中考数学压轴题(几何综合题)1、如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=4厘米,BC=6厘米,D是BC的中点.点E从A 出发,以a厘米/秒(a>0)的速度沿AC匀速向点C运动,点F同时以1厘米/秒的速度从C出发,沿CB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,过点E作AC的垂线,交AD于点G,连接EF,FG.设它们运动的时间为t秒(t>0).(1)当t=2时,△ECF∽△BCA,求a的值;(2)当a=12时,以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形,求t的值;(3)当a=2时,是否存在某个时间,使△DFG是直角三角形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.解:(1)∵t=2,∴CF=2厘米,AE=2a厘米,∴EC=(4-2a ) 厘米.∵△ECF∽△BCA.∴EC CF CB AC=∴42264a-=.∴12a=.(2)由题意,AE=12t厘米,CD=3厘米,CF=t厘米.∵EG∥CD,∴△AEG∽△ACD.∴EG AECD AC=,1234tEG=.∴EG=38t.∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形,∴EG=DF.当0≤t<3时,338t t=-,2411t=.当3<t≤6时,338t t=-,245t=.综上2411t=或245(3)由题意,AE=2t厘米,CF=t厘米,可得:△AEG∽△ACDAG=52t厘米,EG=32t,DF=3-t厘米,DG=5-52t(厘米).GD BAC FE(第27题)D BAC备用图图1若∠GFD =90°,则EG =CF ,32t =t .∴t =0,舍去.若∠FGD =90°,则△ACD ∽△FGD .∴AD FD CD GD =,535352t t -=-.∴t =3219. 综上:t =3219,△DFG 是直角三角形. 2、如图,矩形ABCD ,AB =2,BC =10,点E 为AD 上一点,且AE =AB ,点F 从点E 出发,向终点D 运动,速度为1cm/s ,以BF 为斜边在BF 上方作等腰直角△BFG ,以BG ,BF 为邻边作□BFHG ,连接AG ,设点F 的运动时间为t 秒.(1)试说明:△ABG ∽△EBF ;(2)当点H 落在直线CD 上时,求t 的值;(3)点F 从E 运动到D 的过程中,直接写出HC 的最小值.备用图 解:(1)根据SAS 证明△ABG ∽△EBF ; (2)作GI ⊥AD 于点I ,HJ ⊥AD 于点J ,显然EF =t , 由(1)之AGEF,且∠BAG =∠BEF =135°,从而∠GAE =45°, 则AI =GI =12t , 由△GIF ≌△FJH ,得GI =FJ =12t , 则AJ =AE +EF +FJ =2+t +12t =2+32t , 当点H 在直线CD 上时,AJ =AD =10,求得t =163; (3)HC的最小值为.3、如图,△ABC 中,⊙O 经过A 、B 两点,且交AC 于点D ,连接BD ,∠DBC =∠BAC . (1)证明BC 与⊙O 相切;(2)若⊙O 的半径为6,∠BAC =30°,求图中阴影部分的面积.证明:(1)连接BO并延长交⊙O于点E,连接DE.∵BE是⊙O的直径,∴∠BDE=90°,∴∠EBD+∠E=90°,∵∠DBC=∠DAB,∠DAB=∠E,∴∠EBD+∠DBC=90°,即OB⊥BC,又∵点B在⊙O上,∴BC是⊙O的切线;(2)连接OD,∵∠BOD=2∠A=60°,OB=OD,∴△BOD是边长为6的等边三角形,∴S△BOD=×62=9,∵S扇形DOB==6π,∴S阴影=S扇形DOB﹣S△BOD=6π﹣9.4、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D.(1)如图1,点E,F在AB,AC上,且∠EDF=90°.求证:BE=AF;(2)点M,N分别在直线AD,AC上,且∠BMN=90°.①如图2,当点M在AD的延长线上时,求证:AB+AN=AM;②当点M在点A,D之间,且∠AMN=30°时,已知AB=2,直接写出线段AM的长.解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°,∵AD⊥BC,∴BD=CD,∠BAD=∠CAD=45°,∴∠CAD=∠B,AD=BD,∵∠EDF=∠ADC=90°,∴∠BDE=∠ADF,∴△BDE≌△ADF(ASA),∴BE=AF;(2)①如图1,过点M作MP⊥AM,交AB的延长线于点P,∴∠AMP=90°,∵∠PAM=45°,∴∠P=∠PAM=45°,∴AM=PM,∵∠BMN=∠AMP=90°,∴∠BMP=∠AMN,∵∠DAC=∠P=45°,∴△AMN≌△PMB(ASA),∴AN=PB,∴AP=AB+BP=AB+AN,在Rt△AMP中,∠AMP=90°,AM=MP,∴AP=AM,∴AB+AN=AM;②在Rt△ABD中,AD=BD=AB=,∵∠BMN=90°,∠AMN=30°,∴∠BMD=90°﹣30°=60°,在Rt△BDM中,DM==,∴AM=AD﹣DM=﹣.5、在△ABC中,∠ABC=45°,BC=4,tan C=3,AH⊥BC于点H,点D在AH上,且DH=CH,连接BD.