表３当ｆ＝ｕ∞。＾＝Ｆ，１帅时的绝对误差（ｆ＝１）
１铀ｋ ３ Ａｂ臼０ｌＩ吐ｅ ｅ肿ｒｗｈ啊ｆ＝１，２０．＾＝Ｆ，１００（，＝１
表２当ｆ＝ｌ肿，＾＝州舳时的绝对误差（ｆ＝１）
Ｔａｂｋ ２ Ａｈ龇ｅ珊ｒｗｂ即ｆ＝ｌ脚，＾＝Ｆ，舯（ｆ＝１）
参考文献：
岫ｂ。ｑ“ｎｏｍ【Ｊ．．Ｉｎｈ ［１］ＥＶ“ｓＤ Ｊ，ＡＢＤｕｕＡＨ Ａ Ｒ Ｂ ｃ删ｐ ｅｘｐｌｉｃｉｔ眦山Ｄｄｆｏｒ Ｊ ｃ“掣目Ｍ讪，１９８３，１４： ７３—１０５．
ｕ：＝妒．（ｍ＾），ｍ＝１，２，…，Ｊ—ｌ，
只譬：妒：（ｍ＾） 在第一时间层Ｉ：，用二阶精度的中心差分公式 （７）
逼近式（２）的第二式．并在差分方程（６）中令ｎ＝
Ｏ，得
２ｎｔⅡ：＋ｎ２（Ⅱ＿＋ｌ＋Ｈ：１）＝Ⅱ３“：＋ｎ４（“：＋ｌ＋
ｕ：一１）一Ⅱ５ Ｍ：１＋ｎ６（¨：：１＋ｕ：１１）．
（８）
由（７）式解出“：１并代人式（８），即得第一时间层 上的汁算公式（差分方程组）
Ｇ．）一１｜＿２｜｜（Ｐ．，一Ｇ２）（Ｐ。Ｊ＋Ｇ２）一１｛Ｉ：．
（１４）
容易求得矩阵Ｇ，的特征值为＾．＝ｏ，，Ａ，＝。。一
０２（，＝２，４，’’。，，一２），＾Ｊ＝ｏｌ＋８２（，＝３，５，’。‘， ，一１．从前面ｎ。和ｎ：的定义易知，矩阵Ｇ。的特
征值全大于零，故Ｇ，是正定矩阵．同理可知Ｇ：
也是正定矩阵．因此，由引理１知，不等式（１４）中
的最后两个范数均小于１，故ｐ（丁）＜】．证毕， 与上类似，还可以构造求解差分方程组（９）的
迭代公式
ｒｙ‘‘“＝（ｐ：，＋西１）一１［（Ｐ２Ｊ一西２）ｕ‘”＋巾］，
｛ｃ，‘‘…＝（ｐ２，＋舀１）一‘［（Ｐ：，一否。）ｙ‘‘“＋中］，
【
后：ｏ，ｌ，２，…，
（１５）
其中ｐ２＞０是常数，而
ｕ＝（ｎ；，ｕ：，…，“ｊ一，）７，
口＝（声ｌ，≠：，…，庐，１）７，
芦ｌ＝（。６一ｎ２）Ⅱ；＋Ⅱ３ Ｍ？＋ａ４（Ⅱ；＋Ｍ：）＋
２ｄ５婶２（＾）一２０６ｒ［妒２（ｏ）＋驴２（２＾）］，
≠。＝啦以＋口４（以一１＋“：＋１）＋２口５婶２（柚）～
故此时迭代法式（１３）的收敛速度达到最快． 定理３的证明与文献［７］相同，故略去． 由于迭代法式（１３）、（１５）的整个计算过程都
是显式的（向量化），而且各分量的计算量又基本 相同，所以上述差分方程组迭代算法非常适合于 在并行机（或向量机）上进行汁算
３数值算例
设初边值问题式（１）～（３）中的Ａ＝ｌ，曰＝３，
Ｄ＝１，己＝丌，妒】（ｘ）＝ｓｉｎｚ，甲２（ｚ）＝一２ｓｉｎ ｘ，
≯．（￡）＝妒：（ｆ）＝Ｏ，则此问题有解析解ｕ（ｚ，ｔ）＝
２差分方程组的并行迭代算法
差分格式（６）是三层隐格式，在每一个时间层
上都要求解差分方程组
ＧＵ＝Ｆ．
（１０）
其中
２０Ｉ
０２
ｎ２
Ｇ＝
２ｎ】
口２
０２ ２０１
０２
ｏ２
２０ｌ
ｕ＝（ｕ：．。，ｕ：¨，…，ｕ：！
Ｆ＝（＾，五，…，＾一．）１
＾＝一Ⅱ２Ⅱ：＋１＋Ⅱ３“：＋口４（“；＋“；）一。５“：叫＋
８６（Ｍ：“＋以。１），
（ｘ。，ｆ。）＝（衲，ｗ）处的数值解记为Ⅱ：，则可用
如下三层九点隐式差分方程逼近微分方程（１）：
ｊ｝《（“：１＋ｕ＃１）＝ｉ叁霹（ｕ：＋一＋ｌｏ“：＋
“：一。）＋是（“：＋。＋‰：＋ｕ：．）＋等（“＝１＋
２Ⅱ：＋Ⅱ＝１）＋岩醴Ⅱ：，
（４）
万方数据
第３期
金承日，等：双曲型方程的有限差分并行迭代算法
