{来源}2019年包头中考数学试卷{适用范围:3． 九年级}{标题}2019年内蒙古省包头市中考数学试卷考试时间：120分钟满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 12小题，每小题 3分，合计36分．{题目}1．（2019年包头）计算1319-+-）（的结果是 A ．0B ．38C ．310D ．6{答案}D{解析}本题考查了算术平方根、绝对值及负整数指数幂，因为原式＝3+3＝6，因此本题选D ．{分值}3{章节:[1-6-3]实数}{考点:绝对值的意义}{考点:算术平方根}{考点:简单的实数运算}{考点:负指数的定义}{{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019年包头）实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是A ．a>bB ．a>-bC ．－a>bD ．－a<b{答案}C{解析}本题考查了相反数在数轴上的表示及实数大小比较的方法，先在数轴上把a、b的相反数在数轴上表示出来，利用在向右方向的数轴上，右边的点总比左边的点所表示的数要大，知－a>b ，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-1-2-2]数轴}{考点:数轴表示数}{考点:相反数与数轴的综合}{考点:有理数的大小比较} {类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2019年包头）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是9A．4 B．211C．5 D．2{答案}B{解析}本题考查了众数、中位数的概念与中位数的求法，由众数是4，知9，就x=4，把数据重排为2，3，4，4，5，6，7，9，中间两个数的平均数2是这组数据的中位数，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}{考点:中位数}{考点:众数}{考点:算术平均数}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}4．（2019年包头）一个圆柱体的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱体的体积为A ．24B ．24πC ．96D ．96π{答案}B{解析}本题考查了根据三视图的数据计算，由三视图知圆柱体的底面圆的直径为4，所以底面圆的面积为4π，高为6，根据体积＝底面积×高知体积为24π，因此本题选B ．{分值}3{章节:[1-29-2]三视图}{考点:简单几何体的三视图}{{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}5．（2019年包头）在函数y=123+--x x 中，自变量x 的取值范围是 A ．x>－1 B ．x≥－1C ．x>－1且x≠2D ．x≥－1且x≠2{答案}D{解析}本题考查了函数自变量取值范围的求法，根据题意x 必须满足⎩⎨⎧≥+≠-01x 02x ，解得x≥-1且x≠2 ，因此本题选D ． {分值}3{章节:[1-19-1-1]变量与函数}{考点:分式的意义}{考点:二次根式的有意义的条件}{考点:解一元一次不等式组}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}6．（2019年包头）下列说法正确的是A ．立方根等于它本身的数一定是1和0B ．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形C ．在函数y=kx+b(k≠0)中，y 的值随着x 的增大而增大D ．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等{答案}B{解析}本题考查了立方根、矩形的判定、一次函数的性质与圆周角性质，由于立方根等于它本身的数是+1，-1和0，所以A 错误；顺次连接菱形四边中点得到的四边形四个角都是直角，是矩形，所以B 正确；函数y=kx+b(k≠0)中k 的符号不定，所以y 的值随着x 的变化也不定，C 错误；两个圆不是同圆或等圆，即使圆周角相等同，弧长不一定相等，D 错误．因此本题选B ．{分值}3{章节:[1-24-1-4]圆周角}{考点:立方根}{考点:立方根的性质}{考点:一次函数的性质}{考点:矩形的判定}{考点:圆周角定理}{类别:常考题}{{难度:2-简单}{题目}7．（2019年包头）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 于点D 、E ，再分别过点D 、E 为圆心，大于21DE 的长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若BG ＝1，AC=4，则△ACG的面积是A ．