(1)如图1,将△BHD绕点H旋转,得到△EHF(点B、D分别与点E、F对应),连接AE,当点F落在AC上时(F不与C重合),求AE的长;(2)如图2,△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到的,射线CF与AE相交于点G,连接GH,试探究线段GH与EF之间满足的等量关系,并说明理由.解:(1)如图,在Rt△AHC中,∵tan C=3,∴=3,设CH=x,∴BH=AH=3x,∵BC=4,∴3x+x=4,∴x=1,∴AH=3,CH=1,由旋转知,∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°,EH=AH=3,CH=DH=FH,∴∠EHF+∠AHF=∠AHC+∠AHF,∴∠EHA=∠FHC,,∴△EHA∽△FHC,∴∠EAH=∠C,∴tan∠EAH=tan C=3,过点H作HP⊥AE,∴HP=3AP,AE=2AP,在Rt△AHP中,AP2+HP2=AH2,∴AP2+(3AP)2=9,∴AP=,∴AE=;(2)如图1,∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到,∴HD=HF,∠AHF=30°∴∠CHF=90°+30°=120°,由(1)有,△AEH和△FHC都为等腰三角形,∴∠GAH=∠HCG=30°,∴CG⊥AE,∴点C,H,G,A四点共圆,∴∠CGH=∠CAH,设CG与AH交于点Q,∵∠AQC=∠GQH,∴△AQC∽△GQH,∴,∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到,∴EF=BD,由(1)知,BD=AC,∴EF=AC∴=2.即:EF=2HG6、(1)如图①,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D是AB边上任意一点,则CD的最小值为.(2)如图②,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M、点N分别在BD、BC上,求CM+MN 的最小值.(3)如图③,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是AB边上一点,且AE=2,点F 是BC边上的任意一点,把△BEF沿EF翻折,点B的对应点为G,连接AG、CG,四边形AGCD的面积是否存在最小值,若存在,求这个最小值及此时BF的长度.若不存在,请说明理由.解:(1)如图①,过点C作CD⊥AB于D,根据点到直线的距离垂线段最小,此时CD 最小,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,根据勾股定理得,AB=5,∵AC×BC=AB×CD,∴CD==,故答案为;(2)如图②,作出点C关于BD的对称点E,过点E作EN⊥BC于N,交BD于M,连接CM,此时CM+MN=EN最小;∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,CD=AB=3,根据勾股定理得,BD=5,∵CE⊥BC,∴BD×CF=BC×CD,∴CF==,由对称得,CE=2CF=,在Rt△BCF中,cos∠BCF==,∴sin∠BCF=,在Rt△CEN中,EN=CE sin∠BCE==;即:CM+MN的最小值为;(3)如图3,∵四边形ABCD 是矩形,∴CD =AB =3,AD =BC =4,∠ABC =∠D =90°,根据勾股定理得,AC =5, ∵AB =3,AE =2,∴点F 在BC 上的任何位置时,点G 始终在AC 的下方, 设点G 到AC 的距离为h ,∵S 四边形AGCD =S △ACD +S △ACG =AD ×CD +AC ×h =×4×3+×5×h =h +6, ∴要四边形AGCD 的面积最小,即:h 最小,∵点G 是以点E 为圆心,BE =1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点, ∴EG ⊥AC 时,h 最小,由折叠知∠EGF =∠ABC =90°, 延长EG 交AC 于H ,则EH ⊥AC , 在Rt △ABC 中,sin ∠BAC ==,在Rt △AEH 中,AE =2,sin ∠BAC ==,∴EH =AE =,∴h =EH ﹣EG =﹣1=, ∴S 四边形AGCD 最小=h +6=×+6=,过点F 作FM ⊥AC 于M , ∵EH ⊥FG ,EH ⊥AC , ∴四边形FGHM 是矩形, ∴FM =GH =∵∠FCM =∠ACB ,∠CMF =CBA =90°, ∴△CMF ∽△CBA , ∴,∴,∴CF =1∴BF=BC﹣CF=4﹣1=3.7、如图,AB是⊙O的直径,=,E是OB的中点,连接CE并延长到点F,使EF=CE.连接AF交⊙O于点D,连接BD,BF.(1)求证:直线BF是⊙O的切线;(2)若OB=2,求BD的长.