解三角形，平面向量与三角形的综合练习一、填空题1．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为______________．2．已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么g a b 的值为________． 3．已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则b a +=_____________________.4． )6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 5．b a ρϖ,的夹角为ο120，1,3a b ==r r ，则5a b -=r r6．若BC AC AB 2,2==，则ABC S ∆的最大值7．设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．8．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．9．若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ． 10．若3sin()25πθ+=，则cos2θ=_________。

11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos。

12已知a r 是平面内的单位向量，若向量b r 满足()0b a b -=r r r g，则||b r的取值范围是 。

13．.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===︒ 则A＝ .14． 关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若g g a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60o． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）三、解答题1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域2．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．3．已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-r r ,且0.m n ⋅=r r(Ⅰ)求tan A 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域.4．已知函数f (x )=A sin(x +ϕ)(A >0,0<ϕ<π),x ∈R 的最大值是1，其图像经过点M 132π⎛⎫⎪⎝⎭，.(1) 求f (x )的解析式；(2) 已知α，β∈02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且f (α)=35，f (β)=1213，求f (α-β)的值.5． 如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =o∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．6．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B52（1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值。

7．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的B A CDE总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

8．（江西17）已知1tan 3α=-，cos 5β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （2）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值．解三角形，平面向量与三角形的综合答案B一、填空题438- 2 7 102725-3 [01]， 6π②三、解答题1解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+Q1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =+-+221cos 22sin cos 2x x x x =+-1cos 22cos 222x x x =+- sin(2)6x π=-2T 2ππ==周期∴ （2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈-Q 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()12222f f ππ-=-<=Q ，∴当12x π=-时，()f x取最小值2-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2- 2.解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=11sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤．因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 3. 解：（Ⅰ）由题意得m ·n =sin A -2cos A =0,因为cos A ≠0,所以tan A =2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A =2得2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-. 当1sin 2x =时，f (x )有最大值32，当sin x =-1时，f (x )有最小值-3， 所以所求函数f (x )的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.解：（1）依题意知 A =1 1sin 332f ππφ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又4333πππφ<+< ； ∴536ππφ+=即 2πφ= 因此 ()sin cos 2f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）Q ()3cos 5fαα==，()12cos 13f ββ== 且 ,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ 4sin 5α=，5sin 13β=()()3124556cos cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=5. 解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=o o o∠，CB AC CD ==，所以15CBE =o∠． 所以cos cos(4530)4CBE =-=oo∠． （Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+o o o o．故2sin 30cos15AE =oo124⨯==． 12分6.【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数 的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式， 考查运算求解能力。

由条件得cos ,cos 105αβ== αβQ 、为锐角，sin αβ∴==1tan 7,tan 2αβ∴==（1）17tan tan 2tan()311tan tan 172αβαβαβ+++===--⋅-⨯ （2）22122tan 42tan 211tan 31()2βββ⨯===--47tan tan 23tan(2)141tan tan 2173αβαβαβ++∴+===--⋅-⨯ αβQ 、为锐角，3022παβ∴<+<324παβ∴+= 7. 【解析】：本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。

（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则10cos cos AQ OA BAO θ==∠， 故10cos OB θ=又1010OP tan θ=-，所以10101010cos cos y OA OB OP tan θθθ=++=++- 所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+≤≤②若OP=x (km )，则OQ=10-x，所以OA OB ===所求函数关系式为(010)y x x =+≤≤（2）选择函数模型①，2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)'cos cos y θθθθθθθ-----== 令'0y =得1sin 2θ= 046ππθθ≤≤∴=Q当(0,)6πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64ππθ∈时'0y >，y 是θ的增函数；所以当6πθ=时，min 1201010102y -⨯=+=此时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离ABkm 处。

8. 解：（1）由cos β=(0,)βπ∈得tan 2β=，sin β= 于是tan()αβ+=12tan tan 3121tan tan 13αβαβ-++==-+.（2）因为1tan ,(0,)3ααπ=-∈所以sin αα==()f x x x x x =x = ()f x。