立吗？作出判断不必说明理由 C ,连接AF 和BE.北师大版七年级下三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1. ( 1)如图7,点0是线段AD 的中点，分别以 AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角 形OCD,连结AC和BD,相交于点 E,连结BC.求/ AEB 的大小；(2)如图8 ,△ OAB 固定不动，保持△ OCD 的形状和大小不变，将△ OCD 绕着点 0旋转(△ OAB 和厶OCD 不 能重叠)，求/ AEB 的大小.同类变式：如图a ,A ABC 和厶CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点⑴线段AF 和BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论；(2)将图a 中的△ CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图 b, (1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由;⑶若将图a 中的△ ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可),(1)中的结论还成3.如图9,若厶ABC 和厶ADE 为等边三角形,CD BE , △ AMN 是等边三角形.(1)当把△ ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由；(2)当厶ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△ AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由.济南初中数学压轴姜姜老师M , N 分别为EB,CD 的中点，易证:图9 图10 图114.如图,(1) (2) MAE图①图②四边形 ABCD^四边形 AEFG^为正方形，连接 BG 与 DE 相交于点H.证明：△ ABG 也△ ADE ; 试猜想 BHD 的度数，并说明理由;将图中正方形 ABCD^点A 逆时针旋转(0°<BAE v 180°),设厶ABE 的面积同类变式：已知，如图①所示，在厶ABC 和厶ADE 中，AB AC , AD AE , BAC DAE ，且点B , A, D 在一条直线上，连接 BE , CD ,M , N 分别为BE , CD 的中点.(1)求证：① BE CD •，②AM AN .(2)在图①的基础上，将 △ ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立为S , △ ADG 的面积为S 2，判断S 与S 2的大小关系，并给予证明.5•已知：如图， △ ABC 是等边三角形，过 AB 边上的点D 作DG // BC ,交AC 于点G ,在GD 的延长线上取 点 E ,使 DEDB ,连接 AE , CD . (1)求证：△ AGE DAC ；(2) 过点E 作EF // DC ,交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断△ AEF 是怎样的三角形，试证明你的结论.二、 垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容) 考点1 ：利用垂直证明角相等1. 如图，△ ABC 中，/ ACB = 90 °, AC =BC, AE 是BC 边上的中线，过C 作CF 丄AE ，垂足为F ，过B 作BD 丄BC 交CF 的延长线于 D.CC NDABDACEBFBCA ，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给2.(西安中考)如图 ⑴，已知△ ABC 中,/ BAC=90, AB=AC,AE 是过A 的一条直线，且B 、C在 A E 的异侧,BD 丄AE 于D, CE 丄AE 于E 。
图(1)图(2) 图(3)(1)试说明：BD=DE+CE.⑵若直线AE 绕A 点旋转到图(2)位置时(BD<CE),其余条件不变，问BD 与 DECE 的关系如何？写结论，并说明理 由。
⑶若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变，问BD 与DE CE 的关系如何？写出结论，可不 说明理由。
3.直线CD 经过 BCA 的顶点C, CA=CB E F 分别是直线CD 上两点，且 BEC CFA.(1)若直线CD 经过 BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图 1，若 BCA 90°,90°，则 EF __________ BE AF (填“ ”，“ ”或“ ”号)；②如图2，若0° BCA 180°，若使①中的结论仍然成立，贝U 与 BCA 应满足的关系是 ____________________________(2)如图3,若直线CD 经过 BCA 的外部, 予证明.于点F ,连接CF (1)求证：CD=BF⑵求证：AD L CF;⑶连接AF,试判断△ ACF 的形状.拓展巩固：如图9所示，△ ABC 是等腰直角三角形，/ ACB = 90°, AD 是BC 边上的中线，过 C 作AD 的垂线，交AB 于点E ,交AD 于点F ,求证：/ ADC =Z BDE.3.如图1，已知正方形 ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接 AE , GC .(1)试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论;(2)将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使 E 点落在BC 边上,如图2,连接AE 和GC .