1B ．23C ．2D ．25{答案}C{解析}本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线性质的应用及三角形面积的计算，由尺规作图知，AF 是∠BAC的角平分线，所以△ACG边AC 上的高即是点G 到AC 的距离＝BG ，故其面积为21×BG×AC=21×1×4=2，因此本题选C ．{分值}3{章节:[1-12-3]角的平分线的性质}{考点:三角形的面积}{考点:角平分线的性质}{考点:与角平分线有关的作图问题}{类别:北京作图}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}8．（2019年包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=BC=22，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是A．π-1 B．4-πC．2 D．2{答案}D{解析}本题考查了三角形、扇形面积的计算，连接OD，可证OD∥AC，点D是半圆弧的中点，扇形COD的面积＝扇形BOD的面积，由图知阴影部分的面积＝直角三角形ABC的面积-直角三角形BOD的面积-扇形COD的面积+（扇形BOD的面积-直角三角形BOD的积）＝直角三角形ABC的面积-2直角三角形BODR面积＝4-2＝2，因此本题选D．{分值}3{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}{考点:扇形的面积}{考点:三角形的面积}{类别:思想方法}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}9．（2019年包头）下列命题1是完全平方式，则k＝1．①若x2+kx+4②若A（2，6），B(0，4)，C(1，m)三点在一条直线上，则m=5．③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴．④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．其中真命题个数是A．1 B．2 C．3 D．4{答案}B{解析}本题考查了完全平方公式、一次函数的图象与性质、等腰三角形的1=0，即k＝性质、多边形的内角和与外角和及命题的真假，当k2-4×1×41是完全平方式，所以①错误；由A、B两点的坐标利用待定系1时，x2+kx+4数法，求得过这两点的一次函数解析式为：y=x+4，把点P的坐标代入，得m＝5，②正确；等腰三角形底边上才有三线合一，所以③错误；一个多边形的内角和是它外角和的2倍，即内角和等于720度，所以（n-2）×1800=7200，解得n＝6，④正确．因此本题选B．{分值}3{章节:[1-19-2-2]一次函数}{考点:完全平方公式}{考点:待定系数法求一次函数的解析式}{考点:等腰三角形的性质}{考点:多边形的内角和}{考点:多边形的外角和}{考点:命题}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}10．（2019年包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b上是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2＝0的两根，则m的值是A．34 B．30 C．30或34 D．30或36{答案}A{解析}本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系及一元二次方程根的判别式，（1）若a≠b，则a、b必有一个等于4，即方程x2-12x+m+2＝0有一个根是4，所以16-48+m+2＝0，解得m＝30，代入原方程，求得另一个根为：8，而4、4、8不能组成三角形，此解无意义，舍去．（2）若a=b，则方程x2-12x+m+2＝0有两个相等的实数根，所以122-4×（m+2）=0，解得m＝34，因此本题选A．{分值}3{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}{考点:等腰三角形的性质}{考点:三角形三边关系}{考点:根与系数关系}{考点:根的判别式}{类别:思想方法}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:3-中等难度}{题目}11．（2019年包头）如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF=600，则CF的长是A．213+ B．23 C．13- D．