证明:(1)连接OC,∵AB是⊙O的直径,=,∴∠BOC=90°,∵E是OB的中点,∴OE=BE,在△OCE和△BFE中,∵,∴△OCE≌△BFE(SAS),∴∠OBF=∠COE=90°,∴直线BF是⊙O的切线;解:(2)∵OB=OC=2,由(1)得:△OCE≌△BFE,∴BF=OC=2,∴AF===2,∴S=,△ABF4×2=2•BD,∴BD=.8、如图,在Rt△ABO中,∠BAO=90°,AO=AB,BO=8,点A的坐标(﹣8,0),点C在线段AO上以每秒2个单位长度的速度由A向O运动,运动时间为t秒,连接BC,过点A作AD⊥BC,垂足为点E,分别交BO于点F,交y轴于点D.(1)用t表示点D的坐标;(2)如图1,连接CF,当t=2时,求证:∠FCO=∠BCA;(3)如图2,当BC平分∠ABO时,求t的值.解:(1)∵AD⊥BC,∴∠AEB=90°=∠BAC=∠AOD,∴∠ABC+∠BAE=90°,∠BAE+∠OAD=90°,∴∠ABC=∠OAD,∴∠ABC=∠OAD,∵AB=OA,∴△ABC≌△OAD(ASA),∴OD=AC=2t,∴D(0,2t).故答案为(0,2t)(2)如图1中,∵AB=AO,∠BAO=90°,OB=8,∴AB=AO=8,∵t=2,∴AC=OD=4,∴OC=OD=4,∵OF=OF,∠FOD=∠FOC,∴△FOD≌△FOC(SAS),∴∠FCO=∠FDC,∵△ABC≌△OAD,∴∠ACB=∠ADO,∴∠FCO=∠ACB.(3)如图2中,在AB上取一点K,使得AK=AC,连接CK.设AK=AC=m,则CK =m.∵CB平分∠ABO,∴∠ABC=22.5°,∵∠AKC=45°=∠ABC+∠KCB,∴∠KBC=∠KCB=22.5°,∴KB=KC=m,∴m+m=8,∴m=8(﹣1),∴t==4(﹣1).9、问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论.【类比引申】如图(2),四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足关系时,仍有EF=BE+FD.【探究应用】如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,∠EAF=75°且AE⊥AD,DF=40(﹣1)米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据:≈1.41,≈1.73)解:【发现证明】如图(1),∵△ADG≌△ABE,∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,又∵∠EAF=45°,即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°,∴∠GAF=∠FAE,在△GAF和△FAE中,AG=AE,∠GAF=∠FAE,AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS).∴GF=EF.又∵DG=BE,∴GF=BE+DF,∴BE+DF=EF.【类比引申】∠BAD=2∠EAF.理由如下:如图(2),延长CB至M,使BM=DF,连接AM,∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABM=180°,∴∠D=∠ABM,在△ABM和△ADF中,,∴△ABM≌△ADF(SAS),∴AF=AM,∠DAF=∠BAM,∵∠BAD=2∠EAF,∴∠DAF+∠BAE=∠EAF,∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF,在△FAE和△MAE中,,∴△FAE≌△MAE(SAS),∴EF=EM=BE+BM=BE+DF,即EF=BE+DF.故答案是:∠BAD=2∠EAF.【探究应用】如图3,把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG,连接AF.∵∠BAD=150°,∠DAE=90°,∴∠BAE=60°.又∵∠B=60°,∴△ABE是等边三角形,∴BE=AB=80米.根据旋转的性质得到:∠ADG=∠B=60°,又∵∠ADF=120°,∴∠GDF=180°,即点G在CD的延长线上.易得,△ADG≌△ABE,∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,又∵∠EAG=∠BAD=150°,∠FAE=75°∴∠GAF=∠FAE,在△GAF和△FAE中,AG=AE,∠GAF=∠FAE,AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS).∴GF=EF.又∵DG=BE,∴GF=BE+DF,∴EF=BE+DF=80+40(﹣1)≈109(米),即这条道路EF的长约为109米.10、已知如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC,点D在AB上,DE⊥AB交BC于E,点F是AE的中点(1)写出线段FD与线段FC的关系并证明;(2)如图2,将△BDE绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°),其它条件不变,线段FD与线段FC的关系是否变化,写出你的结论并证明;(3)将△BDE绕点B逆时针旋转一周,如果BC=4,BE=2,直接写出线段BF的范围.