第八章相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。

引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。

所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL的相量表示；（3）RLC元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。

这就是用相量分析电路的理论根据。

8－1 将下列复数化为极坐标形式：（1）F1 5 j5；（2）F2 4 j3；（3）F3 20 j40；（4）F4 j10；（5）F5 3；（6）F6 2.78 j9.20。

解：（1）F1 5 j5 aa （ 5）2（ 5）2 5 25arctan 1355 （因F1在第三象限）（2）F2 4 j3 （ 4）2 32 arctan（3 4） 5 143.13 （F2 在第二象限）（3）F3 20 j 40 202 402arctan（40 20） 44.72 63.43（4）F4 10j10 90（5）F53 3 180（6）F6 2.78 j 9.20 2.78 29.20 2 arctan（9.20 2.78）9.6173.19注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即F a1 ja2 a ae j, 它们相互转换的关系为：故F1 的极坐标形式为F15 2 1352 arctan 2 a 1a 1 acosa 2 a sin及实部 a1和虚部 a2的正负8－2 将下列复数化为代数形式：（1） F 1 10 73 ；（2） F 2 15 112.6 ；（3）F 3 1.2 152 ；（4）F 4 10 90；（5） F 1 5 180；（6） F 1 10 135 。

解：（1） F 1 10 73 10 cos( 73 ) j10 sin( 73 ) 2.92 j 9.56（2）F2 15 112.6 15 cos112.6 15sin112.65.76 j13.85 （3）F 31.2 152 1.2cos152 1.2 sin 152 1.06 j 0.56（4）F 410 90 j10（5）F1 5 180 5（6）F110 13510 cos( 135) 10sin( 135) 7.07j 7.078－3 若 100 0 A 60 175 。

求 A 和 。

解： 原式 =100 A cos 60 ja sin 60 175cos j175sin 根据复数相等的 定义，应有实部和实部相等，即Acos 60 100 175 cosA 2100 A 20625 0100 10024 20625 102.07202.0695 求i1的周期 T 和频率 f 。

需要指出的，在转换过程中要注意 F 在复平面上所在的象限，它关系到 的取值 虚部和虚部相等 把以上两式相加，得A sin 60 175 sin解得2 a2解： F 1 F 5 1073 5 18010cos(73 ) j10sin ( 73 ) 52.08j9.56 9.78 102.27F 1 F 5 10 73 2 73 180 2 107F 5和 F 1F 5 。

120 )所以sinA sin 60 17530.34 8－4 求 8－1 题中的 F2 ?F6和 F2 F60.505解：F 2 F6 ( 4 j3) (2.78 j9.20) 5 143.139.61 73.1948.05 216.32 48.05 143.68F 2 F64 j3 2.78 j9.205 143.13 9.61 73.190.52 69.948－5 求 8－2 题中的 F18－6 若已知。

i1 5cos(314t 60 )A,i2 10sin(314t 60 )A,i34 cos(314t 60 )A1) 写出上述电流的相量，并绘出它们的相量图； 2)i1与i2 和 i1与 i3的相位差；102.07故i1，i2 和i3的相量表达式为3）i1（t ）的波形图见题解图（ b ）所示（4）若将 i1（t ）中的负号去掉， 意味着 i1的初相位超前了180 。

即i1的 参考方向反向。

5） i 1（t ）的周期和频率分别为注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差，因此在 比较相位差时，两个正弦量必须满足（ 1）同频率；（2）同函数，即都是正弦或都是余弦；（3）同符合，即都为正号或都为负号，才能进行比较2314 0.02s 20 ms 1 T210.0250Hz 10 120 60 180131 35 2120 A,I2I 130 A,I324260 A8 －7 若已知两个同频正弦电压的相量分别为U1 50 30 V ,U2 100 150 V ，其频率f100Hz 。

求：11 频率314 1 f 2 50Hz1 222 周期f 500.02s(1) 写出 u1， u2 的时域形式；(2) u1与u2 的相位差。

(1) u 1(t) 50 2 cos(2 ft 30 ) 50 2 cos(628t 30 )Vu 2(t) 100 2 cos(2 ft 150 ) 100 2 cos(628t 150 180 )V 100 2cos(628t 30 )V(2) 因为 U 1 50 30 V ,U 2 100 150 V 100 30 V 故相位差为30 30 0，即u1与u2 同相位。