32{答案}C{解析}本题考查了正方形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的应用等．连接EF ，则HL 可证RtABE△≌Rt△ADF，所以BE=DF ，EF=AE=AF ，设CF=x ，则DF=1-x ，在直角三角形EFC 中，EF 2＝2x 2，在直角三角形ADF 中，AF 2=1+(1-x)2，因此，2x 2=1+(1-x)2，解得x=-1±3，负号不合题意，所以x ＝-1+3因此本题选C ．{分值}3{章节:[1-18-2-3] 正方形}{考点:等边三角形的判定与性质}{考点:勾股定理的应用}{考点:正方形的性质}{考点:正方形有关的综合题}{类别:思想方法}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:4-较高难度}{题目}12．（2019年包头）如图，在平面直角坐标系中，已知A(-3，-2)，B(0，-2)，C(-3，0)，点M 是线段AB 上的一个动点，连接CM ，过点M 作MN⊥MC交y 轴于点N ，若点M 、N 在直线y=kx+b 上，则b 的最大值是A ．87-B ．43- C ．-1 D ．0{答案}A{解析}本题考查了一次函数的图象，相似三角形的性质，最值的求法，连接AC ，可证RtCAM△∽Rt△MBN，所以有BN AM MB AC=，设MB=x （0≤x≤3），所以BN x 3x 2-=，BN ＝89)23(21232122+--=+-x x x ，BN 的最大值为89，由图知，当BN 有最大值时，b 才有最大值，此时b ＝-（2-89）＝-87，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}{考点:相似三角形的性质}{考点:相似三角形的应用}{考点:一次函数的图象}{考点:一次函数的性质}{考点:一次函数图象与几何变换} {类别:思想方法}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 8小题，每小题 3 分，合计24分．{题目}13．（2019年包头）2018年我国国内生产总值（GDP ）是900309亿元，首次突破93万亿，用科学记数法表示为． ． {答案}9×1013{解析}本题考查了科学记数法，先确定a=9，把原数写成90万亿＝90 0000 0000 0000，n=13，因此本题填为9×1013． {分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}14．（2019年包头）已知不等式组⎩⎨⎧>-+->+11692k x x x 的解集为x>－1，则k 的取值范围是． ． {答案}k≤－2{解析}本题考查了一元一次不等组的解法及一元一次不等式组的解集的应用，解第一个方程得x>－1，解第二个方程得x>k+1，根据同大取大的原则，所以k+1≤－1，解得k≤－2，因此本题填k≤－2． {分值}3{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:2-简单}{题目}15．（2019年包头）化简：1-4412122++-÷+-a a a a a ＝ ． {答案}11+-a {解析}本题考查了分式的加减乘除混合运算，原式＝1-)1)(1()2(212-++⋅+-a a a a a ＝11121+-=++-a a a ，因此本题填11+-a ． {分值}3{章节:[1-15-2-2]分式的加减}{考点:两个分式的乘除}{考点:两个分式的加减}{考点:分式的混合运算} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}16．（2019年包头）甲乙两班举行数学知识竞赛．参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：①甲乙两班学生的平均成绩相同．②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分≥85分为优秀）． ③甲班成绩的波动比乙班小．上述结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） {答案}①②③{解析}本题考查了平均、中位数、方差．由表知两班平均成绩都是83分，①正确；两班人数相等，由甲班中位数为86分，乙班中位数为84分，知乙班85分以上的人数少于甲班，②正确；甲班方差比乙班方差小，所以甲班的波动小，③正确，因此本题填①②③．{分值}3{章节:[1-20-2-1]方差}{考点:算术平均数}{考点:中位数}{考点:方差}{考点:方差的实际应用}{考点:数据分析综合题}{类别:常考题}{{难度:2-简单}{题目}17．（2019年包头）如图，在△ABC中，∠CAB=55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是．