内蒙古呼和浩特市土默特左旗2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下图有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是()A. ②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③2.等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长为()cm．A. 16B. 20C. 16或20D. 20或183.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，若DC∶DB=3∶5，则点D到AB的距离是()A. 40B. 15C. 25D. 204.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，添加下列条件不能使两个三角形全等的是()A. AB=A′B′，BC=B′C′B. AC=A′C′，BC=B′C′C. ∠A=∠A′，BC=B′C′D. ∠A=∠A′，∠B=∠B′5.如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是()A. kB. 2k+1C. 2k+2D. 2k−26.三角形三条高线所在直线交于三角形外部的是()A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 内角为30°、80°、70°7.如图，已知△ABD≌△ACE，且∠ABC=∠ACB，则图中一共有多少对全等三角形？()A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对8.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是()A. SSSB. ASAC. SSAD.HL9.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为()A. 48°B. 36°C. 30°D. 24°10.如图，在一个5×5的正方形网格中，定点A，B在小正方形的顶点上，动点C也在小正方形的顶点上．若△ABC为等腰三角形，满足条件的点C的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.如图，已知∠ACD是△ABC的一个外角，∠ACD=130°，∠B=70°，则∠A的度数为______ ．12.在三角形ABC中，AB=2，BC=5，则AC的取值范围是__________________．13.点P(−1,2)向右平移3个单位长度得到的点的坐标是______．14.如图，△ABC中，AB=14，AC=12，沿过B点的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，△CDE的周长为15，则BC长为______．15.等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为______．16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D点，AB=4，则AD的长是______．三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）17.如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ．(1)若△APQ的周长为18，求BC的长；(2)若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数．四、解答题（本大题共6小题，共45.0分）18.如图，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°.求∠BDC的度数．19.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC=AB．20.如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，你能求出QR的长度吗？请说明理由．21.已知：如图在△ABC中D为BC的中点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F.求证：BE=CF．22.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC.求证：BD=DF．23.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=150°，∠BCD=30°，点M在BC上，AB=BM，CM=CD，点N为AD的中点，求证：BN⊥CN．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了轴对称图形的判断，关键是根据图形自身的对称性进行判断．根据轴对称图形的定义进行判断．解：①是轴对称图形，②是轴对称图形，③是轴对称图形，④不是轴对称图形，故是轴对称图形的有：①②③．故选D．2.答案：B解析：解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．故选：B．根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3.答案：B解析：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．根据比例求出CD的长，再过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，即可得解．解：∵BC=40，DC：DB=3：5，×40=15，∴CD=33+5过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，∴DE=CD=15，即点D到AB的距离是15．故选B．4.答案：D解析：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握直角三角形全等的判定方HL，AAS.SAS，ASA，SSS.解答此题的关键是要熟练掌握直角三角形全等的判定方法，然后逐项分析即可得出答案．解：A选项，AB=A′B′，BC=B′C′，可利用HL判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，同理B选项，也可利用HL判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，C选项∠A=∠A′，BC=B′C′，可利用AAS判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，D选项，∠A=∠A′，∠B=∠B′，不能证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故选D．5.答案：C解析：本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与外角和等于360°列式，然后解方程即可得解．解：设这个多边形的边数是n，则(n−2)⋅180°=k⋅360°，解得n=2k+2．故选：C．6.答案：B解析：解：由题意知，如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是钝角三角形．故选B锐角三角形的三条高线交于三角形的内部，直角三角形的三条高线交于三角形的直角的顶点，钝角三角形的三条高线交于三角形的外部．本题考查了三角形的三条高线交点的位置与三角形的形状的关系．7.答案：B解析：解：∵△ABD≌△ACE ，∴AE =AD ，CE =BD ，∠ABD =∠ACE ，∴BE =CD ，在△BFE 与△CFD 中，{∠EBF =∠DCF∠BFE =∠CFD BE =CD，∴△BFE≌△CFD(AAS)，在△BCD 与△CBE 中{BE =CDCE =BD BC =BC，∴△BCD≌△CBE(SSS)，∴BD =CE ，在△BDE 与△CED 中，{BE =CDDE =DE BD =CE，∴△BDE≌△CED(SSS)，∴共有4对全等三角形．故选：B ．根据全等三角形的性质得到AE =AD ，CE =BD ，∠ABD =∠ACE ，推出△BFE≌△CFD ，△BCD≌△CBE ，△BDE≌△CED 于是得到结论．此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8.答案：D解析：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ． 求出∠APO =∠ADO =90°，∠OAP =∠OAD ，根据HL 推出两三角形全等即可．解：∵OD ⊥AB ，OP ⊥AC ，∴∠APO =∠ADO =90°，∵OD =OP ，∴AP平分∠BAF，∴∠OAP=∠OAD．在Rt△AOD和Rt△AOP中{OD=OPAO=AO，∴Rt△AOD≌Rt△AOP.故选D．9.答案：A解析：根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°−60°−24°×2=72°，∵BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°−24°=48°，故选：A．10.答案：C解析：此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．根据已知条件，可知分两种情况：①AB为底边；②AB为等腰三角形的一条边．