高考专题训练十一 三角变换与解三角形、平面向量班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0解析：只要AC →，AB →共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.答案：D2．(2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解析：a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0， 即a ·b －(a ·c ＋b ·c )＋c 2≤0 ∴a ·c ＋b ·c ≥1.又|a ＋b －c |＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1. 答案：B3．(2011·全国)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝ －12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( ) A ．2 B. 3 C.2D ．1解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c (ⅰ)若OC 在∠AOB 内，如图因为a ·b ＝－12，所以∠AOB ＝120°，又〈a －c ，b －c 〉＝60°，则O ，A ，C ，B 四点共圆． |AB |2＝|OA |2＋|OB |2－2|OA |·|OB |·cos120°＝3，∴|AB |＝ 3. 2R ＝|AB |sin120°＝332＝2，∴|OC |≤2，即|c |≤2.(ⅱ)若OC 在∠AOB 外，如图由(ⅰ)知∠AOB ＝120°，又∠ACB ＝60°，|OA |＝|OB |＝1，知点C 在以O 为圆心的圆上，知|c |＝|OC →|＝1. 综合(ⅰ)，(ⅱ)|c |最大值为2. 答案：A4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )解析：由题意知OC →＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.答案：A5．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66解析：如题图所示在△BCD 中，∵BC ＝2BD ， ∴sin C sin ∠BDC ＝12. 在△ABD 中，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ， ∴cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∵∠ADB ＝π－∠BDC ，∴sin ∠ADB ＝sin ∠BDC ， ∴sin C ＝12×63＝66.答案：D6．(2011·河南省重点中学第二次联考)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( )A.54 B. 2 C ．1D.32解析：由sin 2A ＋cos 2B ＝1，得cos 2B ＝cos 2A .又A 、B 为△ABC 的内角，所以A ＝B ，则C ＝π－2A .cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A ＋cos(π－2A )＝2cos A －cos2A ＝－2cos 2A ＋2cos A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＋32，可知当cos A ＝12时，cos A ＋cos B ＋cos C 取得最大值32.答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2011·江苏)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan2x的值为________．解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2，∴tan x ＝13，tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝34，则tan x tan2x ＝1334＝49.答案：498．(2011·上海)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的最大值为________．解析：y ＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝32cos 2x ＋12sin x ·cos x ＝32·cos2x ＋12＋14sin2x ＝34cos2x ＋14sin2x ＋34＝12sin ⎝ ⎛⎭⎫2x ＋π3＋34.故y max ＝12＋34.答案：12＋349．(2011·江西)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．解析：(a ＋2b )·(a －b )＝－2 ∴a 2＋a ·b －2b 2＝－2 ∵|a |＝2，|b |＝2，∴4＋a ·b －8＝－2，∴a ·b ＝2∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝24＝12，0≤θ≤π，∴θ＝π3.答案：π310．(2011·湖南)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝ 2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________. 解析：∵BC →＝2BD →，∴D 为BC 中点．∵CA →＝3CE →，∴E 为AC 边上距C 近的一个三等分点． ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →.又|AB →|＝|AC →|＝1，AB →与AC →夹角为60°， ∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB → ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →2－AB →2－13AB →·AC → ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1－13×1×1×cos60° ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1－16＝－14. 答案：－14三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·广东)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6＝2sin α＝1013， ∴sin α＝513，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1213，∵f (3β＋2π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3β＋2π3－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2 ＝2cos β＝65，∴cos β＝35，又β∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.12．(13分)(2011·湖北)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．解：(1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c .∴A <C ，故A 为锐角． ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.。