第15讲平行四边形的判定和性质知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习平行四边形的判定和性质。

平行四边形是在学习了平行线和三角形之后，是平行线和三角形知识的应用和深化，同时也是为了后面学习矩形、菱形、正方形、圆甚至高中的立体几何打基础的，起着承上启下的桥梁作用。

知识梳理讲解用时：20分钟平行四边形的定义和性质1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.表示方法：ABDC（按照字母的顺序）注意：ABCDA BOC D2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等，即AB=CD，AC=BD（2）平行四边形的对角相等，即∠A=∠D，∠B=∠C（3）平行四边形的对角线互相平分，即OA=OD，OB=OC3.平行四边形的两条对角线把平行四边形分成面积相等的4个小三角形.平行四边形的判定平行四边形的判定：（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.三角形的中位线：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半课堂精讲精练【例题1】如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交边CD于点E，∠A=130°，则∠BEC的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．50°【答案】B【解析】利用平行四边形的性质求出∠C，再利用等腰三角形的性质即可解决问题；解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠C=∠A=130°，∴∠ABE=∠CEB，∵∠ABE=∠CBE，∴∠BEC=∠CBE，∴∠BEC=（180°﹣130°）=25°，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：蜀山区二模年份：2018【练习1.1】如图，?ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为．【答案】14【解析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，，∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14故答案为14．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：泰州年份：2018【例题2】如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，4），C（2，0），请直接写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【答案】（3，4），（﹣5，4），（1，﹣4）【解析】首先根据题意画出图形，分别以BC，AB，AC为对角线作平行四边形，即可求得答案．解：AC=2﹣（﹣2）=4，当平行四边形是BACD时，把B向右平移4个单位长度，则D的坐标是（3，4）；当平行四边形是ACBD时，把B向左平移4个单位长度就是D，则D的坐标是（﹣5，4）；当平行四边形是BADC时，AC的中点的坐标是原点O（0，0）．把B向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到AC中点O，则把A向右平移2个单位长度，向下平移8个单位长度即可得到D，D的坐标是（1，﹣4）．故答案是：（3，4），（﹣5，4），（1，﹣4）．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平行四边形的顶点的确定，分成三种情况讨论，以及理解平移的性质是关键．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质，注意多种情况共存.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：巨野县期中年份：2017【练习2.1】用20cm长的铁丝围成一个平行四边形，使长边比短边长2cm，则它的长边长为，短边长为．【答案】6cm，4cm【解析】设平行四边形的两边分别为xcm，（x﹣2）cm，根据周长=20，列出方程即可解决问题．解：设平行四边形的两边分别为xcm，（x﹣2）cm，由题意2[x+（x﹣2）]=20，解得x=6，∴平行四边形的两边分别为6cm，4cm，故答案为6cm，4cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查平行四边形的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是学会设未知数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．【答案】（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形【解析】（1）利用平行线的性质可得∠DFA=∠BEC，然后利用SAS判定△AFD ≌△CEB即可；（2）利用全等三角形的性质可得AD=BC，∠DAF=∠BCE，然后可判定AD∥BC，进而可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形．证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，在△ADF和△CBE中，∴△AFD≌△CEB（SAS）；（2）∵△AFD≌△CEB，∴AD=BC，∠DAF=∠BCE，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定和性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．教学建议：熟练掌握平行四边形的判定以及全等三角形的判定和性质并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：南长区一模年份：2018【练习3.1】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】四边形ABCD是平行四边形【解析】由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可．证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，在Rt△AED和Rt△CFB中，∵，∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．教学建议：熟练掌握平行四边形的判定以及全等三角形的判定和性质并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：洪泽县模拟年份：2018【例题4】如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求DE的长．【答案】（1）四边形ADEF是平行四边形；（2）2【解析】（1）由BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，易证得△BDE是等腰三角形，且BE=DE；又由BE=AF，可得DE=AF，即可证得四边形ADEF是平行四边形；（2）过点E作EH⊥BD于点H，由∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，可求得BH 的长，继而求得BE、DE的长，则可求得答案．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE；∵BE=AF，∴AF=DE；∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：过点E作EH⊥BD于点H．∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DH=BD=×6=3，∵BE=DE，∴BH=DH=3，∴BE==2，∴DE=BE=2．讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质和判定.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：盐城模拟年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连结CF．试说明：四边形ADCF是平行四边形．【答案】四边形ADCF是平行四边形【解析】首先证明△AEF≌△DEB，可得AF=BD，再由条件可得BD=CD，进而可得AF=DC，再加上条件AF∥BC，可得四边形ADCF是平行四边形．解：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EBD，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=BD，∵AD是BC边的中线，∴BD=CD，∴AF=DC又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．讲解用时：4分钟解题思路：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握组对边平行且相等的四边形是平行四边形．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的判定.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：朝阳区校级一模年份：2018【例题5】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AC与BD互相平分．【答案】（1）△ABE≌△CDF；（2）AC与BD互相平分【解析】（1）用ASA判定两三角形全等即可证明．（2）只要证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．证明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵BF=DE，∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF．（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用特殊四边形的性质解决问题．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的判定和性质.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：射阳县模拟年份：2018【练习5.1】如图，平行四边形ABCD中，点E，F在BD上，且BF=DE．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）连接AF、CE，四边形AFCE是平行四边形吗？请证明你的结论．