解：①AB为底边，符合点C的有0个；②AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有4个．故选C．11.答案：60°解析：解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠B+∠A，∴∠A=∠ACD−∠B=60°，故答案为：60°．根据三角形的外角的性质计算即可．本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．12.答案：3<AC<7解析：本题考查三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边；根据三角形的三边关系三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．解：根据三角形的三边关系，得：AC的取值范围是5−2<AC<5+2，即3<AC<7，故答案为3<AC<7．13.答案：(2,2)解析：解：点P(−1,2)向右平移3个单位长度得到的点的坐标是(−1+3,2)，即(2,2)．故答案为(2,2)．将点P的横坐标加3，纵坐标不变即可求解．此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．14.答案：17解析：解：由折叠可得，BE=AB=14，AD=ED，∵AC=12，∴AD+CD=12，∴DE+CD=12，又∵△CDE的周长为15，∴CE=15−12=3，∴BC=BE+CE=14+3=17，故答案为：17．依据折叠可得BE=AB=14，AD=ED，进而得出DE+CD=12，再根据△CDE的周长为15，可得CE=3，即可得到BC=BE+CE=17．本题考查了翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．15.答案：65°或25°解析：解：有两种情况；(1)如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°，已知∠ABD=40°，∴∠A=90°−40°=50°，∵AB=AC，×(180°−50°)=65°；∴∠ABC=∠C=12(2)如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°，已知∠HFE=40°，∴∠HEF=90°−40°=50°，∴∠FEG=180°−50°=130°，∵EF=EG，×(180°−130°)=25°，∴∠EFG=∠G=12故答案为65°或25°；分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质(两底角相等)和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．本题考查了等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质．解题时注意分类讨论思想的运用．16.答案：1解析：解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，∴AC=12∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B=30°，AC=1，∴AD=12故答案为：1．AB=2，根据同角的余角相等得到∠ACD=30°，根根据含30度角的直角三角形的性质得到AC=12据30度角的直角三角形的性质计算即可．本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．17.答案：解：(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴PA=PB，QA=QC，∵△APQ的周长为18，∴AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=18，∴BC=18；(2)∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°，∵PA=PB，QA=QC，∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°，∴∠PAQ=40°．解析：(1)根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，根据三角形周长公式计算；(2)根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=70°，根据等腰三角形的性质计算．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18.答案：解：∵在△ABC中，∠A=62°，∴∠ABC+∠ACB=180°−62°=118°．∵∠1=20°，∠2=35°，∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB−∠1−∠2=118°−20°−35°=63°．∴∠BDC=180°−(∠DBC+∠DCB)=180°−63°=117°．解析：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键.先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由∠1=20°，∠2=35°求出∠DBC+∠DCB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．19.答案：(1)解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°−30°−30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC−∠DAB=120°−45°=75°；(2)证明：∵∠DAB=45°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，∴∠DAC=∠ADC，∴DC=AC，∴DC=AB．解析：本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．(1)由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC−∠DAB=120°−45°；(2)根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由(1)得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．20.答案：解：QR=4.5cm，理由如下：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴PM=MQ，PN=NR．∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，∴RN=3cm，MQ=2.5cm，NQ=MN−MQ=4−2.5=1.5(cm)．∴QR=RN+NQ=3+1.5=4.5(cm)．解析：此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM=MQ，PN=NR是解题关键.利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用MN=4cm，得出NQ的长，即可得出QR的长．21.答案：证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△BDE和△CDF中，{∠BED=∠CFD=90°∠BDE=∠CDFBD=CD，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴BE=CF．解析：↵本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDF是解题的关键．易证BD=CD，即可证明△BDE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．22.答案：证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE，在△DCF和△DEB中，∵{DC=DE∠C=∠BED CF=BE,∴△DCF≌△DEB(SAS)，∴BD=DF．解析：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．因为∠C=90°，DE⊥AB，所以∠C=∠DEB，又因为AD平分∠BAC，所以CD=DE，已知BE=FC，则可根据SAS判定△DCF≌△DEB，根据全等三角形的性质即可得到结论．23.答案：证明：如图：延长BN、CD交于点E，∵∠ABC=150°，∠BCD=30°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB//CD，∴∠BAN=∠EDN，∵点N为AD的中点，∴AN=DN，在△BAN和△EDN中，{∠BAN=∠EDN AN=DN∠ANB=∠DNE,∴△BAN≌△EDN，∴AB=DE，BN=EN，∵AB=BM，∴DE=BM，∵CM=CD，∴CE=CB，∴△BCE是等腰三角形，∵BN=EN，即点N为BE的中点，∴BN⊥CN．解析：本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质的知识，熟练掌握这些知识是解题的关键.先由已知条件证明∠ABC+∠BCD=180°，进而可证AB//CD，然后求出∠BAN=∠EDN，再通过证明△BAN≌△EDN，可得AB=DE，BN=EN，最后通过已知条件证得△BCE是等腰三角形，通过等腰三角形的性质即可得解．。