30 40
4. 0011 数数四四 设行列式
D
=
2 0
2 −7
2 0
2 0
,
则第四行各元素余子式之和的值为________.
5 3 −2 2
解: [方法一] D 的第四行各元素余子式依次为
0 40
340
300
304
M41 = 2 2 2 = −56, M42 = 2 2 2 = 0, M43 = 2 2 2 = 42, M44 = 2 2 2 = −14.
——张小向 272365083@
答案仅供参考 ⋅ 打印/复印请选双面格式(节约纸张)
祝您好运! 2
⎡k 1 1 1⎤
3.
0011
数数三三//四四设矩阵
A
=
⎢1 ⎢⎢1
k 1
1 k
1⎥
1
⎥ ⎥
且秩(A)
=
3,
则 k = _______.
⎣1 1 1 k⎦
k111
解:
|A|
=
1 1
k 1
1 k
⎡a 1 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
2.0011数数二二设方程 ⎢1 ⎢⎣1
a 1
1 a
⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎣
x2 x3
⎥ ⎥ ⎦
=
⎢ 1 ⎥ 有无穷多个解, ⎢⎣−2⎥⎦
则 a = _______.
a 1 1 a+2 a+2 a+2
1 1 1 ×(−1)
11 1
解: 1 a 1 = 1 a 1 = (a+2) 1 a 1
⎡ 1 0 1⎤ 11.0033数数二二设三阶方阵A, B满足A2B−A−B = E, 其中E为三阶单位矩阵, 若A = ⎢ 0 2 0⎥ , 则|B| = ____.
⎢⎣−2 0 1⎥⎦
解: A2B−A−B = E ⇒ (A2−E)B = A+E ⇒ (A+E)(A−E)B = A+E ⇒ |A+E|⋅|A−E|⋅|B| = |A+E|.
⎡ a ⎤ ⎡1 2 −2⎤ ⎡a⎤ ⎡λa⎤ ⎢2a + 3⎥ = ⎢2 1 2 ⎥ ⎢1⎥ = ⎢ λ ⎥ . ⎢⎣3a + 4⎥⎦ ⎢⎣3 0 4 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣ λ ⎥⎦
由此可得λ = 1, a = −1.
8.
0022
数数四四设矩阵A
=
⎡1 ⎢⎣2
−1⎤ 3 ⎥⎦
பைடு நூலகம்
,
B
=
A2
−3A
+
2E,
2 而|A+E| = 0
01
0
3 0 = 18. |A−E| = 0
0 1
1 0
= 2.
故|B| = 1
.
−2 0 2
−2 0 0
2
公益宣传：保护环境·节约资源·关爱弱者
——张小向 272365083@
答案仅供参考 ⋅ 打印/复印请选双面格式(节约纸张)
祝您好运! 4
12. 0033数数三三//四四设n维向量α = (a, 0, …, 0, a)T, a < 0, E为n阶单位矩阵, 矩阵A = E − ααT, B = E + 1 ααT, 其中 a
1/ 2⎤ −1 ⎥⎦
.
9.
0033
数数一一从R2的基α1
=
⎡1⎤ ⎢⎣0⎦⎥
,
α2
=
⎡1⎤ ⎢⎣−1⎦⎥
到基β1
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
,
β2
=
⎡1⎤ ⎢⎣2⎥⎦
的过渡矩阵为_______.
解:
令A
=
(α1,
α2)
=
⎡1 ⎢⎣0
1⎤ −1⎦⎥
,
B
=
(β1,
β2)
=
⎡1 ⎢⎣1
1⎤ 2⎥⎦
,
基α1, α2到基β1, β2的过渡矩阵为P,
⎡a 2 2⎤
解:
二次型f(x1,
x2,
x3)
=
a(x12
+
x22
+
x32)
+
4x1x2
+
4x1x3
+
4x2x3的矩阵为A
=
⎢ ⎢⎣
2 2
a 2
2⎥ . a⎥⎦
又因为f(x1, x2, x3)
经
正交变换x = Py可化成标准形f = 6y12, 可见A的特征值为λ1 = 6, λ2 = λ3 = 0. 于是有
⎢⎣0 0 0⎥⎦
⎡1 2 −2⎤ 7.0022数数三三设三阶矩阵A = ⎢2 1 2 ⎥ , 三维列向量α = (a, 1, 1)T. 已知Aα与α线性相关, 则a = _____.
⎢⎣3 0 4 ⎥⎦ 解: 因为α = (a, 1, 1)T ≠ 0, 而且Aα与α线性相关, 故存在λ使得Aα = λα , 即
⎢⎣2 0 2⎥⎦
解: AB = 2A + B ⇒ (A−E)(B−2E) = AB − 2A − B + 2E = 2E ⇒ (A−E) 1 (B−2E) = E ⇒ (A−E)−1 = 1 (B−2E).
