2016年成人高考高升专数学模拟题本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合，则{|52},{|33}A x x B x x =-<<=-<<A B =（A ）（B ）{|32}x x -<<{|52}x x -<<（C ）（D ）{|33}x x -<<{|53}x x -<<（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（A ）（B ）22(1)(1)1x y -+-=22(1)(1)1x y +++=（C ）（D ）22(1)(1)2x y +++=22(1)(1)2x y -+-=（3）下列函数中为偶函数的是（A ）（B ）2sin y x x =2cos y x x =（C ）（D ）|ln |y x =2xy -=（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（A ）90（B ）100（C ）180 （D ）300(5)执行如果所示的程序框图，输出的k 值为（A ）3（B ）4(C)5(D)6（6）设是非零向量，“”是“”的,a b ||||a b a b =A //ab（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（A ）1（B （C（D ）2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（A ）6升（B ）8升（C ）10升（D ）12升第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）复数的实部为________________(1)i i +（10）三个数中最大数的是________________13222,3,log 5-（11）在△ABC 中，，则________________23,3a b A π==∠=B ∠=（12）已知（2，0）是双曲线的一个焦点，则________________2221(0)y x b b-=>b =（13）如图，及其内部的点组成的集合记为，为ABC ∆D (,)P x y 中任意一点，则的最大值为D 23z x y =+________________（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________________②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________________三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）已知函数2()sin 2f x x π=-（Ⅰ）求的最小正周期；()f x （Ⅱ）求在区间上的最小值。

()f x 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（16）（本小题13分）已知等差数列满足.{}n a 124310,2a a a a +=-=（Ⅰ）求的通项公式；{}n a （Ⅱ）设等比数列满足.问：与数列的第几项相等？{}n b 2337,b a b a ==6b {}n a （17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。

商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？（18）（本小题14分）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且V ABC -VAB ⊥ABC VAB ∆ACBC ⊥分别为的中点。

AC BC ==,O M ,AB VA （Ⅰ）求证：平面.//VB MOC （Ⅱ）求证：平面平面MOC ⊥VAB （Ⅲ）求三棱锥的体积。

V ABC -（19）（本小题13分）设函数2()ln ,02x f x k x k =->（Ⅰ）求的单调区间和极值；()f x （Ⅱ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点。

()f x ()f x (20)(本小题14分)已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直22:33C x y +=C ,A B 线与直线交于点.AE 3x =M （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；AB x BM （Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由。

BM DE参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）D （3）B （4）C （5）B（6）A（7）C（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）-1（10）2log 5（11）（124π（13）7（14）乙数学三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()sin f x x x =+-所以的最小正周期为()f x 2π（Ⅱ）因为，所以203x π≤≤33x πππ≤+≤当，即时，取得最小值3x ππ+=23x π=()f x 所以在区间上的最小值为()f x 2[0,]3π2()3f π=（16）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为{}n a d因为，所以432a a -=2d =又因为，所以，故1210a a +=1210a d +=14a =所以 42(1)22n a n n =+-=+(1,2,...)n =（Ⅱ）设等比数列的公比为{}n b q因为23378,16b a b a ====所以12,4q b ==所以61642128b -=⨯=由得12822n =+63n =所以与数列的第63项相等6b {}n a （17）（共13分）解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000为顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=（Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200为顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。

所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，2000.21000=顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，1002003000.61000++=顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，1000.11000=所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。

（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为分别为的中点，,O M ,AB VA 所以//OM VB又因为平面，VB ⊄MOC 所以平面//VB MOC（Ⅱ）因为，为的中点，AC BC =O AB 所以OC AB⊥又因为平面平面，且平面，VAB ⊥ABC OC ⊂ABC 所以平面OC ⊥VAB 所以平面平面MOC ⊥VAB（Ⅲ）在等腰直角三角形中，ACB AC BC ==所以2,1AB OC ==所以等边三角形的面积VAB VAB S ∆=又因为平面，OC ⊥VAB 所以三棱锥的体积等于C VAB -13VAB OC S ∆=A 又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，V ABC -C VAB -所以三棱锥V ABC -（19）（共13分）解：（Ⅰ）由得2()ln (0)2x f x k x k =->由解得()0f x '=x =与在区间上的情况如下：()f x ()f x '(0,)+∞-+所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；()f x )+∞在()f x x =(1ln )2k k f -=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为，()f x (0,)+∞(1ln )2k k f -=因为存在零点，所以，从而()f x (1ln )02k k -≤k e ≥当时，在区间上单调递减，且，k e =()f x 0f =所以是在区间上的唯一零点。

x =()f x 当时，在区间上单调递减，且，k e >()f x 1(1)0,022e kf f -=>=<所以在区间上仅有一个零点。

()f x 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点。

()f x ()f x （20）（共14分）解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为C 2213x y +=所以1,a b c ===所以椭圆的离心率C c e a ==（Ⅱ）因为过点且垂直于轴，所以可设AB (1,0)D x 11(1,),(1,)A yB y -直线的方程为AE 11(1)(2)y y x -=--令，得3x =1(3,2)M y -所以直线的斜率BM 112131BM y y k -+==-（Ⅲ）直线与直线DE 平行。

证明如下：BM 当直线AB 的斜率不存在时，有（Ⅱ）可知1BM k =又因为直线DE 的斜率，所以10121DE k -==-//BM DE 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠设，则直线AE 的方程为1122(,),(,)A x y B x y 1111(2)1y y x x --=--令，得点3x =1113(3,2y x M x +--由得2233,(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩2222(13)6330k x k x k +-+-=所以22121222633,1313k k x x x x k k -+==++直线BM 的斜率11212323BMy x y x k x +---=-因为11212121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=--所以1BM DEk k ==所以//BM DE综上可知，直线BM 与直线DE 平行。