其中盈和醴分别表示关于变量￡的一阶和二阶 中心差分，醴表示关于变量ｘ的二阶中心差分 差分方程（４）中的最后一项是误差校正项，其作用 是提高差分方程的逼近精确度．
由式（１）易知
雾＝一袅＋曰嘉＋Ｄ雾，㈥
将差分方程（４）两端的各函数值均在结点（ｚ。，￡。）
处进行泰勒展开，并利用式（５）进行整理，立刻得
知差分方程（４）的局部截断误差阶为Ｏ（ｒ２＋
ｒ２＾２＋＾４）
为了方便起见，将差分式（４）简化成如下 形式：
２ｄ１ Ｍ＝１＋０２（Ｍ■】＋Ｍ：１】）＝。３“：＋
ｎ４（“：＋Ｉ＋Ｍ：１）一Ⅱ５Ⅱ＊１＋
Ｇ＝Ｇ１＋Ｇ２，
（１１）
其中Ｇ．＝ｄｉａｇ（口，，Ｑ２，Ｑ４，…，Ｑｐ ２）和Ｇ：＝ｄｉａｇ
（口。，Ｑ ３’一，ＱＪ一，，ａ。）均为Ｊ—ｌ阶分块对角矩
阵，其对角块２：【吼啦】，，：ｌ，２，…，，一２．将
分解式（１１）代入式（１０），得
ＧｌＵ＋Ｇ２Ｕ＝Ｆ，
由此进一步得等价方程组
｛‘Ｐ，Ｊ＋Ｇ，）￡，２（Ｐ－，一Ｇ２）ｕ＋Ｆ， （１２）
万方数据
第３期
金承日，等：双曲型方程的有限差分并行迭代算法
来的各次迭代值的绝对误差，其中的参数ｐ．和 Ｐ：是由定理３的原则选取的．从表１～３中容易看
出，本文算法不仅精度高，而且收敛速度也很快． 特别是表３中，在古典显格式不稳定的条件下本 算法仍然稳定而且精度还很高，可见本算法具有 良好的实用性．
１训ｅ表１ ｌ当Ａｂｆｓ＝ｏ１ｈ脚地，ｅ珊＾＝ｆＦ椭，ｆ３＝０１时脚的．绝＾；对Ｅ误，差３０（（ｆｆ＝；１）１
｛ｕ¨“’＝（Ｐｌ，＋Ｇ１）。１［（Ｐ１，＋Ｇｔ）ｙ“川＋Ｆ］， 【后：ｏ，ｌ，２，…，
（１３） 其中＾是迭代次数，
（Ｐ·Ｊ＋Ｇ·）‘。＝ｄｉａｇ（五｛ｉ，Ｄｚ，Ｄ·，…，ＤＪ一：Ｊ，
（Ｐ－Ｊ＋Ｇｚ）～＝ｄｉａｇ（Ｄｌ，Ｂ，…，研一ｄｉ），
万方数据
研＝赤■：’，ｚ，］，哈尔滨工业大学学报
第３４卷
２‰ｒ［妒２（础一＾）＋弛（柚＋ｈ）］，
黝４卷第３期
２ Ｏ ０ ２年６月
ｈ触０ｆ Ｊ０删０ｆ皿州ｎ 哈尔滨工业大学学报 ｎ曲ｎｏｋ盯
Ⅵ．３４№．３
Ｊ皿，２００ ２
双曲型方程的有限差分并行迭代算法
金承日，丁效华，张少太
（哈尔滨工业大学威海分校，山东威海蚴）
摘要：为研究二阶双曲型偏徽分方程适合于并行机上运行的高效率的计算方法，先构造出高精度无条件稳
ｅ“ｓｉｎ ｚ
下面分别用本文算法和古典显格式（也为二
阶精确堡度）止攀！亟：Ａ坚二罂
ｎ
ｒ
计算ｚ＝１时刻的数值解，并将其绝对误差 ｕ（ｚ。，＃。一ｕ：）Ｉ列于表Ｉ一３．表中的第一列表示
网格点的空间坐标，第二列表示由解析解算出的 函数值，第三列表示古典显格式（１６）的数值解的 绝对误差，最后是用本文迭代法式（１５）、（１３）算出
【Ｐ１ Ｊ＋Ｇ２）￡，＝（Ｐｌ，一Ｇ【）ｕ＋Ｆ， 其中Ｐ．＞ｏ是常数，其作用是保证逆矩阵（Ｐ－，＋ Ｇ。）“和（ｐ】Ｊ＋Ｇ：）１都存在，并使Ｆ面的迭代法 具有较快的收敛速度．于是，从式（１２）出发，可以 构造出求解差分方程组（１０）的迭代公式
『ｙ【“ｊ）＝（Ｐｌｆ＋Ｇ１）一１［（Ｐ．ｆ＋６２）￡，…＋，］，
厶＝Ⅱ３ ｕ：＋Ⅱ４（Ｍ：一１＋Ｍ：＋１）一口５“：“＋ Ⅱ６（ｕ材ｉ＋Ⅱ爿１），ｍ＝２，３，…，，一２，
五一１＝。）ｕ；一ｌ＋出（Ｍ；一２＋Ｍ；）一ｎ５ ｕｊ：ｊ一
Ⅱ２“：＋１＋口６（“ｊ：：＋ｕ：一１）．
为ｊ．用并行机或向量机求解差），将方程组（１０）的
系数矩阵分解成
ｄⅢｂｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ ｐｍＦ）（】ｓｅｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉ“ｇ
ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｈｙｐｅｒｂｏｂｃ ｐａｎｉａｌ ｄｉⅡｊｒｅｎ“ａｌ ｅｑｕｍｉｏｎｓ．Ｉｎ ｏｌ－ｄｅｒ ｔ０ ｒｅｄｕｃｅ洲ｎｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｅｆｆｂＩｔｓ，肌ｅ舔ｃｉｅｎｔ ｐ＆ｒａＵｅｌ
ｉｔｅｒａｌｉｖｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｍｅｔｌｌｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｌｌｉｓ ｄｉ如ｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ髑ｔａｂｂｓｈｅｄ，跚ｄ蛐ｅｘ舢ｐＩｅ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｏ ｉⅡｕｓ叫ｅ
为当务之急．自从１９８３年Ｄ．Ｊ．Ｅｖａｌｌｓ和Ａ．Ｂ．Ｂ．
ＡｂｄＩｌｌｌａｈ首次建立求解抛物型方程的交替分组显
式方法…以来，偏微分方程有限差分并行算法的
研究越来越受到重视．对于一阶双曲型方程，适合
于并行计算的差分法已有文献可查”４１，但对于
二阶双曲型方程，尚未见到这方面的文献．
本文以电磁学中的传输线方程”’
１差分格式的建立
考虑二阶双曲型方程初边值问题
雾＝＾雾＋曰象＋ｍ，ｏｃ ｘ ｃ¨，ｏ，（１）
ｕ（ｘ，Ｏ）＝妒ｌ（ｘ），Ⅱ。（ｘ，Ｏ）＝妒２（＊），０＜ｚ＜Ｌ，（２）
ｕ（０，￡）＝“（１），Ⅱ（Ｌ，‘）＝也（Ｉ），垃：Ｏ，
（３）
其中Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｌ均为正实数．
取时间步长ｒ，空间步长＾＝Ｌ，』（』为正整
数），式（１）～（３）的解ｕ（ｚ，ｆ）在网格结点
定理２的证明完全类似于定理ｌ的证明． 关于迭代法中的参数ｐ。（Ｐ２类似）的选取准 则，有如下结论． 定理３设正定矩阵Ｇ。和Ｇ：的特征值都属
于区间［ｎ，ｐ］，则取参数Ｐｌ＝ｖ／邙时，迭代矩阵ｒ 的谱半径有最佳估计式
舻，蔓（糕）２＇
则矩阵ｒ与哥相似，所以
Ｐ（ｒ）＝Ｐ（ｆ）≤Ｉ亍｜Ｉ：≤ｌ（Ｐ１Ｊ＋Ｇ．）（Ｐ，Ｊ＋
２：Ｌｃ２＋（舵＋ＧＬ）譬＋眺
ｄｘ—
ｄｌ
ｏＥ
为物理背景，构造出求解二阶双曲型方程的高精
度无条件稳定的隐式差分格式，并以此隐格式为
基础，设计出适合于并行计算的完全显式迭代算
收稿日期：２０００—０５一∞
基盒项目：哈尔演工业大学校科学研究基金资助项目（砌一∞７）
作者筒介：金承日（１９６ｌ一），男。教授
法．数值算例表明了本方法的实用性．
其中 ｒ＝（ＰＩＪ＋Ｇ２）一（Ｐ１ Ｊ—Ｇ１）（Ｐ１，＋ Ｇ１）‘１（ｐ。，一Ｇ２），
≯＝（ｐ。，＋Ｇ２）一１［（Ｐ Ｊ＋Ｇ１）（Ｐｌｊ＋ Ｇ，）叫＋Ｊ］Ｆ．
为了证明迭代法式（１３）的收敛性，只需证明迭代 矩阵ｒ的谱半径ｐ（ｒ）＜１即可．为此，定义