{答案}1{解析}本题考查了旋转及特殊角的三角形值，由∠CAB=55°，∠ABC＝25°，得∠ACB=∠DEA＝100°，利用旋转知，∠EAC=70°，所以等腰三角形底角∠CEA=55°，故∠DEC＝45°，所以tan∠DEC的值是1，因此本题填1．{分值}3{章节:[1-28-2-1]特殊角}{考点:特殊角的三角函数值}{考点:等腰三角形的性质}{考点:等边对等角}{考点:三角形内角和定理}{考点:旋转的性质}{考点:与旋转有关的角度计算}{类别:思想方法}{类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}18．（2019年包头）如图，BD 是⊙O的直径，A 是⊙O外一点，点C 在⊙O上，AC 与⊙O相切于点C ，∠CAB＝90°，若BD ＝6，AB ＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC 的长为 ．{答案}26{解析}本题考查了圆周角定理、圆的切线性质及相似三角形的性质，连接OC ，CD ，利用切线的性质，先证明OC∥AB，推得∠OCB=∠OBC=∠CBA，利用BD 是直径，推得∠DCB=90°，所以Rt△DCB∽Rt△CAB，所以BCBD ABBC ，所以BC 2＝AB×BD=24，所以BC=26，因此本题填26．{分值}3{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}{考点:切线的性质}{考点:直径所对的圆周角}{考点:相似三角形的判定（两边夹角）}{考点:相似三角形的性质}{考点:圆与相似的综合} {类别:思想方法}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}19．（2019年包头）如图，在平面直角坐标系中，已知A （－1，0），B （0，2），将△ABO沿直线AB 翻折后得到△ABC．若反比例函数y ＝xk （x<0）的图象经过点C ，则k= ．{答案}2532-{解析}本题考查了翻折的性质，点的坐标的求法，反比例函数解析式的确定方法及勾股定理的应用，过点C 作CD⊥x轴，CE⊥y轴，设AD=a ，CD ＝b ，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+4)2()1(12222b a b a ，解得a=53，b=54，OD=1+a ＝58，所以点C 的坐标为（－58，54），点C 在反比例函数图象上，所以k=2532-，因此本题填2532-．{分值}3{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}{考点:点的坐标的应用}{考点:其他反比例函数综合题}{考点:勾股定理的应用}{类别:思想方法}{类别:常考题}{难度:4-较高难度}{题目}20．（2019年包头）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线于点E，连接CE．下列结论：①若BF=CF，则CE2+AD2=DE2．15②若∠BDE=∠BAC，AB=4，则CE=8③△ABD和△CBE一定相似．④若∠A=30°，∠BCE=90°，则DE=21．其中正确的是．（填写所有正确结论的序号）．{答案}①②④{解析}本题考查了勾股定理、三角形相似的判定及应用、三角形全等、等腰三角形等．D是斜边AC的中点，且BF=CF，则可证明DE是BC的中垂线，所以∠2=∠ECB，∠DCE=∠DCB+∠ECB=∠DBC+∠EBC=∠DBE=90°，所以CE2+DC2=DE2，所以CE2+AD2=DE2，故①正确；若∠BDE=∠BAC，所以∠BAC=∠ABD =∠EBC，所以∠EBC +∠DBF=90°，所以DE⊥BC，BF=CF，BE=CE ，所以∠EBC ＝∠ECB，所以△ADB∽△BCE，所以ABDB BCCE =，BD=25，BC=3，AB=4，则CE=815，故②正确；△ABD和△CBE不一定相似，③错误；若∠A=30°，∠BCE=90°，所以∠2＝30°，BC=3，所以23，所以DE ＝21)32(32222=+=+BE BD ，则DE=21正确，，因此本题填①②④．{分值}3{章节:[1-17-1]勾股定理}{考点:直角三角形斜边上的中线}{考点:含30度角的直角三角形}{考点:勾股定理}{考点:等腰三角形的性质}{考点:垂直平分线的性质}{考点:垂线的性质}{考点:内错角相等两直线平行}{考点:相似三角形的判定（两边夹角）}{考点:相似三角形的性质}{考点:几何填空压轴}{考点:几何综合} {类别:思想方法}{类别:常考题} {难度:4-较高难度}{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共 6小题，合计60分．{题目}21．