你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由考点2 :利用角相等证明垂直1.已知BE CF 是厶ABC 的高，且BP=AC CQ=AB 试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系2.如图，在等腰 Rt △ ABC 中，/ ACE =90°, D 为BC 的中点，DEL AB 垂足为E ,过点B 作BF// AC 交DE 的延长线4.如图1, ABC 的边BC 在直线I 上，AC BC,且AC BC, EFP 的边FP 也 在直线I 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；(2)将 EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接AP, BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；B(3)将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成三、等腰三角形（中考重难点之一） 考点1:等腰三角形性质的应用1.如图，ABC 中，AB AC , BAC 90，D 是 BC 中点，ED 证：BE AF ， AE CF .FD , ED 与AB 交于E , FD 与AC 交于F .求2. 两个全等的含30°, 60°角的三角板ADE 和三角板ABC ,如图所示放置, 取BD 的中点M ,连结ME,MC •试判断 EMC 的形状，并说明理由.E,AC 三点在一条直线上, 连结BD ,不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，S DEF , S CEF , S ABC是BC 边的中点，连结 DH 与BE 相交于点立，给出证明；若不成立，请说明理由压轴题拓展：（三线合一性质的应用） 已知Rt ABC 中，AC BC , C 90 , D 为AB 边的中点， EDF 90 ,EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交 AC 、CB （或它们的延长线）于 E 、F .1当 EDF 绕D 点旋转到DE AC 于E 时（如图1）,易证S DEF S CEF -S ABC •当 EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 2又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.3.已知：如图，△ ABC 中，/ ABC=45 ° , CD 丄AB 于D, BE 平分/ ABC,且BE X AC 于E,与 CD 相交于点 F, HG 。
（1） BF=AC （2） CE=^BF ⑶CE 与BC 的大小关系如何。
CF B图2图3CBM⑵如图14—2，当点E 在AB 边上的任意 位置时，请你在 AD 边上找到一点 N,使得 NE=BF ，进而猜想此时 DE 与EF 有怎样的数 量关系并证明0 MS14-12. 在 Rt A ABC 中，AC = BC, / ACB= 90 ° D 是 AC 的中点，DG 丄 AC 交 AB 于点 G. （1）如图1, E 为线段DC 上任意一点，点 F 在线段DG 上，且DE=DF,连结EF 与 CF, 过点F 作FH 丄FC,交直线AB 于点H . ①求证：DG=DC②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明.（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点, 占八F 在射线DG 上，（1）中的其他条件不变，借助图 2画出图形。
在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在 （1）中得出的结论是否发生改变. （本小题直接写出结论，不必证明）考点2 :等腰直角三角形（45度的联想）1.如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边 经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A, B 重合），另一条直角边与/ 的平分线BF 相交于点F⑴如图14—1，当点E 在AB 边的中点位置时:通过测量DE, EF 的长度，猜想 DE 与EF 满足的数量关系是 连接点E 与AD 边的中点N,猜想NE 与BF 满足的数量关系是请证明你的上述两猜想同类变式：（期末考试原题哦）已知：△ ABC 为等边三角形, M 是BC 延长线上一点, 直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60o 角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、（1）如图（1）当点E 在BC 边得中点位置时C 重合），斜边与/ ACM 的平分线CF 交于点F①猜想AE 与EF 满足的数量关系是②连结点 E 与AE 边得中点N,猜想EE 和CF 满足的数量关系 是 ③请证明你的上述猜想；(2)如图(2)当点E 在EC 边 得任意位置时，AE 和 EF 有怎样的 数量关系，并说明你的理由？四、角平分线问题1.如图：E 在线段 CD 上，EA EB 分别平分/ DAB 和/ CBA, / AEB=90 ,设AD= X ,BC= y ，且 x,y 满足 X 2y 2 6x 8y 25(1)求AD 和BC 的长；(2)你认为AD 和BC 还有什么关系？并验证你的结论; (3)你能求出AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由2.如图①，0P 是/ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以0P 所在直线为对称轴的全等三角形。