ()2sinc(2)W f T Tf =π
()
002201cos(2)2j f t j f t f t e e πππ-=
+ 所以002211()()()22
j f t
j f t x t w t e w t e -=+ππ
根据频移特性和叠加性得： 000011
()()()
22
sinc[2()]sinc[2()]
X f W f f W f f T T f f T T f f =-++=-++ππ 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f 0，同时谱线高度减小一半。

也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。

1-6 求指数衰减信号0()sin at
x t e
ωt -=的频谱
解 :()
0001sin()2j t j t t e e j -=
-ωωω,所以()
001()2j t j t at x t e e e j
--=-ωω
单边指数衰减信号1()(0,0)at
x t e
a t -=>≥的频谱密度函数为
1122
1()()j t
at j t a j X f x t e
dt e e dt a j a ∞
∞
----∞
-=
==
=++⎰
⎰ωωω
ωω
根据频移特性和叠加性得：
[]001010222200222
000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]
a j a j X X X j j a a a a j
a a a a ⎡⎤---+=
--+=-⎢⎥+-++⎣⎦
--=
-+-+++-++ωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωω
1-7 设有一时间函数f (t )及其频谱如图1-27所示。

现乘以余弦型振荡00cos ()m ωt ωω>。

在这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦振荡0cos ωt 叫做载波。

试求调幅信号0()cos f t ωt 的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。

又问：若0m ωω<时将会出现什么情况？ 解：0()()cos()x t f t t =ω ()[()]F f t =ωF
()
0001cos()2j t j t t e e
-=
+ωωω 所以0011()()()22
j t j t
x t f t e f t e -=+ωω 根据频移特性和叠加性得：0011
()()()22
X f F F =-++ωωωω
可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线
高度减小一半。

若0m ωω<将发生混叠。

2-2 用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s 、2s 和5s 的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？
解：设一阶系统1
()1
H s s τ=+，1()1H j ωτω=+
()()A H ωω==
=
T 是输入的正弦信号的周期 稳态响应相对幅值误差()1100%A δω=-⨯，将已知周期代入得58.6%1s 32.7%2s 8.5%5s T T T δ=⎧⎪
≈=⎨⎪=⎩
2-3 求周期信号x (t )=0.5cos10t +0.2cos(100t −45︒)通过传递函数为H (s )=1/(0.005s +1)的装置后得到的稳态响应。

解：1()10.005H j ωω=
+
，()A ω=()arctan(0.005)ϕωω=-
该装置是一线性定常系统，设稳态响应为y (t )，根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠
加性得到y (t )=y 01cos(10t +ϕ1)+y 02cos(100t −45︒+ϕ2) 其中
0101(10)0.50.499y A x ==
≈，
1(10)arctan(0.00510) 2.86ϕϕ==-⨯≈-︒
0202(100)0.20.179y A x ==
≈
2(100)arctan(0.005100)26.57ϕϕ==-⨯≈-︒
所以稳态响应为()0.499cos(10 2.86)0.179cos(10071.57)y t t t =-︒+-︒
2-5 想用一个一阶系统做100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，那么时间常数应取多少？若用该系统测量50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？
解：设该一阶系统的频响函数为 1
()1H j ωτω
=
+， τ 是时间常数
则()A ω=
稳态响应相对幅值误差()1100%1100%A δω⎛⎫
=-⨯=⨯ ⎝
令δ≤5%，f =100Hz ，解得τ≤523μs 。

如果f =50Hz ，则相对幅值误差：
1100%1100% 1.3%δ⎛⎫⎛⎫
=⨯=⨯≈ ⎝⎝
相角差：6
()arctan(2)arctan(25231050)9.33f ϕωπτπ-=-=-⨯⨯⨯≈-︒
2-7 将信号cos ωt 输入一个传递函数为H (s )=1/(τs +1)的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出y (t )的表达式。

解答：令x (t )=cos ωt ，则22
()s
X s s ω=+，所以
22
1()()()1s
Y s H s X s s s τω==++
利用部分分式法可得到
2
111111
()11()2(1)2(1)Y s j s j j s j s ωττωωτωω
τ
=-
++++--++ 利用逆拉普拉斯变换得到
1
222/2/2111()[()]1()2(1)2(1)
1()1()2[1()]1
cos sin 1()1arctan )1()
t j t j t t j t j t j t j t t t y t Y s e e e
j j e e j e e e t t e t e ωωτ
ωωωωτ
ττωττωτωωτωττωωωτωτωωωττω--------==-++++-+--=-+++⎡⎤=+-⎣⎦+⎤=--⎦+L。