（2019年包头）（本小道满分6分）某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取50名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题（25分的学生人数．（2）该校体育老师要对本次抽测成绩为13分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率（用列表或树状图方法解答）{解析}本题考查了样本估计总体及列举法求概率．（1）用样本中成绩25的频率估计总体频率，估计九年级25分的人数．（2）列表或画树状图列举所有可能事件，找到符合条件的事件数，求符合条件事件的概率．18＝160（人），{答案}解：（1）450×50所以九年级450名学生的体育测试成绩为25分的学生人数约为162人（3分）；（2）列表或画树状图为：所有可能出现的结果共有12种，其中，甲和乙恰好分在同一组的结果有21．（6分）种，所以甲和乙恰好分在同一组的概率P＝6{分值}8{章节:[1-25-2]用列举法求概率}{难度:3-中等难度}{类别:思想方法}{类别:常考题}{考点:概率的意义}{考点:两步事件不放回}{考点:用样本估计总体}{题目}22．（2019年包头）（本小道满分8分）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB=BC ，∠BAD=90°，AC 交BD 于点E ，∠ABD=30°，AD=3，求线段AC 和DE 的长．（注：ba b a b a b a ba ba --=-+-=+))((1）{解析}本题考查了锐角三角形函数及相似三角形的性质的综合运用．先解直角三角形ABD 求出AB ，在直角三角形ABC 中，利用勾股定理求AC ．再利用AD∥BC，证明△ADE∽△CBE，利用对应边成比例，列出比例式求BD ，DE ． {答案}解：在Rt△ABD中，∵∠BAD=90°，∠ABD=30°，AD=3，∴tan∠ABD=ABAD，∴AB333=，∴AB=3．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°． ∴∠ABC=90°．在Rt△ABC中，∵AB=BC=3，∴AC=2322=+BC AB ．(4分)∵AD∥BC ，∴△ADE∽△CBE． ∴CB AD BE DE =，∴33=BE DE ．设DE=3x ，则BE ＝3x ，∴BD=DE+BE=(3+3)x ，∴333+=BEDE．∵在Rt△ABD中，∠ABD=30°，∴BD=2AD=23，∴DE=23×333+，∴DE=3－3．(8分){分值}8{章节:[1-28-2-1]特殊角}{难度:3-中等难度} {{类别:常考题}{考点:相似三角形的性质}{考点:由平行判定相似}{考点:正切}{考点:特殊角的三角函数值}{考点:比例的性质}{考点:勾股定理}{题目}23．（2019年包头）（本小道满分10分）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨31．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未租出，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金是多少元？（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？ {解析}本题考查了分式方程的应用及利用二次函数求实际问题的最值．（1）等量关系是：旺季每辆货车的日租金比淡季上涨31，列出方程．（2）先求利润关于日租金上涨量的二次函数关系式，化成顶点式，验证顶点在自变量的取值范围内，则当自变量取顶点的横坐标时，利润有最值．{答案}解：（1）设货车出租公司对外出租的货车共有x 辆， 根据题意，得xx 4000)311(101500=+⋅-．解得x ＝20，经检验：x ＝20是所列方程的解．∴1500÷（20-10）＝150（元）．答：货车出租公司对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金是150元．（5分）设当旺季每辆货车的日租金上涨a 元时，货车出租公司的日租金总收入为w 元，根据题意，得W=)2020()311(150aa -⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ ∴W=4500)100(20140001020122+--=++-a a a ， ∵-201<0，∴当a ＝100时，W 有最大值．答：当旺季每辆货车的日租金上涨100元时，货车出租公司的日租金总收入最高．（10分）{分值}10{章节:[1-15-3]分式方程}{难度:4-较高难度}{类别:思想方法}{类别:常考题}{类别:易错题}{考点:分式方程的检验}{考点:其他分式方程的应用}{考点:商品利润问题}{题目}24．