解:(1)结论:FD=FC,DF⊥CF.理由:如图1中,∵∠ADE=∠ACE=90°,AF=FE,∴DF=AF=EF=CF,∴∠FAD=∠FDA,∠FAC=∠FCA,∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD,∠EFC=∠FAC+∠FCA=2∠FAC,∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠BAC=45°,∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2(∠FAD+∠FAC)=90°,∴DF=FC,DF⊥FC.(2)结论不变.理由:如图2中,延长AC到M使得CM=CA,延长ED到N,使得DN=DE,连接BN、BM.EM、AN,延长ME交AN于H,交AB于O.∵BC⊥AM,AC=CM,∴BA=BM,同法BE=BN,∵∠ABM=∠EBN=90°,∴∠NBA=∠EBM,∴△ABN≌△MBE,∴AN=EM,∴∠BAN=∠BME,∵AF=FE,AC=CM,∴CF=EM,FC∥EM,同法FD=AN,FD∥AN,∴FD=FC,∵∠BME+∠BOM=90°,∠BOM=∠AOH,∴∠BAN+∠AOH=90°,∴∠AHO=90°,∴AN⊥MH,FD⊥FC.(3)如图3中,当点E落在AB上时,BF的长最大,最大值=3如图4中,当点E落在AB的延长线上时,BF的值最小,最小值=.综上所述,≤BF.11.如图,OA和OB是⊙O的半径,OB=2,OA⊥OB,P是OA上任一点,BP的延长线交⊙O于点Q,过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R.(Ⅰ)求证:RP=RQ;(Ⅱ)若OP=PQ,求PQ的长.解:(1)连接OQ,∵QR是切线,∴∠OQR=90°,∴∠BQO+∠PQR=90°,∵OA⊥OB,∴∠BOA=90°,∴∠B+∠BPO=90°,又∠BPO=∠RPQ,∴∠B+∠RPQ=90°,由OB=OQ得:∠B=∠BQO,∴∠RPQ=∠RQP,∴PR=QR;(2)∵OP=PQ,∴∠POQ=∠PQO,又OB=OQ,∴∠B=∠PQO,设∠B=∠PQO=∠POQ=x,又∠BOP=90°,根据三角形内角和定理得:∠B+∠BOP+∠POQ+∠PQO=180°,即x+90°+x+x=180°,解得:x=30°,即∠B=30°(2分)∴∠RPQ=∠BPO=60°,又PR=QR,∴△PQR为等边三角形,即PQ=QR=PR,在直角三角形OQR中,OQ=OB=2,根据锐角三角函数定义得:.(2分)12、如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且点C是的中点,过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)连接BC,若AB=5,BC=3,求线段AE的长.证明:(1)连接OC,∵OA=OC,∴∠OCA=∠BAC,∵点C是的中点,∴∠EAC=∠BAC,∴∠EAC=∠OCA,∴OC∥AE,∵AE⊥EF,∴OC⊥EF,即EF是⊙O的切线;解:(2)∵AB为⊙O的直径,∴∠BCA=90°,∴AC==4,∵∠EAC=∠BAC,∠AEC=∠ACB=90°,∴△AEC∽△ACB,∴=,∴AE==.13、(1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是;位置关系是.(2)类比思考:如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.(3)深入研究:如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其它条件不变,试判断△GMN的形状,并给与证明.解:(1)连接BE,CD相交于H,∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE,∴△ACD≌△AEB(SAS),∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°,∴∠BHD=90°,∴CD⊥BE,∵点M,G分别是BD,BC的中点,∴MG CD,同理:NG BE,∴MG=NG,MG⊥NG,故答案为:MG=NG,MG⊥NG;(2)连接CD,BE相交于点H,同(1)的方法得,MG=NG,MG⊥NG;(3)连接EB,DC,延长线相交于H,同(1)的方法得,MG=NG,同(1)的方法得,△ABE≌△ADC,∴∠AEB=∠ACD,∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°,∴∠DHE=90°,同(1)的方法得,MG⊥NG,∴△MGN是等腰直角三角形.14、小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考:(1)他认为该定理有逆定理,即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半,那么这个三角形是直角三角形”应该成立,你能帮小儒证明一下吗?