第八单元平面向量与解三角形(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若2c sin B=b,则角C的大小为A.B.C.D.解析:由正弦定理得2sin B==,∴sin C=,∴C=.答案:A2.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是A.u⊥vB.v∥wC.w=u-3vD.对任一向量,存在实数a,b,使=a u+b v解析:因为u·v=0,所以u⊥v,显然w∥v,因为u与v不共线,所以对任意向量,存在实数a,b,使=a u+b v.答案:C3.在△ABC中,B=,三边长a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是A.B.C.D.解析:因为2b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-3ac,化简得b=.答案:D4.在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点,且·=·,则·等于A.—4B.0C.4D.8解析:由·=·,得·(-)=·=0,即⊥,所以||=2,∠BAD=60°,所以·=4×2×=4.答案:C5.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为A.B.C.D.-解析:cos C==≥=,当且仅当a=b时等号成立.答案:C6.设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为A.5a-4b=3B.4a-3b=5C.4a+5b=14D.5a+4b=14解析:由与在方向上的投影相同,可得·=·⇒(a,1)·(4,3)=(2,b)·(4,3),即4a+3=8+3b,4a-3b=5.答案:B7.在△ABC内,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b sin B+a sin A=c sin C,c2+b2-a2=bc,则B等于A.B.C.D.解析:因为c2+b2-a2=bc,所以cos A==,所以cos A=,A=,因为b sin B+a sin A=c sin C,所以b2+a2=c2,所以C=,B=.答案:A8.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x>1,y>0,若a∥b,则log2(x-1)+log2y等于A.1B.2C.3D.4解析:∵a∥b,则=,∴(x-1)y=8,∴log2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log28=3.答案:C9.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin A cos B,则△ABC是A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cos C==,所以C=,因为sin C=2sin A cos B,所以c=2a·,得a=b,所以△ABC是等边三角形.答案:B10.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是A.B.C.D.解析:如图所示建立直角坐标系,因为AB=,BC=2,点E为BC的中点,所以B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1),设F(x,2),则=(x,2),=(,0),所以·=x=,所以x=,=(,1),=(-,2),所以·=(-)+2=.答案:D11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于A.B.C.-D.-解析:因为2S=(a+b)2-c2,所以ab sin C=a2+b2-c2+2ab=2ab cos C+2ab,所以sin C=2cos C+2,又因为sin2C+cos2C=1,所以sin C=,cos C=-,tan C=-.答案:C12.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量=a,=b,其中a=(3,1),b=(1,3),若=λa+μb,且0≤λ≤μ≤1,C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是解析:设点C的坐标为(x,y),由题意知x=3λ+μ,y=λ+3μ,解得λ=,μ=,代入0≤λ≤μ≤1,解得y≤3x,y≥x,3y-x≤8.答案:A第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.已知向量|a|=1,|b|=2,a⊥(a-b),则向量a与b的夹角的大小是.解析:因为a⊥(a-b),所以a·a-a·b=0,cos<a,b>=,<a,b>=.答案:14.在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积为.解析:∵AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,∴4=12+BC2-4×BC,∴BC2-6BC+8=0,∴BC=2或BC=4.当BC=2时,S=·AB·BC·sin B=×2×2×=,当BC=4时,S=AB·BC·sin B=×2×4×=2.答案:或215.在△ABC中,已知内角A,B,C依次成等差数列,AB=8,BC=5,则△ABC外接圆的面积为.解析:记△ABC的外接圆半径为R,依题意得2B=A+C,因此有B=,所以AC==7,又2R==,即R=,故△ABC的外接圆的面积是πR2=.