G n+g n+g n+g 0 F(cK,cAL)=cF(K,AL) C=(1-s)Y
K/L y(Y/AL) Y/L c(C/AL) C/L
g 0 g 0 g c=(1-s)f(k) y=f(k)=Y/AL
K/Y
0
结论：索罗模型意味着，无论从何处出发， 经济向一平衡增长路径收敛，在平衡增长路径 上，模型中每个变量的增长率都是常数。 这种平衡增长路径即通常所说的稳态。
• 将上式变形可得：
sf (k (t )) k (t ) (n g )k (t ) k (t )
• 可见，总投资用于三个方面：
• 资本深化；资本广化；资本补偿


（2）稳态均衡（引用高鸿业版） 定义“稳态”：一种其中各种数量都以不变速 度增长的状况，在这里，dk/dt=0时达到稳态。
第一章
索罗增长模型
关于索罗（Solow, RobertM.， 1924—）生于美国的纽约， 1951年获得哈佛大学的经济 学博士学位。从1949年开始 在麻省理工学院任教，1996 年退休。因对经济增长理论 作出的杰出贡献而获得1987 年诺贝尔经济学奖。
序言：总体概要






坚信中国将在25年以后超过美国成为世界第一大经济体。 即2030年前后。一个伟大的民族终究会找到感觉，进而影 响整个世界。 “ 一旦一个人开始思考（经济增长）问题，他就不会再 考虑任何其他问题。”--——卢卡斯
二、对经济增长的理论解释 本章主要讨论传统的经济增长模型，索罗 模型。 所有增长问题研究的出发点 与索罗模型从根本上不同的理论，也需要通过 和索罗模型的比较才能得到理解。

C/L

k=k*时，模型的各变量的变动：
变量 绝 对 量 K L 资本存量 劳动力 知识或技术 有效劳动 总产出 总消费 有效劳动的平均资本 人均资本 有效劳动的人均产出 人均产出 有效劳动的人均消费 人均消费 资本产出比 含义 平衡增长速度 n+g n k=K/AL 备注证明
A AL Y C 相 对 量 k(K/AL)
第一节


经济增长的现象
一、常见的变化
生活水平在不同时间的巨大差异 中国 ：30年的变化 城市：变大、变高、变多、变好 农村：以前的砖窑土房边成楼上楼下，电灯电话 洋房洋车 增长问题的重要性 生活水平差异——福利差异：营养、居住环境、医疗、预期寿命， 长期经济增长速度的差异对福利的影响更大

将上式中的两项表示为k的函数，图示如下。 稻田条件意味着，最初实际投资高于持平投 资，最后实际投资必然低于持平投资，实际 投资线与持平投资线必然相交，所以稳态必 然存在。并且，由于f”（k）<0,意味着二者 仅相交一次。
(n+g+δ )k
f(k)
sf(k)
f(k) K1时的 k (t )





索罗模型的主要结论： 实物资本的积累既不能解释人均产量随时间 的大幅度增长，也不能解释不同地区间人均产量 的巨大差别。 对于真实收入差距的其他来源，该模型要么将 其看成外生的，从而在此模型中不予解释（如技 术进步），要么根本不予考虑（ 资本的外部性）。 因此，索罗模型事实上并不能解释增长理论的 核心问题(否定性命题）。 为了解决增长理论的核心问题，我们必须超越 索罗模型。



第二类扩展和修正更具根本性。这类理论对增长 理论核心问题所提供的答案不同于索罗模型。它们 偏离索罗模型的基本方式有两种： （1）使技术进步成为内生的。 增长的出现：经济当事人有意识投资于知识生产 的结果。 （2）索罗模型大大低估了资本的作用。 实物资本 、人力资本、资本积累正的外部性
A(t ) L (t )
先做变换，两边取自然对数
ln k (t ) ln K (t ) ln A(t ) ln L(t )
对t求导数，得：

k (t ) K (t ) A(t ) L(t ) k (t ) K (t ) A(t ) L(t )
补充：变量增长率的计算 X

K2时的 k (t )


K*时的
k (t )
k
k1 K* k2

k (t )
k的走势：不论k从何处开始，它都向k*收敛。
k*
k
反映变量变化率与其本身关系的曲线图
二、平衡增长路径： 各个主要变量如何变动？ 绝对量： L，A， AL， K， Y，C 相对量： K/AL K/L Y/AL Y/L C/AL K/Y
（2）边际产出递减 f(k)满足f(0)=0,f’(k)>0,f”(k)<0，f’(k)是资本 的边际产品。 【证明】 Y=ALf(k)两边分别对K、L求导数： 资本的边际产品为： Y ALf ' (k ) 1 f ' (k )

K
AL

有效劳动的边际产品为：
Y K f (k ) ALf ' (k )[ ] f (k ) kf ' (k ) 2 ( AL) ( AL)


