2011年中考数学综合训练（几何探究题）1、两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点．（1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想FH 和FG 的数量关系为_______ 和位置关系为_____ ；（2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（2）如图3，将图1中的△DEC 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.2．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，CH ⊥BD于点H ，试证明CH=EF+EG;(2) 若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； . (3) 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E 是CL 上任一点, EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； 3. 在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=︒，点D 为AC 的中点．（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．A图3 A2019-2020年图2A BDEC H F GHF图2图1HFEBCD AEDBCA（2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明． 4、（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结EF ，分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断OMN △的形状，并加以证明；（2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ； （3）如图3，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 上，AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若45FEC ∠=︒，判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．5. 已知△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝90°，点D 为BC 上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放 在D 处．(1)如图①，若BD ＝CD ，将三角板绕点D 逆时针旋转，两条直角边分别交AB 、AC 于点E 、点F ，求出重叠部分AEDF 的面积(直接写出结果)．(2)如图②，若BD ＝CD ，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AB 于点E 、另一条直角边交AB 的延长线于点F ，设AE ＝x ，重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(3)若BD ＝2CD ，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AC 于点F 、另一条直角边交射线AB 于点E ． 设CF ＝x (x ＞1)，重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．图 1 图2 图3B F B AC D EF M NOx6. 在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠DAB ．(1)如图①，当∠DAB ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°时，求证：AB ＋AD ＝AC ．(2)如图②，当∠DAB ＝120°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．(3)如图③，当∠DAB ＝90°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．7. 设点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，F 是BC 边上一点，线段DE 和AF 相交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC ．(1)证明：PC ＝2AQ ．(2)当点F 为BC 的中点时，试比较△PFC 和梯形APCQ 面积的大小关系，并对你的结论加以证明． 6.2011年中考数学训练（与函数有关的综合题）1、如图，一次函数y ＝a x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ kx的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知OA ＝10，点B 的坐标为(m ，－2)，t a n ∠AOC ＝ 13．(1)求反比例函数的解析式； (2)求一次函数的解析式；(3)在y 轴上存在一点P ，使△PDC 与△CDO 相似，求P 点的坐标．2、如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中，并且OA 、OC 的长满足：|OA －2|＋(OC －23)2＝0． (1)求B 、C 两点的坐标．(2)把△ABC 沿AC 对折，点B 落在点B 1处，AB 1线段与x 轴交于点D ， 求直线BB 1的解析式．(3)在直线BB 1上是否存在点P 使△ADP 为直角三角形？若存在， 请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3、已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (m ，0)、B (0，n )，其中m 、n 是方程x 2－6x ＋5＝0的两个实数根，且m ＜n ，． (1)求抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ，求C 、D 点的坐标和△BCD 的面积； (3)P 是线段OC 上一点，过点P 作PH ⊥x 轴，交抛物线于点H ，若直线BC 把△PCH 分成面积相等的两部分，求P 点的坐标．4、如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M 、N 以每秒１个单位的速度分别从点A 、C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ． （1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ；（2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的13？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．1． (1)过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E .221tan 3310101 3.AOE OE AE OA OE AE AE OE ∠=∴==+=∴==，.，， ∴点A 的坐标为(3，1)．A 点在双曲线上，13k∴=，3k =．（备用图）∴双曲线的解析式为3y x=．(2)点(2)B m -，在双曲线3y x=上， 3322m m ∴-==-，． ∴点B 的坐标为322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ……231332 1.2a b a a b b +=⎧⎧=⎪⎪∴∴⎨⎨-+=-⎪⎪=-⎩⎩，，∴一次函数的解析式为213y x =-．(3)C D ，两点在直线213y x =-上，C D ∴，的坐标分别是30(01)2C D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，． ∴312OC OD ==，，DC =．过点C 作CP AB ⊥，垂足为点C ．PDC CDO △∽△，213.4PD DC DC PD DC OD OD ∴===， 又139144OP DP OD =-=-=， P ∴点坐标为904⎛⎫⎪⎝⎭，．3．(1)解方程2650x x -+=，得125,1x x ==．由m ＜n ，知m =1，n =5．∴A (1，0)，B (0，5)． ………………………1分 ∴10,5.b c c -++=⎧⎨=⎩ 解之，得4,5.b c =-⎧⎨=⎩所求抛物线的解析式为24 5.y x x =--+ ……3分(2)由2450,x x --+=得125, 1.x x =-=故C 的坐标为(-5，0)． ………4分由顶点坐标公式，得 D (-2，9)．………………………………………………5分 过D 作DE ⊥x 轴于E ，易得E (-2，0)．∴BCD CDE OBC OBDE S S S S ∆∆∆=+-梯形159139255222+=⨯⨯+⨯-⨯⨯=15．…………………………………………7分 (注：延长DB 交x 轴于F ,由BCD CFD CFB S =S -S ∆∆∆也可求得) (3)设P (a ，0)，则H (a ，245a a --+)．直线BC 把△PCH 分成面积相等的两部分，须且只须BC 等分线段PH ，亦即PH 的中点第25题图(245,2a a a --+)在直线BC 上．易得直线BC 方程为： 5.y x =+∴2455.2a a a --+=+ 解之得121,5a a =-=-(舍去)．故所求P 点坐标为(-1，0)． 4．解：（1）（6，4）；（2,3t t ）.（其中写对B 点得1分）（2）∵S △OMP =12×OM ×23t ， ∴S =12×（6 -t ）×23t =213t -+2t ．＝21(3)33t --+（0 < t <6）．∴当3t =时，S 有最大值．（3）存在．由（2）得：当S 有最大值时，点M 、N 的坐标分别为：M （3，0），N （3，4）， 则直线ON 的函数关系式为：43y x =． 设点T 的坐标为（0，b ），则直线MT 的函数关系式为：3by x b =-+， 解方程组433y x b y x b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得3444b x bb y b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩∴直线ON 与MT 的交点R 的坐标为34(,)44b bb b++．（备用图）。