（2019年包头）（本小题满分10分）如图，在⊙O 中，B 是⊙O上一点，∠ABC＝120°，弦AC=23，弦BM 平分∠ABC交AC 于点D ，连接MA ，MC ．（1）求⊙O半径的长．（2）求证：AB+BC=BM ．{解析}本题考查了垂径定理、等边三角形、三角形全等的判定与性质．（1）作弦AV 的垂径，利用余弦求半径（2）利用长截短的思路，在MB 上截BE=BC ，连接CE ，证明三角形MEC 全等于三角形ABC ，证明ME=AB ． {答案}解：（1）∵∠ABC=120°，BM 平分∠ABC，∴∠MBA=∠MBC=21∠ABC=60°．∴∠ACM=∠ABM=60°，∠MAC=∠MBC=60°．∴在△AMC中，∠AMC＝60°．∴△AMC 是等边三角形连接OA 、OC ，∴AO=CO，∠AOC=2∠AMC=120°．∴∠OAC=∠OCA=30°，作OH⊥AC于点H ． ∴AH=CH=21AC=3， ∴在Rt△AOH中，cos∠OAH=AO AH， ∴233 AO ，∴AO=2，∴⊙O的半径为2．（4分）（2）证明：在BM 上截取BE ＝BC ，连接CE ，∵∠MBC=60°．∵BE=BC，∴△EBC为等边三角形，∴CE=CB=BE，∠BCE=60°．∴∠BCD+∠DCE=60°，∵∠ACM=60°，∴∠ECM+DCE=60°，，∴∠ECM=∠BCD，∵△AMC为等边三角形，∴AC=MC，∴△ACB≌△MCE，∴AB=ME，∵ME+EM=BM，∴AB+BC=BM ．(10分){分值}10{章节:[1-24-1-4]圆周角}{难度:4-较高难度}{类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:北京作图}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义}{考点:角平分线的定义}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:三角形的角平分线}{考点:等边三角形的性质}{考点:等边三角形的判定}{考点:余弦}{考点:特殊角的三角函数值}{题目}25．（2019年包头）（本小道满分12分）如图，在正方形ABCD 中，AB=6，M 是对角线BD 上的一个动点（0<DM<21BD ），连接AM ，过点M 作MN⊥AM交边BC 于N ．（1）如图(1)，求证MA=MN ；（2）如图（2），连接AN ，O 为AN 的中点，MO 的延长线交边AB 于点P ，当1813=∆∆BCD AMNS S 时，求AN 和PM 的长． （3）如图（3），过点N 作NH⊥BD于H ，当AM=25时，求△HMN的面积．{解析}本题考查了正方形的性质，三角形全等、三角形相似的判定与性质、勾股定理等（1）过点M作分别作AB、BC垂线，构造直角三角形全等（2）先证Rt△AMN∽Rt△BCD，利用面积之比等于相似比的平方，构造方程求AN、PM的长（3）过点A作AF⊥BD于F，构造与Rt△MNH全等的直角三角形AMF，求出AF，MH，HN，利用面积公式求三角形的面积．{答案}解：(1)如图，过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G．∴∠MFB=∠BGM=90°．∵正方形ABCD，∴∠DAB=90°，AD=AB．∴∠ABD=45°．同理可证，∠DBC=45°，∴∠ABD=∠DBC．∵MF⊥AB，MG⊥BC，∴MF=MG．∵正方形ABCD，∴∠ABN=90°，∵∠MFB=∠FBG=∠BGM=90°，∴∠FMG=90°，∴∠FMN+∠NMG=90°．∵MN⊥AM，∴∠NMA=90°，∴∠AMF+∠FMN=90°．∴∠AMF=∠NMG，∴MF⊥AB，∴∠AFM=90°，∴∠AFM=∠NGM=90°，∴△AMF≌△NMG，∴MA=MN ． (3分)(2)在Rt△AMN中，∵∠AMN=90°，MA=MN ，∴∠MAN=45°，在Rt△BCD中，∵∠DBC=45°，∴∠MAN=∠DBC， ∴Rt△AMN∽Rt△BCD，∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆BD AN S S BCD AMN ．∵在Rt△ABD中，AB=AD=6，∴BD=62． ∵1813=∆∆BCD AMN S S ，∴1813)26(22=AN ，∴AN=213．(6分) ∴在Rt△ABN中，BN=422=-AB AN ．∵在Rt△AMN中，MA=MN ，O 是AN 的中点， ∴OM=AO=ON=21AN=13，OM⊥AN，∴PM⊥AN．∴∠AOP=90°，∴∠AOP=∠ABN=90°，又∵∠PAO=∠NAB． ∴△AOP∽△ABN，∴AB AO BN OP =，∴6134=OP ，∴OP=3132． ∴PM=PO+OM=1335133132=+．