精锐教育学科教师辅导教案例3：求函数y=f(x)=cos 22x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x-23)2-45, ∴当cos2x=1,即x= k π,(k ∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k π+2π,( k ∈Z)时，y=max=5. 这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角ϕ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
例4：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ5. 利用数形结合 例5： 求函数y xx=+s in c o s 2的最值。
解：原函数可变形为y x x =---s i n c o s ().02这可看作点Ax xB (c o s s i n )()，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 221+=上的动点。
由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。
由几何性质，y y m a x m i n .==-3333，6、换元法 例6：若0<x<2π，求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.当时，如下图所示，有-≤≤11ayga ayggmin max()()()==--12112，为和中的较大者，即y a ay a am a xm a x()()=--≤≤=+<≤34103401当时，如下图所示，有ay g ay g a>=-=+==-1134134m a xm i n()().10. 判别式法例10求函数xxxxytansectansec22+-=的最值。
[分析]同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。
解：()()()()ππ∈===∴=-+++-∴+++-=+-=kkxxyyxyxyxxxxxxxxy,0tan,11tan1tan11tantan1tantantansectansec222221≠y时此时一元二次方程总有实数解()()()().331313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴yyyyy由y=3，tanx=-1，()3,4max=∈+=∴yzkkxππ倍（横坐标不变），得到)sin(φω+=x A y 的图像。
函数y=Asin （ωx＋φ）的图像可由y=sinx 的图像经过如下变换而得到：其中相位变换中平移量|φ|个单位，φ＞0时，向左移，φ＜0时向右移；周期变换中的纵坐标不变，横坐标为原来的倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的A 倍．例1．把函数的图像适当变动就可以得到y=sin(－3x)的图像，这种变动可以是（ ）A.向右平移B.向左平移C.向右平移D.向左平移解析：∵，∵按“左加右减”的规律，把函数y=sin(－3x)的图像向右平移能得到函数的图像，∴反过来，把函数的图像平移成函数y=sin(－3x)的图像只需向左平移，故选D.当变换顺序改变后，即先周期变换，后相位变换时，平移量变为个单位．图象变换过程还可表述为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωφωx A y sin 即 )sin(φω+=x A y例2．要得到)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 （ ）个单位长度（A ）向左平移3π （B ）向右平移3π （C ）向左平移6π （D ）向右平移6π 分析： 因为03<-=πφ，由图象变换可知应将函数x y 2sin =的图象向右平行移动，移动单位为6πωφ=，即有)32sin(π-=x y )6(2sin π-=x ，于是选（D ）。
变式：要得到)321cos(π--=x y 的图像，只需将)21cos(x y -=的图像（ ）个单位长度 （A ）向左平移3π （B ）向右平移3π （C ）向左平移32π （D ）向右平移32π 分析：因为)32(21321ππ+-=--x x ，即32πωφ=，所以选（C ）。
评注：进行图像变换时应切记无论是哪种变换都是对字母x 而言的，注意到这一点就无须担心到底是先作相位变换还是先作周期变换。
二．三角函数y=Asin （ωx+φ）中的对称（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。
（R 为外接圆半径） （5）△＝Rabc4； （6）△＝))()((c s b s a s s ---；⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(21c b a s ； （7）△＝r ·s 。
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
（1）角与角关系：A +B +C = π；（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）边与角关系：正弦定理RC cB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）； 余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cosC ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ；它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b a B A =sin sin ，bcac b A 2cos 222-+=。
5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2sin 2cos ,2cos 2sin CB AC B A =+=+；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r 为三角形切圆半径，p 为周长之半。
（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。
典例解析：题型1：正、余弦定理又∵ 21a b -=-∴ 221b b -=- ∴ 1b = ∴ 2,5ac ==题型7：正余弦定理的实际应用例13．（2009卷理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC=0.1km 。
试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，2≈ 1.414，6≈ 2.449）解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ，在△ABC 中，,ABC sin C BCA sin ∠=∠A AB即AB=,2062315sin ACsin60+=οο 因此，BD=。
km 33.020623≈+ 故B ，D 的距离约为0.33km 。
点评：解三角形等容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。
（2）（（2009卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角；B 点到M ，N 的俯角22,αβ；A ，B 的距离 d （如图所示） .北20 10AB • •C 11,αβ。