2
2
⎡2 又因为B = ⎢0
0 4
2⎤ 0⎥ ,
所以(A−E)−1 = 1
⎡0 (B−2E) = ⎢0
⎢⎣1 1 a −2⎥⎦ ⎣⎢ 1 1 −2 −2⎦⎥
⎡−2 1 1 1⎤ → ⎢ 1 −2 1 1⎥
⎢⎣ 0 0 0 0⎥⎦
⎡ 1 −2 1 1⎤ ×2 ⎡1 −2 1 1⎤
→ ⎢−2 1 1 1⎥ ⎢⎣ 0 0 0 0⎥⎦
→ ⎢0 −3 3 3⎥ . ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦
公益宣传：保护环境·节约资源·关爱弱者
⎢⎣−2 −2 2 ⎥⎦
公益宣传：保护环境·节约资源·关爱弱者
——张小向 272365083@
答案仅供参考 ⋅ 打印/复印请选双面格式(节约纸张)
祝您好运! 3
λ2 2 解: 根据对角线法则, −2 λ − 2 2 = λ (λ−2)2 + 8 − 8 − 4(λ−2)+ 4(λ−2) − 4λ = λ2(λ−4), 可见该矩阵的
−7 0 0
000
0 −7 0
0 −7 0
于是有M41 + M42 + M43 + M44 = −28.
3 0 40
[方法二]
计算“D 的第四行各元素余子式之和”相当于把
2 0
2 −7
2 0
2 0
按第四行展开,
而
−1 1 −1 1
3 2 0 −1
0 2 −7 1
4 2 0 −1
0 2 0 1
=
−7×(−1)3+2
则B = AP,
P
=
A−1B
=
⎡1 ⎢⎣0
1 ⎤ ⎡1 −1⎥⎦ ⎢⎣1
1⎤ 2⎥⎦
=
⎡2 ⎢⎣−1
3⎤ −2⎥⎦
.
⎡ 1 −1 1 ⎤ 10.0033数数二二设α为 3 维列向量, αT是α的转置. 若ααT = ⎢−1 1 −1⎥ , 则αTα = _______.
⎢⎣ 1 −1 1 ⎥⎦
解:
⎡ a1 ⎤
2 2 λ−2
非零特征值是 4.
⎡ 0 −2 −2⎤ [注] 由此可以进一步看出 A = ⎢ 2 2 −2⎥ 不能与对角矩阵相似. 因为假若 A 相似于对角矩阵, 则 A
⎢⎣−2 −2 2 ⎥⎦
⎡4 0 0⎤ 相似于Λ = ⎢0 0 0⎥ , 因而秩(A) = 秩(Λ) = 1. 但秩(A) = 2, 矛盾!
01 0 |A−2E| = 1 0 0 = 1.
0 0 −1
1
ABA* = 2BA* + E ⇒ (A−2E)BA* = E ⇒ |A−2E|⋅|B|⋅|A*| = |E| = 1 ⇒ |B| = .
9
15. 0044数数三三二次型f(x1, x2, x3) = (x1 + x2)2 + (x2 − x3)2 + (x3 + x1)2的秩为______.
答案仅供参考 ⋅ 打印/复印请选双面格式(节约纸张)
历年全国硕士研究生入学考试线性代数试题
版本:2001-2011
解题方法及依据的知识点见下列参考文献:
[1] 陈建龙等, 《线性代数》(十一五国家级规划教材), 科学出版社, 2007. [2] 张小向等, 《线性代数学习指导》, 科学出版社, 2008. [3] 周建华等, 《几何与代数》(十一五国家级规划教材), 科学出版社, 2009.
= (a+2) 0 a −1 0 = (a+2)(a−1)2.
11a
11a
11 a
0 0 a −1
原方程有无穷多个解⇒ (a+2)(a−2)2 = 0 ⇒ a = −2 或 1.
⎡a 1 1 1 ⎤ ⎡1 1 1 1 ⎤ ×(−1) ⎡1 1 1 1 ⎤
当 a = 1 时, ⎢1 a 1 1 ⎥ = ⎢1 1 1 1 ⎥ ⎢⎣1 1 a −2⎥⎦ ⎢⎣1 1 1 −2⎥⎦
设α
=
⎢ ⎢⎣
a2 a3
⎥ ⎥⎦
,
则ααT
=
⎡ ⎢ ⎢
a12 a2a1
⎢⎣ a3 a1
a1a2 a22
a3a2
a1a3 a2a3
⎤ ⎥ ⎥
.
a32 ⎥⎦
⎡1 又因为ααT = ⎢−1
⎢⎣ 1
−1 1 −1
1⎤ −1⎥ , 所以 1 ⎥⎦
αTα = a12 + a22 + a32 = 1 + 1 + 1 = 3.