(9分) (3)如图，过点A 作AF⊥BD于F ，∴∠AFM=90°，∴∠FAM+∠AMF=90°．∵MN⊥AM，∴∠AMN=90°．∴∠AMF+∠HMN=900，∴∠FAM=∠HMN．∴NH⊥BD，∴∠NHM=90°，∴∠NHM=∠AFM．∵MA=MN．∴△AFM≌△MHN，∴AF=MH，在Rt△ABD是，AB=AD=6，∴BD=62． ∵AF⊥BD，∴AF=21BD=32，∴MH=32． ∵AM=25，∴MN=25，在Rt△MNH中，HN=222=-HM MN ． ∴S △HMN =32322121=⨯⨯=⋅HN HM ，∴△HMN的面积是3．{分值}12{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}{难度:4-较高难度}{类别:思想方法}{类别:常考题}{考点:相似三角形的性质}{考点:相似三角形的判定（两角相等）}{考点:正方形的性质}{考点:正方形有关的综合题}{考点:几何综合}{考点:全等三角形的性质}{考点:全等三角形的判定ASA ，AAS}{题目}26．（2019年包头）(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 2+bx+2(a≠0)与x 轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴．（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD ，DB ，若∠DCB=∠CBD，求点D 的坐标．（3）已知F （1，1），若E(x ，y)是抛物线上一个动点（其是1<x<2），连接CE ，CF ，EF ，求△CEF面积的最大值及此时点E 的坐标．（4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．{解析}本题考查了二次函数的解析式与点的坐标的求法、面积最大值等．（1）把A 、B 两点代入y=ax 2+bx+2求出a 、b ．（2）根据等角对等边，得到CD=BD ，根据勾股定理列出 方程求点D 纵坐标．（3）用x 的代数式表示三角形CEF 的面积，利用二次函数的最值求三角形CEF 的面积．（4）存在符合条件的M ．{答案}解：(1)∵抛物线y=ax 2+bx+2(a≠0)过A(－1，0)，B(3，0)两点．∴⎩⎨⎧=++=+-023b a 902b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=34b 32a ∴抛物线的解析式为y=234x 322++-x ． ∴对称轴是直线x=1． (3分)(2)过点D 作DG⊥y轴于G ，作DH⊥x轴于H ，设点D （1，y ）．∵C(0，2)，B(3，0)，∴在Rt△CGD中，CD 2=CG 2+GD 2=(2－y)2+(1－0)2．∴在Rt△BCD中，BD 2=BH 2+HD 2=(3－1)2+(y －0)2．在Rt△BHD中，∵∠DCB=∠CBD，∴CD=BD，∴CD 2=BD 2．∴(2－y)2+(1－0)2=(3－1)2+(y －0)2，∴4y=1，∴y=41． ∴点D 的坐标是（1，41 ）． （6分）（3）过点E 作EQ⊥y轴于Q ，过点F 作直线FR⊥y轴于R ．过点E 作直线EP⊥FR 于P ．∴∠EQR=∠QRP=∠RPE=900．∴四边形QRPE 是矩形．∵S △CEF =S 矩形QRP E -S△EQC -S△CRF -S△EFP，∵E(x，y)，C(0，2)，F(1，1)，∴S △CEF =EQ×QR－21EQ×QC－21CR×RF－21FP×EP． ∴S △CEF =x(y －1)－21x(y －2)－21×1×1－21×(x－1)×(y－1)． ∴y=234322++-x x ，∴S △CEF =x x 67312+-． ∴S △CEF =4849)47(312+--x ． ∵31-<0，1<47<2， ∴当x=47时，△CEF面积的最大值是4849 此时顶点E 坐标为（47，4849） （9分）(4)存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为（2，2）或（4，310-）或（－2，310-）． （12分） {分值}12{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质}{难度:5-高难度}{类别:思想方法}{类别:常考题}{类别:易错题}{考点:二次函数与平行四边形综合}{考点:几何图形最大面积问题}{考点:二次函数y=a(x+h)2的图象}{考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质}{考点:函数图象上的点}{考点:勾股定理}{考点:矩形的性质}{考点:与矩形菱形有关的综合题}{考点:代数综合}{考点:几何综合}。