n−1 n−1 n−1 1 2 uj+1 − 2uj + uj−1 = a( 2 4 h2 τ +1 +1 un+1 − 2un + un−1 un+1 − 2un+1 + un−1 j j j j j j ) +2 + 2 2 τ h
un+1 − 2un + un−1 j j j
可以证明： 加权格式的稳定性分析 ，可以证明： 1 1 （）当θ ≥ 时，它是无条件稳定的 。 4 1 （2 当0 ≤ θ < 时, 格式稳定的充要条件是 : ） 4 1 ar < 1 − 4θ
∂ 2u 1 ∂ 2u ∂ 2u （xi，tk） （ 2 xi，tk −1） 2 xi，tk +1）） = （ + （ 2 ∂x 2 ∂x ∂x τ 2 ∂ 4u − （xi，ζ k） 2 2 2 ∂x ∂t
∂ 2u 1 2 ∂ 2u ∂ 2u 于是有 2（xi，t k） a（ 2 xi，t k −1） 2 xi，t k +1）） （ − + （ ∂t 2 ∂x ∂x 2 （aτ） ∂ 4u （xi，ζ k） =− 2 2 2 ∂x ∂t
且特征值 λ1 = ia ， λ 2 = − ia
1 1 1 S= 1 − 1 2
ia 0 Λ = S AS = 0 − ia
则方程化为： 则方程化为： ∂w ∂v ∂t − a ∂x = 0 ∂w − a ∂v = 0 ∂t ∂x
∂ u 2 ∂ u =0 −a 2 2 ∂t ∂x
2 2
如果令： 如果令：
u =
(v , w )
T
∂u ∂u 上述方程组可以写成： +A =0 上述方程组可以写成： ∂t ∂x 0 − a 其中： 其中： A = a 0
∂u = 0， 从原微分方程可以得到： ∂ξ∂η
2
方程的通解形式： （x，t） （ξ） g1 η） （x − at） g1 ( x + at ) u = f1 + （ = f1 +
∂u 如果考虑初始条件： 如果考虑初始条件： u( x ,0 ) = f ( x )， ( x ,0 ) = g ( x ) ∂t
第四节 二阶双曲型方程
§1
二阶双曲型方程
波动方程的初值问题： ∂ 2u ∂ 2u − a2 2 = 0 ∂t 2 ∂x u ( x , 0 ) = f ( x ) ∂u ( x, 0 ) = g ( x ) ∂t a > 0, x ∈ R , t ∈ (0, T ] x∈R x∈R
§3 二阶方程的Courant条件 3 二阶方程的Courant Courant条件
∂ 2u ∂ 2 u 相应的差分格式为： 相应的差分格式为： 对于方程， =a 对于方程， ， 2 2 ∂t ∂x
LhU = 0
层的计算值， 若第 n 层的计算值，依赖于第
0 层的 u 0− m , u 0− m + 1 , … , u 0+ l。 j j j
O （ τ 2 + h 2） R（ h ， τ ）= ij O （ τ 4 + h 4） 1 1 2 (a − 2 ) θ ≠ 12 r 1 1 2 θ = (a − 2 ) 12 r
τ 2a 4
当参数为0的时就是显式格式， 当参数为 的时就是显式格式，实际上有兴趣的参 的时就是显式格式 数是1/4的时候 的时候， 数是 的时候，如下
差分求解格式为 u − 2u + u − （u − 2u + u + u − 2u + u ） 0 = 2
n j n+1 j n−1 j
λ
2
n−1 j +1
n−1 j
n−1 j −1
n+1 j +1
n+1 j
n+1 j −1
矩阵表示形式
其中
AU
n +1
= BU
1 2 − λ 2 ⋱ 1 2 − λ 2
CFL条件： CFL条件： 条件
| aλ |≤ 1
显示格式的稳定性条件为： 显示格式的稳定性条件为：
| aλ |< 1
注：CFL条件是稳定性的必要条件 CFL条件是稳定性的必要条件
§4 等价一阶齐次方程组的差分格式 4
对于原二阶波动方程： 对于原二阶波动方程：
∂u ∂u 引入： 引入： v = ，w = a ∂t ∂x
−1
是严格双曲型的， 故A是严格双曲型的，第二节中方法可用。 是严格双曲型的 第二节中方法可用。
§2
1、显式格式
波动方程的差分格式
可以简单的用二阶中心差商近似方程： u
n +1 j
