三角函数经典解题方法与考点题型(教师)1．最小正周期的确定。

例1 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。

【解】 首先，T =2π是函数的周期（事实上，因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x ）；其次，当且仅当x =k π+2π时，y =0（因为|2co s x |≤2<π）, 所以若最小正周期为T 0，则T 0=mπ, m∈N +，又s in (2co s0)=s in 2≠s in (2co sπ)，所以T 0=2π。

过手练习1.下列函数中，周期为2π的是 （ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =2.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2sin |x y =的最小正周期是（ ）.4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 .（2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.(09年广东文)函数1)4(cos 22--=πx y 是 ( )A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数6.（浙江卷2）函数的最小正周期是 . 2．三角最值问题。

例2 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。

【解法一】 令s inx =⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=+ππθθ4304sin 2cos 1,cos 22x ,则有y =).4sin(2sin 2cos 2πθθθ+=+因为ππ4304≤≤，所以ππθπ≤+≤42， 所以)4sin(0πθ+≤≤1，所以当πθ43=，即x =2k π-2π(k ∈Z )时，y m in =0， 当4πθ=，即x =2k π+2π(k ∈Z )时，y m ax =2. 2(sin cos )1y x x =++【解法二】 因为y =s inx +)cos 1(sin 2cos 1222x x x ++≤+,=2（因为(a +b )2≤2(a 2+b 2)），且|s inx|≤1≤x 2cos 1+，所以0≤s inx +x 2cos 1+≤2， 所以当x 2cos 1+=s inx ，即x =2k π+2π(k ∈Z )时, y m ax =2， 当x 2cos 1+=-s inx ，即x =2k π-2π(k ∈Z )时, y m in =0。

注：三角函数的有界性、|s inx |≤1、|co s x |≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。

过手练习1.（09福建）函数()sin cos f x x x =最小值是= 。

2.（09上海）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是 .3．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ．6π7 B ．3π C ．6π D ．2π 4.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1 BCD ．25.函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1B.12+ C.323．换元法的使用。

例4 求xx xx y cos sin 1cos sin ++=的值域。

【解】 设t =s inx +co s x =).4sin(2cos 22sin 222π+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 因为,1)4sin(1≤+≤-πx所以.22≤≤-t又因为t 2=1+2s inxco s x ,所以s inxco s x =212-t ，所以211212-=+-=t t x y ，所以.212212-≤≤--y 因为t ≠-1，所以121-≠-t ，所以y ≠-1.所以函数值域为.212,11,212⎥⎦⎤⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-∈Y y4.函数单调性练习 1.（04天津）函数]),0[()26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是（ ）.A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππ D. ],65[ππ 2.函数sin y x =的一个单调增区间是 （ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， 3.函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 4．（07天津卷） 设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数5.函数22cos y x =的一个单调增区间是 ( )A ．(,)44ππ-B ．(0,)2πC ．3(,)44ππD ．(,)2ππ6．若函数f (x)同时具有以下两个性质：①f (x)是偶函数，②对任意实数x ，都有f (x +4π)= f (x -4π)，则f (x)的解析式可以是（ ）A ．f (x)=cosxB ．f (x)=cos(2x 2π+) C ．f (x)=sin(4x 2π+) D ．f (x) =cos6x5. 函数对称性练习 1.（08安徽）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 （ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2 函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 （ ） Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 Ｄ．关于直线π3x =对称 3（09全国）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 （ ） (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π6.综合练习1. （04年天津）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 2．(04年广东)函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是（ ）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ． 周期为2π的偶函数D ．.周期为2π的奇函数3．（ 09四川）已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是( )A. 函数)(x f 的最小正周期为2πB. 函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数 C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D. 函数)(x f 是奇函数 4．(07安徽卷) 函数)32sin(3)(π-=x x f 的图象为C , 如下结论中正确的是①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②图象C 关于点)0,32(π对称;③函数125,12()(ππ-在区间x f )内是增函数;④由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C.5.（08广东卷）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数6.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 7．若α是第三象限角，且cos2α<0，则2α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()()66f x f x ππ+=-，则()6f π等于（ ）A 、2或0B 、2-或2C 、0D 、2-或07.解答题练习 1．（05福建文）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （Ⅰ）求x x cos sin -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值.2（06福建文）已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？3．（2006年辽宁卷）已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求:(I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间.。