8－8 已知： u 1(t) 220 2 cos(314t 120 )Vu 2(t) 220 2 cos(314t 30 )V(1) 画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率 f和周期 T ；(2) 写出它们的相量和画出其相量图，求出它们的相位差； (3) 如果把电压 u2 的参考方向反向，重新回答( 1)，(2)。

解：(1)波形如题解 8－8 图(a )所示。

题解 8－8 图有效值为u1 u2 220V u 2T 1 T 260 。

2） u1和u2的相量形式为U 1 220 120 V故相位差为1 2120 30 150 相量图见题解图（ b ）所示。

（3）u2的参考方向反向， u2 （t ）变为－ u2（t ），有效值、频率和周期均 不变，－ u 2 （t ）的相量为 U 2 220 30 180 200 150 V 故 u 1 和 u 2 的相位差为 1 2 120 （ 150 ） 30 波形图和向量图见题解图（ a ）和（ b ）。

8－ 9 已知一段电路的电压、电流为：3u 10sin(103t 20 )V 3i 2 cos(103 t 50 )A1） 画出它们的波形图和向量图； （2）求出它们的相量差解：(1)u 10 sin(10 3t 20 ) 310 cos(10 t 110 )V，故 u 和 i 的相量分别为U 2 220 30 VU110 V I 50 A2108－10 已知图示三个电压源的电压分别为：u a 220 2cos( t 10 )V，u b 220 2cos( t 110 )V，u c 220 2 cos( t 130 )V ，求：(1)3个电压的和；(2)u ab , u bc；(3)画出它们的相量图解：u a ，u b，u c的相量为U a 220 10 VU b 220 110 VU c 220 130 V(1)应用相量法有U a U b U c 220 10 220 110 220 130即三个电压的和u a(t) u b(t)u c (t) 0(2)Uab U a U b 220 10 220 110220 3 40 VU bc U b U c 220 110 220 130220 3 80 V3）相量图如题解8－10 图所示8－11 已知图（ a ）中电压表读数为 V1: 30V； V2 : 60V；图（ b ）中的V1:15V；题 8－ 11 图解法一：（a ） 图：设回路中电流 I I 0 ，根据元件的电压、电流相量关系，可得题 8－ 11 图U R RI RI 0 30 0 V U L jX L I X L I 90 60 90 Vb ） 图：设回路中电流相量 I I 0 A ，因为U R RI RI 0 15 0 VU L jX L I X L I 90 80 90 VV 2 : 80VV3 :100V。

（电压表的读数为正弦电压的有效值。

）求图中电压 Us则总电压所以 u s的有效值U S U R U L 30 j60VU S30 2 602 67.08V元件相量关系有效值关系相位关系相量图电阻RU R RI R U R RI R uiU C jX C I X C I 90 100 90 V所以总电压U S U R U L U C 15 j80 100 j 15 j 20V故u s 的有效值为U S132 20 2 25V解法二：利用相量图求解。

设电流IUI 0 为参考相量，电阻电压I 同相位，电感电压U L 超前I 90 ，电容电压Uc要滞后I 90 ，总电压U s与各元件电压向量构成一直角三题解8-图和（b）为对应原图（a）的相量图。

由题解图（a）可得U S UR2 UL230260267.08V由题解图（b）可得U S U R2(U C U L)2152(100 80) 2258V题解8－11 图注：这一题的求解说明，R，L，C 元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系（如下表所示）是我们分析正弦稳态电路的基础，必须很好地理解和掌握。

电感LU L jX L I L U L jX L I u i 90电容 CU C jX C I C U C X C I C u i 908－12 已知图示正弦电流电路中，电流表的读数分别为A1:5A；A2 :20A；A3: 25A。

求：（1）图中电流表A的读数；（2）如果维持A1的读数不变，而把电源的频率提高一倍，再求电流表 A 的读数。

解法一：1）R，L，C并联，设元件的电压为根据元件电压、电流的相量关系，可得应用KLC的相量形式，总电流相量为U R U L U CI C5R RU UjX L X LU UA j20A90 25 90 j25AI I R I L j20 j25 j5 5 2 45 A故总电流表的读数7.07A2）设U R U L U0当电流的频率提高一倍后，由于IR5 0 A不变，所以U R U 不0 AI L 90I RUUjX C X C22即，电流表的读数 A 52 402 40.31A题解 8－12 图解法二： 利用相量图求解。