(十三) 计数原理、概率统计(理科)(样稿)
华南师范大学附中罗华张琪
A 组
(1) C22+C23+C24+…+C210=
(A) 990 (B) 165 (C) 120 (D) 55
B
(2)把3 个不同的小球随意地放入4 个不同的盒子内，则3 个小球恰在三个不同的盒子内的概率为
(A) 3
4(B)
4
5(C)
3
8(D)
7
16
C
(3)某学校要派遣6位教师中的4位去参加一个学术会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则派遣教师的不同方法数共有
A．7种 B．8种C．9种 D．10种
C
(4)将3 种农作物都种植在如图的4 块试验田里，每块种植一种农作物，要求相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法共有几种
(A) 6 (B) 12
(C) 18 (D) 24
C C13C12(1+2)
(5)四人报名参加跑步、跳高、和游泳比赛，每人限报一项，不同的报名结果有种？
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(6) (1 + x) 30的展开式中，系数最大的项是第__________项。
16；
(7) 平面内有10个点，其中每3点不共线，以其中任意2个点为端点的线段有_________条，有向线段有_________条.
C210=45 ; A210=90
(8) 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1
③他至少击中目标1次的概率是1－0.14
其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）．
①③
(9) 这是高考第一批录取的一份志愿表。
有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满
意的选择。
若表格须填满且规定学校没有重复、同一学校的专业也没有重复的话。
你将有种不同的填写方案？
(10)某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行：
① 小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球取前两名； ② 半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名做主客场交叉淘汰赛，(每两队主客场各赛一场) 决出胜者；
③ 决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.
问全部赛程共需比赛多少场？
解：① 小组赛每组6队进行单循环比赛，即6队中的每两队都要比赛一场，小组赛共需比赛2×C 2
6 =30(场)
② 半决赛中，甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，共需比赛 2×A 22 =4(场)
③ 决赛比赛1场
所以全部赛程共需比赛30+4+1=35(场) B 组
(11) 某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一顶是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案。
记该同学至少答对9道题的概率为 p ，则下列数据中与 p 接近的是：
(A) 3×10－4
(B) 3×10－5 (C) 3×10－6 (D) 3×10－
7 B
(12) 四人进入游泳决赛，已知A 不可能第一，B 不可能第二，C 不可能第三，D 不可能第
四，则不同的比赛结果有多少种？
9
(13) 5个人分4张足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法共有____种 120
(14)设二项式 (33x + 1x
) n 展开式的各项系数和为 P ，所有的二项式系数之和为S ，P + S = 72，则n = ______________
3
(15)接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为_________.（精确到0.01）
解：填0.94。
至少有3人出现发热反应的概率为.
33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=
(16)某车场有一排16个停车位，现要停12辆汽车，求：事件“恰有四个空位连在一起”发
生的概率. (用数字作答)
解： 16 个停车位停 12 辆车有 n = C 1612 = C 164 种
而发生四个空位连在一起的情况数为m = 13种
故所求的概率 P 1 = 13C 164 = 1140
(17)已知盒中有 5 个红球 t 个白球共 5 + t 个球，从盒中每次抽取一个球然后放回，连续抽取三次，设每次抽取时每个球被抽到的概率是相等的。
若第一次，第三次均抽到白球的概率为 136
，求抽到白球次数的分布列和数学期望。
解：将事件“抽取一次得到白球”记作A ，则P (A ) =
t 5 + t . 在三次独立重复试验中，第一次，第三次均抽到白球的概率为
p (A ·A ) = P (A )·P (A ) = ( t 5 + t )2 = 136
∴ t = 1
即盒中有 5 个红球，1 个白球。
P (A ) = 16
设 ξ 是三次抽取中抽到白球的次数，则 ξ~ B (3,16
) ξ 的分布列为
答：抽到白球次数的数学期望为 12
(18)规定C m x =
x (x －1)…(x －m + 1)m ! ，其中x ∈ R ，m 是正整数，且 C 0x = 1，这是组合数C m n （m 、n 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．
(1) 求C 5－15 的值：
(2) 组合数的两个性质：
① C m n = C n －m n ；② C m n + C m －1n = C m n +1
是否都能推广到C m x （x ∈ R ，m 是正整数）的情形?若能推广，则写出推广形式并给出证明；
若不能，则说明理由；
(3) 已知组合数C m n 是正整数，证明：当 x ∈ Z ，m 是正整数时，C m x ∈ Z
(1) C 5－15 = －15×(－16)×(－17)×(－18)×(－19)120
= －11628
(2) ①不能推广。
因为x∈R，不一定有x－m∉N*，因此C x－m
x
不一定有意义。
②能推广
若m=1，则C1
x + C0
x
= x + 1= C1
x+1。
若m≥2，则
C m
x + C m－1
x
=
x (x－1)…(x－m + 1)
m!+
x (x－1)…(x－m + 2)
(m－1)!
= x (x－1)…(x－m + 2)
m![(x－m + 1)+ m] =
(x + 1) x (x－1)…(x－m + 2)
m!= C
m
x+1
(3) 1︒当x∈N时，
①x≥m时，组合数C m
x
∈Z
②0≤x < m时，C m
x =
x (x－1)…(x－m + 1)
m!= 0 ∈Z
2︒当x∈ Z－时，
∵| C m
x | =
| x (x－1) … (x－m + 1) |
m!=
－x (1－x) … (m－1－x)
m!
= (m－1－x) [(m－1－x)－1] … [(m－1－x)－m + 1]
m!= C
m
m－1－x
而m－1－x为正整数
∴| C m
x
| ∈N*
∴C m
x
∈Z
参考答案或提示：（要求尽量详细又精简）。