答案:16.如图所示圆O的半径为2,A、B是圆上两点且∠AOB=π,MN是一条直径,点C在圆内且满足=λ+(1-λ)(0<λ<1),则·的最小值为.解析:因为=λ+(1-λ)(0<λ<1),所以C在线段AB上,因为·=(-)·(-)=-(+)·+·=-4,所以当OC⊥AB时取得最小值,(·)=1-4=-3.min答案:-3三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知向量a,b满足:|a|=4,|b|=3,且(2a+3b)·(2a-b)=61.(1)求a·b的值;(2)求向量a与b的夹角.解析:(1)由(2a+3b)·(2a-b)=61,得4a2+4a·b-3b2=61.又|a|=4,|b|=3,可得a·b=6.6分(2)设向量a与b的夹角为θ,则cos θ===,可知向量a与b的夹角为60°.10分18.(本小题满分12分)已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数,x=a+(t2+1)b,y=-a+b.(1)若x⊥y,求k的最大值;(2)是否存在k,t,使x∥y?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解析:x=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=(--,-+).(1)若x⊥y,则x·y=0,即(-2t2-1)(--)+(t2+3)(-+)=0,整理得,k==≤,当且仅当t=,即t=1时取等号,∴k max=.6分(2)假设存在正实数k,t,使x∥y,则(-2t2-1)(-+)-(t2+3)(--)=0,化简得+=0,即t3+t+k=0.因为k,t是正实数,故满足上式的k,t不存在,所以不存在k,t,使x∥y.12分19.(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b-c=a cos C.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面积为2,且2ab cos C-bc=a2+c2,求a.解析:(1)根据正弦定理可知,b-c=a cos C可化为sin B-sin C=sin A cos C,因为sin B=sin(A+C),所以sin(A+C)-sin C=sin A cos C,整理可得cos A sin C=sin C,即cos A=,因为0<A<π,所以A=. 6分(2)因为2ab cos C-bc=a2+c2,所以2ab·-bc=a2+c2,即a2+b2-c2-bc=a2+c2,得b2-2c2-bc=0,b=2c,因为S△ABC=2=bc sin A=bc,得bc=8,所以解得b=4,c=2,所以a2=b2+c2-2bc cos A=16+4-2×4×2×=12,所以a=2.12分20.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1+=.(1)求角A;(2)若m=(0,-1),n=(cos B,2cos2),试求|m+n|的最小值.解析:(1)1+=⇒1+=,即=,所以=,cos A=.因为0<A<π,所以A=.6分(2)m+n=(cos B,2cos2-1)=(cos B,cos C),所以|m+n|2=cos2B+cos2C=cos2B+cos2(-B)=1-sin(2B-).因为A=,所以B+C=,B∈(0,).从而-<2B-<.当sin(2B-)=1,即B=时,|m+n|2取得最小值.所以,|m+n|min=. 12分21.(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足(a-c)·=c·.(1)求角B的大小;(2)若-=,求△ABC面积的最大值.解析:由题意(a-c)cos B=b cos C,根据正弦定理得(sin A-sin C)cos B=sin B cos C,所以sin A cos B=sin B cos C+sin C cos B=sin(B+C),即sin A cos B=sin A,cos B=,所以B=.6分(2)因为-=,所以|=,即b2=6,根据余弦定理b2=6=a2+c2-ac,有基本不等式可知6=a2+c2-ac≥2ac-ac,即ac≤3(2+),所以S△ABC的最大值为ac sin B=×=,即当a=c时,△ABC的面积的最大值为. 12分22.(本小题满分12分)在某海域,以点E为中心的7海里以内海域是危险区域,点E正北55海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中cos θ=,0<θ<90°),且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入危险水域,并说明理由.解析:(1)由题知AB=40,AC=10,∠BAC=θ,0<θ<90°,cos θ=,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos θ=(40)2+(10)2-2×40×10×=500,所以BC=10,所以船的行驶速度为=15(海里/小时).6分(2)如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于Q,在△ABC中,由余弦定理得cos B===,从而sin B===,在△ABQ中,由正弦定理得=,所以AQ==40<AE=55,且QE=AE-AQ=15,过点E作EP⊥BC于点P,在Rt△QPE中,PE=QE sin∠PQE=QE sin∠AQC=QE sin(45°-B)=15×=3<7,所以船会进入危险区域.12分。