微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。

(A) 若a x g x f x x =→)()(lim或∞，则a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞(B) 若a x g x f x x =''→)()(lim0或∞，则a x g x f x x =→)()(lim 0或∞ (C) 若)()(limx g x f x x ''→不存在，则)()(lim 0x g x f x x →不存在(D) 以上都不对6. 曲线223)(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。

(A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2)2(14--=x x y （ ）。

(A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线，又有垂直渐近线8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有(A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值9. 若ƒ(x )的导函数是2-x ，则ƒ(x )有一个原函数为 ( ) 。

x(A) x ln ； (B) x ln -； (C) 1--x ；(D) 3--x 三．计算题(共36分)1． 求极限xxx x --+→11lim（6分）2． 求极限xx x 1)(ln lim +∞→ （6分）3． 设0001sin 2sin )(>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x x x b x x ax x x f ，求b a ,的值，使)(x f 在(-∞，+∞)上连续。

(6分) 4． 设1+=+xy eyx ，求y '及0='x y （6分）5． 求不定积分dx xe x ⎰-2（6分）6． 求不定积分.42dx x ⎰-（6分）四．利用导数知识列表分析函数211x y -=的几何性质，求渐近线，并作图。

(14分)五．设)(x f 在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且1)21(,0)1()0(===f f f ，试证：(1) 至少存在一点)1,21(∈ξ，使ξξ=)(f ；(2) 至少存在一点),0(ξη∈，使1)(='ηf ；(3) 对任意实数λ ，必存在),0(0ξ∈x ，使得1])([)(000=--'x x f x f λ。

(12分)微积分试题(B 卷)一. 填空题 (每空3分,共18分) 10.()=+'⎰dx b x f ba. 11.=⎰∞+-02dx e x .12. 关于级数有如下结论：① 若级数()01≠∑∞=n n n u u 收敛，则∑∞=11n nu 发散. ② 若级数()01≠∑∞=n n n u u 发散，则∑∞=11n nu 收敛. ③ 若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都发散，则∑∞=+1)(n n nv u必发散.④ 若级数∑∞=1n nu收敛，∑∞=1n nv发散，则∑∞=±1)(n n nv u必发散.⑤ 级数∑∞=1n nku（k 为任意常数）与级数∑∞=1n nu的敛散性相同.写出正确．．结论的序号 . 13. 设二元函数()y x xe z y x +++=+1ln )1(，则=)0,1(dz .14. 若D 是由x 轴、y 轴及2x + y –2 = 0围成的区域，则=⎰⎰dy dx D.15. 微分方程0=+'y y x 满足初始条件3)1(=y 的特解是 . 二. 单项选择题 (每小题3分,共24分) 10. 设函数⎰+-=xdt t t x f 0)2)(1()(，则)(x f 在区间[-3，2]上的最大值为（ ）.(A) 32- (B) 310 (C) 1 (D) 4 11. 设σσd y x I d y x I DD⎰⎰⎰⎰+=+=)cos(,cos 222221,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(，其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则有（ ）.(A)321I I I >> (B) 123I I I >> (C) 312I I I >> (D) 213I I I >>12. 设 3,2,1,0=>n u n ，若∑∞=1n nu发散，∑∞=--11)1(n n n u 收敛，则下列结论正确的是( ).(A)∑∞=-112n n u收敛，∑∞=12n nu发散 (B)∑∞=12n nu收敛，∑∞=-112n n u发散(C)∑∞=-+1212)(n n n u u收敛 (D) ∑∞=--1212)(n n n u u 收敛13. 函数),(y x f 在点),(y x P 的某一邻域内有连续的偏导数，是),(y x f 在该点可微的( )条件.(A) 充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）既非充分又非必要 14. 下列微分方程中，不属于．．．一阶线性微分方程的为（ ）. (A) xxx y y x ln ln cos =-' (B) )1(ln 3ln +=+'x x y x y x ，(C) x y y x y 2)2(=-'- (D) 02)1(2=+-'-xy y x15. 设级数∑∞=1n na绝对收敛，则级数∑∞=+1)11(n n na n （ ）.(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 不能判定敛散性散 16. 设⎰+=π2sin sin )(x xt tdt e x F ，则F (x )（ ）.(A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数17. 设),,(z t z y y x f u ---=，则=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂tu z u y u x u （ ）. (A) 12f ' (B) 22f ' (C) 32f ' (D) 0四. 计算下列各题(共52分)1.dx x x ⎰--223cos cos ππ（5分）2. 求曲线3,1,0,22===-=x x y x x y 所围成的平面图形的面积. （6分）3. 已知二重积分σd x D⎰⎰2，其中D 由1,112=--=x x y 以及0=y 围成. (Ⅰ) 请画出D 的图形，并在极坐标系下将二重积分化为累次积分；（3分） (Ⅱ) 请在直角坐标系下分别用两种积分次序将二重积分化为二次积分；（4分） (Ⅲ) 选择一种积分次序计算出二重积分的值.（4分）4. 设函数()z y x f u ,,=有连续偏导数，且()y x z ,ϕ=是由方程 z y zze ye xe =-所确定的二元函数，求yux u ∂∂∂∂,及du .（8分） 5. 求幂级数∑∞=-122)1(n nn n x 的收敛域及和函数S(x ).（8分）6. 求二元函数ye y x y xf 22)(),(+=的极值.（8分）7. 求微分方程x e y y 22-='+''的通解，及满足初始条件0)0(,1)0(='=f f 的特解.(6分)五. 假设函数)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导，且0)(≤'x f ，记dt t f ax x F x a ⎰-=)(1)(，证明在(a , b )内0)(≤'x F .（6分）微积分试卷 (C)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 数列}{n x 有界是数列}{n x 收敛的 条件。

2.若2sin x y =，则=dy 。

3. 函数0,tan ==x xxy 是第 类间断点，且为 间断点。

4. 若31lim1=-+→x bax x ，则a = ，b = 。

5. 在积分曲线族⎰xdx2中，过点（0，1）的曲线方程是 。

6. 函数x x f =)(在区间]1,1[-上罗尔定理不成立的原因是 。

7. 已知⎰-=x t dt e x F 0)(，则=')(x F 。

8. 某商品的需求函数为212PQ -=，则当p = 6时的需求价格弹性为=EPEQ。

二. 单项选择题 (每小题2分,共12分) 1. 若3lim=→βαx x ，则=-→αβα0lim x x （ ）。

(A) –2 (B) 0 (C)31 (D) 322. 在1=x 处连续但不可导的函数是（ ）。

(A) 11-=x y (B) 1-=x y (C))1ln(2-=x y(D)2)1(-=x y3. 在区间（-1，1）内，关于函数21)(x x f -=不正确．．．的叙述为（ ）。