如图①,在△ABC 中,AD是BC边上的中线,若AD=BD=CD,求证:∠BAC=90°.(2)接下来,小儒又遇到一个问题:如图②,已知矩形ABCD,如果在矩形外存在一点E,使得AE⊥CE,求证:BE⊥DE,请你作出证明,可以直接用到第(1)问的结论.(3)在第(2)问的条件下,如果△AED恰好是等边三角形,直接用等式表示出此时矩形的两条邻边AB与BC的数量关系.解:(1)∵AD=BD,∴∠B=∠BAD,∵AD=CD,∴∠C=∠CAD,在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°,∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°∴∠B+∠C=90°,∴∠BAC=90°,(2)如图②,连接AC,BD,OE,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD=AC=BD,∵AE⊥CE,∴∠AEC=90°,∴OE=AC,∴OE=BD,∴∠BED=90°,∴BE⊥DE;(3)如图3,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠BAD=90°,∵△ADE是等边三角形,∴AE=AD=BC,∠DAE=∠AED=60°,由(2)知,∠BED=90°,∴∠BAE=∠BEA=30°,过点B作BF⊥AE于F,∴AE=2AF,在Rt△ABF中,∠BAE=30°,∴AB=2BF,AF=BF,∴AE=2BF,∴AE=AB,∴BC=AB.15、如图1,四边形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,点P为DC上一点,且AP=AB,分别过点A和点C作直线BP的垂线,垂足为点E和点F.(1)证明:△ABE∽△BCF;(2)若=,求的值;(3)如图2,若AB=BC,设∠DAP的平分线AG交直线BP于G.当CF=1,=时,求线段AG的长.证明:(1)∵AB⊥BC,∴∠ABE+∠FBC=90°又∵CF⊥BF,∴∠BCF+∠FBC=90°∴∠ABE=∠BCF又∵∠AEB=∠BFC=90°,∴△ABE∽△BCF(2)∵△ABE∽△BCF,∴==又∵AP=AB,AE⊥BF,∴BP=2BE∴==(3)如图,延长AD与BG的延长线交于H点∵AD∥BC,∴△DPH∽△CPB∴==∵AB=BC,由(1)可知△ABE≌△BCF∴CF=BE=EP=1,∴BP=2,代入上式可得HP=,HE=1+=∵△ABE∽△HAE,∴=,=,∴AE=∵AP=AB,AE⊥BF,∴AE平分∠BAP又∵AG平分∠DAP,∴∠EAG=∠BAH=45°,∴△AEG是等腰直角三角形.∴AG=AE=316、已知:,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.解:(1)①如图,作AE⊥PB于点E,∵△APE中,∠APE=45°,PA=,∴AE=PE=×=1,∵PB=4,∴BE=PB﹣PE=3,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∴AB==.②解法一:如图,因为四边形ABCD为正方形,可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB,可得△PAD≌△P'AB,PD=P'B,PA=P'A.∴∠PAP'=90°,∠APP'=45°,∠P'PB=90°∴PP′=PA=2,∴PD=P′B===;解法二:如图,过点P作AB的平行线,与DA的延长线交于F,与DA的延长线交PB于G.在Rt△AEG中,可得AG===,EG=,PG=PE﹣EG=.在Rt△PFG中,可得PF=PG•cos∠FPG=PG•cos∠ABE=,FG=.在Rt△PDF中,可得,PD===.(2)如图所示,将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB,PD的最大值即为P'B的最大值,∵△P'PB中,P'B<PP'+PB,PP′=PA=2,PB=4,且P、D两点落在直线AB的两侧,∴当P'、P、B三点共线时,P'B取得最大值(如图)此时P'B=PP'+PB=6,即P'B的最大值为6.此时∠APB=180°﹣∠APP'=135度.17、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.特例探索(1)①如图1,当∠ABE=45°,c=2时,a=,b=;②如图2,当∠ABE=30°,c=4时,求a和b的值.归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.