− 2u + u
τ
n j 2
n −1 j
−a
2
u
n j +1
− 2u + u h
n j 2
n j −1
=0
这是一个二阶格，令 n = 0，得： u 1 − 2 u 0 + u −1 j j j
τ2
与 u 1 − u −1 j j
− a2
u 0+1 − 2 u 0 + u 0−1 j j j h2
2τ 1 2 2 1 u j = a λ f j −1 + f j +1 + 1 − a 2 λ 2 f j + τ g j 2
下面进行稳定性分析： 下面进行稳定性分析：
三层格式（方程）化为二层格式（方程组） 三层格式（方程）化为二层格式（方程组）
令：w = u ，u = ( u , w
n j n −1 j n j n j
n T j
)
,w = u
n j
n −1 j
将差分格式写成矩阵形 式，有：
2 (1 − a 2λ 2 ) −1 n a 2λ 2 0 n a 2λ 2 0 n un = uj + u j +1 + u j −1 j 0 0 1 0 0 0
（2）加权隐式格式 ）
un+1 − 2un + un−1 j j j
τ
(1 − 2θ )
2
= a (θ
2
−1 −1 un+1 − 2un−1 + un−1 j j j
un+1 − 2un + un−1 j j j
τ
2
+θ
h2 +1 +1 un+1 − 2un+1 + un−1 j j j h
2
)
h2 ∂ 4u 2 2 截断误差为：R（h，τ）（ = − − θτ a ） 4 xi，t j） （ ij 12 12 ∂x + O（τ 4 + τ 2 h 2 + h 4）
相应的特征方程为：d 2 x − a 2 d 2t = 0，利用特征方向可以 得到两族特征线：x − at = ξ，x + at = η
如果u沿特征线的偏导数分别表示为： ∂ 2u ∂ ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = （ + ） a（ 2 − 2 = 2 + 2） 2 ∂t ∂t ∂ξ ∂t ∂η ∂t ∂ξ ∂ξ∂η ∂η ∂ 2u ∂ ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = （ + ） = 2 +2 + 2 2 ∂x ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
如果令： 如果令：
u =
(v , w )
T
∂u ∂u 上述方程组可以写成： +A =0 上述方程组可以写成： ∂t ∂x 0 −a 其中：A = −a 0
且特征值 λ1 = ia ， λ 2 = − ia
1 1 1 S= 1 − 1 2
ia 0 Λ = S AS = 0 − ia
分析显示格式的CFL条件 分析显示格式的CFL条件 CFL 差分方程解的依赖区域： 差分方程解的依赖区域：
x j − n , x j − n +1 ,......., x j + n −1 , x j + n
微分方程解的依赖区域： 微分方程解的依赖区域：
[ x j − atn , x j + atn ]
= g j 联立，得 联立，
(
) (
)
λ=
τ
h
故有 差分 方程 ： un+1 = a2λ2 ( un+1 − 2un + un−1 ) + 2un −un−1 j j j j j j n ≥1 1 1 2 2 2 2 uj = a λ ( f j−1 + f j+1 ) + (1− a λ ) f j +τ g j 2
初始条件的离散
此时边界条件也应作二阶离散。
u 0 = f j = f ( x j ) j 1 u j − u −1 j = gj 2τ
可设： 可设：
其中u −1是虚构的。 j 是虚构的。
但有
u −u
1 j
−1 j
2τ
∂u 2 = + O (τ ) ∂t j
那么增长矩阵为： 2 2 2 kh 2 − 4a λ sin 2 G ( λ，k ) = 1 −1 0
特征值
µ1,2
kh 2 2 2 kh 2 2 2 kh = 1 − 2a λ sin ± a λ sin − 1 4a λ sin 2 2 2