平行四边形的性质与判
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C
F
B
E
D
A
平行四边形
一、知识梳理
1．平行四边形：
(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平
行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD ．
2．平行四边形的性质： (1) 平行四边形的对边平行且相等．
(2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。
(3)平行四边形的对角线互相平分．
(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．
例1．ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段，
则ABCD 的周长为 ．
例2．在ABCD 中，∠C=60o,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ．
（1）则∠EDF= ；
（2）如图，若AE=4，CF=7，
则ABCD 周长= ;
例3.在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝40°，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ .
例4..中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________．
变式训练.如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少
例5.如图，在□ABCD 中，O 是对角线的交点，过O 的直线交AB 于E ，交DC 于F ，图中全等三角
形共有 （ ） A ．2对 B ．3对 C ．6对 D ．8对
3．两条平行线间的距离：
(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离． (2)两平行线间的距离处处相等．
例6、有以下四个说法：
①两点的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离，都是指某种线段的长． ②如果两点的位置固定，那么它们的距离是定值．
③如果一点和一条直线的位置固定，那么它们的距离是定值． ④两条平行线间的距离不是定值 其中正确说法的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4．平行四边形的面积：
(1)如图①，
．
O
F
E
D
C
B
A
(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．
如图②，有公共边BC，则．
例7、如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=10，AD=8，AC BC,求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积
变式训练：1、平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．
2、平行四边形的周长为20cm ，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2 cm，AF=3 cm，求平行四边
形ABCD的面积。
5．平行四边形的判别方法：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形．
例8 如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．
变式训练：平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、
CM ，且AN 、BM 交于点P ，CM 、DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗为什么
★2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形
例9如图，在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK =CM 、BL =DN ，则四边形KLMN 为平行四边形吗说明理由.
变式训练：如图所示，在四边形ABCD 中，AB=CD ，BC=AD ，E ，F 为对角线AC 上的点，且AE=CF ，求证：BE=DF ．
★3.一组对边平行且相等的四边形为平行四边形
例10如图，□ABCD 中，E 、F 分别在BA 、DC 的延长线上，且
AE=2
1AB ，CF=2
1
CD ，试证明
AECF 为平行四边形.
变式训练：如图，AD=BC ，∠DAC=∠BCA ，试判断四边形ABCD 是平行四边形吗请说说你的理由. (7分)
A D C B
★4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形
例11(2008湖北恩施)如图，在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试证明四边形DFBE为平行四边形.
变式训练：
在四边形ABCD中，已知∠A=∠C，∠B=∠D,求证四边形ABCD为平行四边形。
★5.对角线互相平分的四边形为平行四边形
例12如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．
求证：∠EBF=∠FDE．
变式训练：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于O，若OE=OF，
求证：四边形BFDE是平行四边形
6.三角形中位线：
定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半。
例13．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．
7、平行四边形知识的运用：
(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线
段相等或倍分等．
O
F
E
D C
B
A
(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．
(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．
基础自测
一、相信你的选择
1．如图1，在平行四边形ABCD 中，下列各式不一定正确的是 （ ）．
(A)︒=∠+∠18021 (B)︒=∠+∠18032 (C)︒=∠+∠18043 (D)︒=∠+∠18042
图1 图2
2．如图2，在□ABCD 中，EF(A)7 个 (B)8个 (C)9个 (D)11个
3．下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 （ ）.
(A)AB ∥CD ，AD=BC (B)AB=AD ，CB=CD (C)AB=CD ，AD=BC (D)∠B=∠C ，∠A=∠D
5．如图3 ,在□ABCD 中, ∠B=110°,延长AD 至F,延长CD 至E,连接EF,则∠E+∠F 的值为 ( ).
(A)110° (B)30° (C)50° (D)70°
图5
图3 图4
6．如图4，□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，将△AOD 平移至△BEC 的位置，则图中与OA 相等的其它线段有 （ ）.
(A)1条 (B)2条 (C) 3条 (D) 4条
7．如图5，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边的中点，则图中的平行四边形一共有（ ）.
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
8．在平面上，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，且满足AB=CD ．有下列四个条件：（1）OB=OC ；（2）AD ∥BC ；（3）
BO
DO
CO AO =；（4）∠OAD=∠OBC ．若只增加其中的一个条件，就一定能使∠BAC=∠CDB 成立，这样的条件可以是 A ．（2）、（4） B ．（2） C ．（3）、（4） D ．（4）
二、试试你的身手
1．在平行四边形ABCD 中，若∠A-∠B=70°，则∠A=_______，∠B=_______， ∠C=_______，∠D=_________．
2．在□ABCD 中，AC ⊥BD ，相交于O ，AC=6，BD=8，则AB=________，BC= _________． 3．如图6，已知□ABCD 中，AB=4，BC=6，BC 边上的高AE=2，则DC 边上的高AF 的长是________．
图6 图7
4．如图7,△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，且DE=6cm，则BC=__________．
5．用40cm长的长绳围成一个平行四边形，使长边与短边的比是3：2，则长边是____cm,短边是_____cm.
图9 图10
6.如图9,□ABCD中,DB=DC,∠C=70°,AE⊥BD于E,则∠DAC=_____度.
7.如图10，E、F是□ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF 是平行四边形．
三、解答题
1.如图11，在□ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为25，AB=12，求对角线AC与BD的和.
图11
2. 如图12,在□ABCD中,已知点E和点F分别在AD和BC上,且AE=CF,连结CE和AF,试说明四边形AFCE是平行四边形.
图12 3.如图13 ,□ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长．
图13
4.如图14，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）⊿AFD≌⊿CEB．
（2）四边形ABCD是平行四边形．
课后作业：。