2U 2
e
j t
)
Re(
2U1
e
j t
2U
2
e
j
t
)
Re[
2(U1U 2) e
j t ]
相量关系为：
U
U U1 U2
结论： 同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
8
相量法的基础
电路 原理
i1 i2= i3
I1 I2 I3
例3 u1(t) 6 2cos(314t 30 ) V
u2(t) 4 2cos(314t 60 o) V
u 311.1cos(314t 67) V
试用相量表示i, u。
解
I 100 50A, U 220 67V
例2 已知I 60 30 A , f 50Hz , 试写出电流的瞬时值表达式。
解
i 60 2cos(314t 30) A
6
相量法的基础
相量图
在复平面上用矢量表示相量的图。
u(t) 2Ucos( t θ) U U
j t
Re 2Ie dt Re 2
I j t e
j
dij
dt
IIi
+π
2
II idt j
i 2
11
相量法的基础
电路 原理
例4 用相量运算：
i(t)
+R
u(t)
L
-
C
i(t) 2I cos( t i)
u(t) Ri L di 1 idt dt C
| F |
a2 b2
b
或
θ
arctan( ) a
二. 复数运算
Im
b
F
|F|
O
a
Re
a | F | cos
b |F|sin
① 加减运算 —— 采用代数式
3
复数
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2，则 F1± F2=(a1± a2)+j(b1± b2).
电路 原理
Im F2
F1+F2
Im
正弦量对应的 相量
i(t) 2I cos( t ) I I
注意： ① 相量的模表示正弦量的有效值。 ② 相量的幅角表示正弦量的初相位。
5
相量法的基础
电路 原理
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系
u(t) 2U cos( t ) U U
例1 已知 i 141.4cos(314t 50) A
) j
2
2
2
F
F
Re
Im
F
O
Re
jF
7
复数
电路 原理
π
π j
ππ
jF
, e 2 cos( ) jsin( ) j
2
2
2
Im
F
j , e cos( ) jsin( )
1
O
F
Re jF
+j, –j, -1 都可以看成旋转因子
8
相量法的基础
1
相量法的基础
电路 原理
一. 问题的提出 电路方程是微分方程
tI 3
3
结论： 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和
有效值。因此采用
正弦量
复数
变换的思想
3
相量法的基础
电路 原理
二. 正弦量的相量表示
无物理意义
造一个复数函数 F(t) 2Ie j( t)
2Icos(t ) j 2Isin(t )
对 F(t) 取实部 Re[F(t)] 2Icos( t ) i(t)
结论：
是一个正弦量 有物 理意义
任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。
j( t )
i 2Icos( t ) F(t) 2Ie
4
相量法的基础电路 原理Ft) 还可以写成复常数
F(t)
2Ie j e jt 2Ie jt
F(t) 包含了三要素：I、 、 复常数包含了两个要素：I 、
LC d2 uC RC duC uC u(t)
dt
dt
+R u
-
iL L
+
uC -C
两个正弦量的相加，如KCL、KVL方程运算：
i1 2I1 cos( t 1) i2 2I2 cos( t 2)
2
相量法的基础
电路 原理
u i1, i
i2
i1
角频率
i2
有效值 I1 O
I2
初相位 1
2
i1+i2i3 i3
+j
U
O 三. 相量法的应用
I
+1
① 同频率正弦量的加减
电路 原理
7
相量法的基础
电路 原理
u1(t)
2U1 cos( t 1) Re( 2U1 e
j t )
u2(t) 2U2 cos( t 2) Re( 2U 2 ej t )
u(t) u1(t) u2(t) Re( 2U1 e
j t ) Re(
10 j6.2820 j31.9
11.8132.1337.6557.61 39.4540.5
10.89 j2.86
=(3 34)(34)j
=9.2+7j ③ 旋转因子
复数
ej=cos +jsin =1∠
6
复数
电路 原理
Im F• ej
F• ej
旋转因子
O
jF
特殊旋转因子
π,
π j
e2
ππ cos( ) jsin(
复数
1
一. 复数的表示形式
F a jb
j 1 为虚数单位
F | F | e j
复数
电路 原理
Im
代数式
b
F
|F|
O 指数式
a
Re
三角函数式
F | F | (cos jsin )
F | F |
极坐标式
2
复数
电路 原理
几种表示法的转换关系：
F a jb
F | F | e j | F |
| F e |1 j(θ1 2 θ ) |F 2|
| F 1| θ1θ2 |F2 |
模相除 角相减
5
复数
电路 原理
例: 计算
1. 630 + 4 + 4j =6cos306j(sin30) 4 4j
=6 3 61 j44j
2
2
=3 3+3j44j
(10 j6.28)(20 j31.9)
2.
U1 630 V U2 460 V
U U1 U2 630 460
5.19 j3 2 j3.46 7.19 j6.46
9.6441.9 V
u(t) u1(t) u2(t) 9.64 2cos(314t 41.9 ) V
9
相量法的基础
电路 原理
借助相量图计算
U1 6 30 o V
F1+F2 F2
O 图解法
F1
Re
O
F1-F2
F1 Re
-F2
4
复数
②乘除运算 —— 采用极坐标式
若 F1=|F1|∠ 1 ，F2=|F2|∠ 2
则
F 1F2 F 1 ej1 F2 ej2 F 1 F e2 j(12)
F 1 F2 1 2
电路 原理
模相乘 角相加
F 1 | F |e1 jθ1 F2 | F |2e jθ2
U 2 4 60o V
+j
+j
U
U2
U1
60
30 41.9
O
+1
O
U
U2
U1
60
30 41.9
+1
首尾相接
10
相量法的基础
电路 原理
② 正弦量的微分、积分运算
i 2I cos( t i) I Ii
微分运算 积分运算
di dt
d dt
Re
2Ie j t
Re 2I j ej t
idt