B
一、三角形中的范围问题
（2）在△ABC
中，已知
π A= 3
，a=
2，且△ABC 恰有
一解，求 b 的取值范围．
方法一（构造函数）
由sinaA=sibnB，得 sinB=2b2，
因为 0＜B＜2π3 ，
故 0＜b≤
2，或
2 b=
3
6．
一、三角形中的范围问题
（2）在△ABC
中，已知
π A= 3
，a=
线 段 AB 是 圆
x2+(y+2)2=1 的任意一条
直径，则P→A·P→B的最小值
为
．
→ → →→
P→A·P→B=(PA+2PB)2-(PA2-PB)2=P→C2-1≥756
（三）平面向量系数的范围问题
若O→P=λO→A+μO→B(λ+μ≠0)，直线 OP 与直
线 AB 相交于点 P1（如图），则O→P=(λ+μ) O→P1，
5 围是________．（1，3）
（三）平面向量系数的范围问题
方法： 几何法（系数的几何意义） 坐标法
谢谢您的倾听！
背景： C
B
A
一、三角形中的范围问题
（1）在△ABC 中，已知 a=2，b=2 2，求 A 的取值 范围；
方法一（构造函数）
C
①以角 B 为变量
B
A
由sinaA=sibnB，得
sinA=
2 2
sinB，
因为 0＜B＜π ，知 0＜sinA≤ 22，又 0＜A＜π2 ，
所以 0＜A≤π4 .
一、三角形中的范围问题
方法二（构造方程）
由 a2=b2+c2-2bccosA，c2-(4 2 cosA)c+4=0， 因为方程有正根，故△≥0 且 cosA＞0，
解得 cosA≥ 22．
C
B
A
一、三角形中的范围问题
（2）在△ABC
中，已知
π A= 3
，a=
2，
且△ABC 恰有一解，求 b 的取值范围．
背景：
B' A
O
C
二、平面向量中的范围问题
平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题， 也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条 件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、 夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立 求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同 时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面 向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．
→
→ AP1
=
μ λ+μ
A→B（或
|AP1| →
=
|μ| |λ|
）．
|P1B|
A
P
P1
O
B
（三）平面向量系数的范围问题
1.给定两个长度为 1 的平面向量O→A和O→B，它们的夹角为 120°，点 C 在以 O 为圆心的圆弧A⌒B上变动（如图），若O→C =xO→A+yO→B，其中 x，y∈R，则 x+y 的最大值是________.
（一）平面向量模的范围问题
1．若 a，b，c 均为单位向量，且 a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，
则|a＋b－c|的最大值为
()
A. 2－1 B．1 C. 2 D．2
B
P
C
O
A
（一）平面向量模的范围问题
2．已知平面向量 α，β 满足|α|=|β|=1，且 α 与 β-α 的
夹 角 为 120 ° ， 则 |(1-t) α+2tβ|(t ∈ R) 的 取 值 范 围
B
C
C′
x+1yO→C = x记O→C′=x+1yO→C， O
A
12≤|O→C′|≤1，又|O→C|=1，从而 1≤x+y≤2．
（三）平面向量系数的范围问题
2．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1， AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆 内运动，设A→P=αA→D+βA→B(α，β∈R)，则α+β的取值范
（1）在△ABC 中，已知 a=2，b=2 2，求 A 的取值 范围；
方法一（构造函数）
C
②以边 c 为变量 由 a2=b2+c2-2bccosA，
B
A
得
1 cosA=4
2(c+4c)≥
22，又
0＜A＜π2
，
所以 0＜A≤π4 .
一、三角形中的范围问题
（1）在△ABC 中，已知 a=2，b=2 2，求 A 的取值 范围；
是
．
B
C β
O
α
A
（一）平面向量模的范围问题
方法：
①|→a |2=→a 2；
②数形结合；
三角形 点共线
③坐标法． 点共圆
（二）平面向量数量积的范围问题
方法：
①定义； ②模与投影之积； ③→a ·→b =(→a +2→b )2-(→a 2-→b )2； ④坐标法．
（二）平面向量数量积的范围问题
1.在△ ABC 中，AB=3，AC=5，若 O 为△ ABC 的外心，则A→O·B→C=_________．
A
A→O·B→C=A→M·B→C
O
B
M
C
（二）平面向量数量积的范围问题
2．如图，在梯形 ABCD 中，DA=AB=BC=12CD=1. 点 P 在阴影区域（含边界）中运动，则A→P·B→D的
取值范围是
．
D
C
M
P
A
B
（二）平面向量数量积的范围问题
3.平面直角坐标系下，点
P(x，y)满足xx-+y2-y2-≤50≥，0， y-2≤0，
2，且△ABC 恰有
一解，求 b 的取值范围．
方法二（构造方程） a2=b2+c2-2bccosA，b2+c2- bc=2， 关于 c 的方程 c2- bc+ b2-2=0 恰有一正根， 有 b2-2＜0 或△=0， 解得 0＜b≤ 2，或 b=236．
一、三角形中的范围问题
【知识方法】 （1）三角形中的边角关系式 （2）解三角形的类型 （3）用函数、方程观点看正余弦定理 （4）求三角形中的范围问题的方法：图 解法、构造函数法、构造方程法．
三角形与平面向量中的范围问题 丽水中学 毛美生
一、三角形中的范围问题
三角形中的范围与最值问题，不仅需要 用到三角变换、正余弦定理，往往还涉及数 形结合、函数与方程、等价转化等数学思想 以及用不等式求函数的值域等数学能力，综 合性强，思维要求高．
一、三角形中的范围问题
（1）在△ABC 中，已知 a=2，b=2 2， 求 A 的取值范围；