(3)利用(2)中的结论,解答下列问题:在边长为3的菱形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为线段AO,DO 的中点,连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,如图4所示,求MG2+MH2的值.解:如图1、2、3、4,连接EF,则EF是△ABC的中位线,则EF=AB,EF∥AB,∴△EFP∽△BPA,∴…①,(1)在图1中,PB=AB sin45°=2=PA,由①得:PF=1,b=2BF=2=2=a;②同理可得:a=2,b=2;(2)关系为:a2+b2=5c2,证明:如图3,设:∠EAB=α,则:PB=AB cosα=c cosα,PA=c sinα,由①得:PF=PA=c sinα,PE=c sinα,则a2+b2=(2AE)2+(2BF)2=c2×5[(sinα)2+(cosα)2]=5c2;(3)∵AE=OE=EC,AG∥BC,∴AG=BC=AD,则EF=BC=AD,同理HG=AD,∴GH=AD,∴GH=EF,∵GH∥BC,EF∥BC,∴HG∥EF,∴MG=ME=MB,同理:MH=MC,则MG2+MH2=(MB2+MC2)=×5×BC2=5.18、(1)如图1,已知EK垂直平分BC,垂足为D,AB与EK相交于点F,连接CF.求证:∠AFE=∠CFD.(2)如图2,在Rt△GMN中,∠M=90°,P为MN的中点.①用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹,不要求写作法);②在①的条件下,如果∠G=60°,那么Q是GN的中点吗?为什么?.证明:(1)如图1中,∵EK垂直平分线段BC,∴FC=FB,∴∠CFD=∠BFD,∵∠BFD=∠AFE,∴∠AFE=∠CFD.(2)①作点P关于GN的对称点P′,连接P′M交GN于Q,连接PQ,点Q即为所求.②结论:Q是GN的中点.理由:设PP′交GN于K.∵∠G=60°,∠GMN=90°,∴∠N=30°,∵PK⊥KN,∴PK=KP′=PN,∴PP′=PN=PM , ∴∠P′=∠PMP′,∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°, ∴∠PMP′=30°,∴∠N=∠QMN=30°,∠G=∠GMQ=60°, ∴QM=QN ,QM=QG , ∴QG=QN ,∴Q 是GN 的中点.19、如图,四边形ABCD 是正方形,点E 是平面内异于点A 的任意一点,以线段AE 为边作正方形AEFG ,连接EB ,GD .(1)如图1,求证EB =GD ;(2)如图2,若点E 在线段DG 上,AB =5,AG =32,求BE 的长. 解:(1)∵四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形, ∵AB =AD ,AG =AE ,∠BAD =∠GAE =90°. ∴∠BAE =∠DAG .∵AB =AD ,AG =AE ,∠BAE =∠DAG , ∴△ABG ≌△CBE (SAS ). ∴EB =GD ;(2)作AH ⊥DG 于H .∵四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形, ∴AD =AB =5,AE =AG =32. ∴EG =6,AH =GH =3. ∴DH =22AD AH -=4. ∵BE =DG =DH +GH =7.20、如图,菱形ABCD 中,对角线BD AC ,相交于点O ,cm BD cm AC 16,12==,动点N 从点D 出发,沿线段DB 以s cm /2的速度向点B 运动,同时动点M 从点B 出发,沿线段BA 以s cm /1的速度向点A 运动,当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止.设运动时间为)0)((>t s t ,以点M 为圆心,MB 为半径的⊙M 与射线BA ,线段BD 分别交于点F E ,,连接EN .FGCBD A E图2FGCBD A E图1FGCBD AEH(1)求BF 的长(用含有t 的代数式表示),并求出t 的取值范围; (2)当t 为何值时,线段EN 与⊙M 相切?(3)若⊙M 与线段EN 只有一个公共点,求t 的取值范围. 解:(1)连接MF .∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB=AD ,AC ⊥BD ,OA=OC=6,OB=OD=8,在Rt △AOB 中,226+8=10,∵MB=MF ,AB=AD ,∴∠ABD=∠ADB=∠MFB , ∴MF ∥AD , ∴BM BF BA BD =,1016t BF=∴BF=85t (0<t ≤8) (2)当线段EN 与⊙M 相切时,易知△BEN ∽△BOA , ∴BE BNOB AB =,2162t 810t -=, ∴t=932. ∴t=932s 时,线段EN 与⊙M 相切 (3)①由题意可知:当0<t ≤932时,⊙M 与线段EN 只有一个公共点 ②当F 与N 重合时,则有85t+2t=16,解得t=409, 当8940<<t 时,⊙M 与线段EN 只有一个公共点. 综上所述,当0<t ≤932或409<t <8时,⊙M 与线段EN 只有一个公共点。