【答案】（1）△ABE≌△CDF．（2）是【解析】（1）由在?ABCD中，BF=DE，由平行四边形的性质，利用SAS即可证得△AED≌△CFB，△ABE≌△CDF，又由SSS证得△ABD≌△CDB；（2）由△ABE≌△CDF，可得AE=CF，同理可证得△ABF≌△CDE，即可得AF=CE，根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF是平行四边形．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，∵BF=DE，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（SAS），（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABF=∠CDE，∵BF=DE，AB=CD，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是关键，常运用的判定方法是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：呼和浩特一模年份：2018【例题6】如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连结CD和EF．（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）求四边形BDEF的周长．【答案】（1）四边形CDEF是平行四边形；（2）5+【解析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC=EF，进而求出四边形BDEF的周长．（1）证明：∵D、E分别是AB，AC中点，∴DE∥BC，DE=BC，∵CF=BC，∴DE=CF，∴四边形CDEF是平行四边形，（2）解：∵四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴DC=EF==，∴四边形BDEF的周长是1+1+2+1+=5+．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的判定和性质以及三角形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：宁波期中年份：2018【练习6.1】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC=70°，∠BAC=54°，求∠AFD的度数．【答案】83°【解析】由角平分线可求得∠BAG，由三角形内角和定理可求得∠BGA，利用三角形中位线可求得答案．解：∵∠BAC=54°，AG平分∠BAC，∴∠BAG=∠BAC=27°．∴∠BGA=180°﹣∠ABC﹣∠BAG=83°，又∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠AFD=∠BGA=83°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查三角形内角和定理及中位线定理，利用三角形内角和定理求得∠BGA的度数是解题的关键．教学建议：熟练掌握三角形的中位线定理以及三角形内角和定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：宁德二模年份：2018【例题7】如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．【答案】等腰三角形【解析】易得PM是△BCD的中位线，那么PM等于BC的一半，同理可得PN为AD的一半，根据AD=BC，那么可得PM=PN，那么△PMN是等腰三角形．解：△PMN是等腰三角形．理由如下：∵点P是BD的中点，点M是CD的中点，∴PM=BC，同理：PN=AD，∵AD=BC，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查三角形中位线定理，用到的知识点为：三角形的中位线等于第三边的一半；有两边相等的三角形的是等腰三角形．教学建议：熟练掌握三角形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：肇源县期末年份：2017【练习7.1】如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG ⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．【答案】1【解析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=4，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．解：在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG=AC=6，GF=CF，则BG=AB﹣AG=8﹣6=2．又∵BE=CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF=BG=1．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明GF=CF是关键．教学建议：熟练掌握三角形的中位线定理以及全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：临洮县期末年份：2017【练习7.2】如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF 交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．【答案】（1）EF∥BC；（2）12【解析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到AF=FD，根据三角形中位线定理证明；（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．（1）证明：∵DC=AC，CF是∠ACB的平分线，∴AF=FD，又点E是AB的中点，∴EF∥BC；（2）解：∵AF=FD，点E是AB的中点，∴EF=BD，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEF=S△ABD，∴S△AEF=S四边形BDFE=3，∴△ABD的面积=12．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．教学建议：熟练掌握并应用三角形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么?ABCD的周长是．【答案】16【解析】根据题意，OM垂直平分AC，所以MC=MA，因此△CDM的周长=AD+CD，可得平行四边形ABCD的周长．解：∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=MC．∴△CDM的周长=AD+CD=8，∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．故答案为16．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：衡阳年份：2018【作业2】在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF，求证：DE=BF．【答案】DE=BF【解析】首先连接BE，DF，由四边形ABCD是平行四边形，AE=CF，易得OB=OD，OE=OF，即可判定四边形BEDF是平行四边形，继而证得DE=BF．证明：如图，连接BE，DF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，∴OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE=BF．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：潮阳区模拟年份：2018【作业3】如图，?ABCD中E，F分别是AD，BC中点，AF与BE交于点G，CE和DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．【答案】四边形EGFH是平行四边形【解析】可分别证明四边形AFCE是平行四边形，四边形BFDE是平行四边形，从而得出GF∥EH，GE∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∵AE=AD，FC=BC，∴AE∥FC，AE=FC．∴四边形AECF是平行四边形．∴GF∥EH．同理可证：ED∥BF且ED=BF．∴四边形BFDE是平行四边形．∴GE∥FH．∴四边形EGFH是平行四边形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：滨州一模年份：2018【作业4】如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，交AC于G，F是AD的中点．（1）求证：四边形ADCE是为平行四边形；（2）若EB是∠AEC的角平分线，请写出图中所有与AE相等的边．【答案】（1）四边形ADCE是为平行四边形；（2）AE=AF=DF=CD=BD【解析】（1）首先证明△AFE≌△DFB可得AE=BD，进而可证明AE=CD，再由AE∥BC可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形；（2）图中所有与AE相等的边有：AF、DF、BD、DC．理由平行四边形的性质、等腰三角形的判定即可解决问题；（1）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵AE∥BC，∴∠AEF=∠DBF，在△AFE和△DFB中，，∴△AFE≌△DFB（AAS），∴AE=BD，∴AE=CD，∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）图中所有与AE相等的边有：AF、DF、BD、DC．理由：∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE=DC，AD∥EC，∵BD=DC，∴AE=BD，∵BE平分∠AEC，∴∠AEF=∠CEF=∠AFE，∴AE=AF，∵△AFE≌△DFB，∴AF=DF，．∴AE=AF=DF=CD=BD讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：松北区期末年份：2018【作业5】△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．【答案】EF∥DG，且EF=DG【解析】连接DE，FG，由BD与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证．证明：连接DE，FG，∵BD，CE是△ABC的中位线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：衢州期中年份：2018。