索罗模型又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学 框架内的经济增长模型，是Solow于1956年首次创立的，用来说明储蓄、资本积累 和增长之间的关系。自建立以来，这一模型一直是分析以上三个变量关系的主要 理论框架。 （一）模型变量 外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率 内生变量：投资 模型的数学表达 其中，K——资本；L——劳动；A——技术发展水平；I——毛投资；S——储蓄；k— —有效劳动投入之上的资本密度；s——边际储蓄率；n——人口增长率；g——技术进 步率；δ——资本折旧率；y——有效劳动投入之上的人均国内生产总值。 （二）模型评价 在索罗模型中，较高的储蓄导致较快的经济增长，但是，这只是暂时的。储 蓄率的提高会加快经济的增长直到新的稳定状态为止。如果经济保持高储蓄率， 也就会保持大量的资本存量和高产出水平，但并不能永远保持高经济增长。 介于此，储蓄率即一国贫困和富有的关键因素（实际上，这只是其中的一个 因素） 经济增长的路径是稳定的。黄金律稳定状态，资本的边际产量—折旧率=人口 增长率 对该模型的批评评论 储蓄率不是常数，决定储蓄率和相应的投资取决于经济个体的决策，即家庭 和厂商效用最大化的权衡。
第二节

假定



一、投入与产出 索罗模型包含四个变量： 产量(Y)、资本(K)、劳动(L)、知识（劳动有效 性）(A) 。在任一时间中，经济中有一定量的资本、 劳动和知识，它们被结合起来生产产品。 生产函数 ：Y（t）=F(K(t),A(t)L(t)) 两个特点 （1）时间通过K,L,A进入生产函数 （2）A与L以相乘的形式进入 AL 有效劳动
k (t ) sf (k (t )) (n g )k (t ) 如果sf (k (t )) (n g )k (t ), 则人均资本上升k (t ) 0 如果sf (k (t )) (n g )k (t )，则人均资本下降 k (t ) 0 如果sf (k (t )) (n g )k (t )，则人均资本不变 k (t ) 0
三、现代经济增长理论扩展和修正了索罗模型。

第一类扩展将使通过引入个人的最优化，使储蓄 率成为内生变量。 拉姆齐模型 戴维德模型 其理论意义在于： （1）表明了索罗模型中关于增长理论的核心问题 的结论并不依赖于储蓄率不变的假定。 （2）通过引入个人决策，使人们可以考虑福利问 题。怎样的增长路径是最优的？消费与积累 动态最优化。
这一生产函数易于应用，并且是对实际生产函数的一个好 的初步近似。 • 规模报酬不变： 生产函数的密集型式 f（k）=kα f’（k）=αkα-1 f’’（k）=α（α -1）kα-2 (小于0)
四、生产投入品的变动 劳动、知识、资本如何随着时间变动？ 该模型中，时间是连续的（而非离散的）。 资本、劳动和知识的初始水平被看做既定。 劳动和知识以不变的速度增长： （1）劳动力的增长：(t ) / L(t ) [ dL(t ) / dt] / L(t ) n L （2）知识的增长：A(t ) / A(t ) [dA(t ) / dt ] / A(t ) g
s Y (t ) k (t ) nk (t ) gk (t ) A(t ) L(t )

sf ( k (t )) ( n g ) k (t )
k (t ) sf (k (t )) (n g )k (t )

是索洛模型的关键方程，它表明每单位有效劳动 的平均资本变动率(有效劳动的资本存量)是两项之差： 第一项是每单位有效劳动的平均实际投资； 第二项是持平投资，即使k保持在现在水平上所 。 需要的投资量？防止k的下降所必须进行投资包括： 为弥补资本折旧所进行的投资。 δk 为新增有效劳动所提供的资本。(n+g)k

（3）稻田条件：
f(k)
lim k o f ' ( k )
lim k f ' (k ) 0
k


资本存量足够小时，资本的边际产品很大 资本存量足够大时，资本的边际产品很小

三、一个特殊的生产函数：柯布-道格拉斯
F ( K , AL) K ( AL)

1
0 1
二、关于生产函数的假设 （1）规模报酬不变： F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c≥0 含义(两个假设)：


（整体）经济足够大，专业化收益被穷尽； 其他投入品（除资本、劳动、与知识，如自然资源） 相对不重要。在自然资源有限的情况下，规模报酬递减。
规模报酬不变允许我们用紧凑形式： 令c=1/AL, 则有： F（K/AL,AL/AL) = F（K/AL,1) =1/AL*F(K,AL)=Y/AL 定义：有效劳动的人均资本k=K/AL， 有效劳动人均产量y=Y/AL， 则有 y = f(k)（生产函数的密集形式） 含义：每单位有效劳动的平均产量仅仅取决 于单位有效劳动的平均资本。 Nhomakorabea