综合方程(1.1)，(1.2)与(1.4)可得，
(1.3)
(1.4)
= sF ( K , L e nt ) K 0
(1.5)
这是一个以 K 为变量的常微分方程。
①
“Real Business Cycles”（RBC）中的“Real”有时被翻译为“真实”（与“虚假”对应），“实际”（与 “名义”对应），但译为“实体”（与“货币”对应）会更好些；其中的“Business”有时被译为“商业”， 但显然此处的“Business”泛指整个经济，而非狭义的商业。因此，将 Real Business Cycle（RBC）译为“实 体经济周期”可能较妥当。
ˆ 为何值，经济都将收敛到唯一的均衡点 k ˆ 。此后， 情况下，无论经济的初始有效人均资本 k 0
*
经济就进入一个“平衡增长路径”（balanced growth path），即各宏观经济指标（如 GDP、资
K 是一个常数。 AL ˆ) ，故 GDP 也以 (n + g ) 的常速增长。因此，人均 GDP 就以 g 由于 Y = F ( K , AL) = ALf (k ˆ= 本、劳动力）均以常速增长。其中，资本以 ( n + g ) 的速度增长，因为 k
a
1-a
ˆ ˆ + LkA = kAL ˆ K + AkL 将方程(1.17)代入方程(1.15)，然后两边同时除以 AL，移项合并后可得， ˆ ˆ ˆ) - (n + g + d )k = sf (k k
ˆ 。对 K 全微分，则有 则 K = kAL
ˆº K k AL
(1.17)
ˆ k
ˆ 而变化。对于在生 然而，一般来说，生产函数不会如此地“拐弯”，但储蓄率 s 可能随 k 存线上挣扎的经济而言（subsistence economy），可能为了生存而无法储蓄，不得不“杀鸡取 卵”。另外，贫困陷阱也可能是由于制度而引起的。另一方面，从实证的角度，贫困陷阱是否 存在还没有定论。 回到常规的情形，如果生产函数是 Cobb-Douglas 函数，则均衡点唯一且整体稳定。在此
的常速增长，完全取决于外生技术进步的速度。换言之，一个经济的长期增长率等于其技术进 步的速度 推论：如果没有技术进步，则长期经济中增长率为零。 为什么？直观来说，是因为边际产出递减。例如：10 个人 1 把锄头 10 个人 10 把锄头 10 个人 100 把锄头。如果不把锄头换成拖拉机，人均产量很难提高。 平衡增长路径的存在是索罗模型的一个重要结论，与 Kaldor(1961) 所提出的有关经济增长 的事实（Kaldor Facts）大致相吻合。这也是索罗模型能大行其道的重要原因。 “Kaldor Facts”主要包括， （1）人均产出（ Y L ）不断增长，其增长率（ g ）似乎不减弱； （2）人均资本（ K L ）不断增长； （3）资本收益率（ r ）几乎不变； （4）资本产出比例（ K Y ）几乎不变； （5）资本收入与劳动力收入占国民收入的比重（ ( r + d ) K Y ， wL Y ）几乎不变； （6）不同国家的人均产出增长率有很大差别。
．．
ˆ k
*
ˆ= k k
ˆ*
ˆ* ) - ( n + g + d ) k ˆ* = 0 = sf (k
*
(1.22)
*
ˆ 附近的区域，如果 k ˆ>k ˆ ，则 k ˆ < 0 ；反之，如果 k ˆ<k ˆ ，则 k ˆ > 0 。因此， 显然，在 k ˆ* 是“局部稳定的”（locally stable）。 均衡点 k
①
ˆ = 0 也是均衡点，由于它不稳定且不符合经济现实（即使原始人类也有石头作为工具！），故不 虽然原点 k 考虑。
4
© 陈强，高级宏观经济学讲义，山东大学经济学院，2010 年
ˆ (n + g + d )k
ˆ) sf (k
poverty trap
ˆ k L
ˆ k M
图 1.3、贫困陷阱的可能性
ˆ k H
3
© 陈强，高级宏观经济学讲义，山东大学经济学院，2010 年
ˆ (n + g + d )k
ˆ) sf (k
0
图 1.2、 索罗模型的相图
ˆ* k
ˆ k
ˆ) 的斜率一定大于 (n + g + d ) 。故在 k ˆ = 0 或接近 0 时，函数 sf (k ˆ较 根据稻田条件，在 k ˆ) 在 (n + g + d )k ˆ 的上方。而当 k ˆ 充分大时，函数 sf (k ˆ) 的斜率一定小于 小时，函数 sf (k ˆ) 处于 (n + g + d )k ˆ 的下方。因此，除原点外，函数 sf (k ˆ) 与函数 (n + g + d ) ，即函数 sf (k ˆ 必然至少有一个交点，即“均衡点”（steady state） k ˆ* 。在此交点， (n + g + d )k
nt
kºK L
然后将微分方程(1.5)转化为有关 k 的方程。由于 K = kL ，将 K 全微分，则有
(1.6)
(1.7) 其次，假设生产函数为“一次齐次”（homogenous of degree one），即“规模报酬不变” （constant returns to scale）。因此， F (l K , l L) = l F ( K , L) , 其中 l 为任意非负常数。如果 让 l = 1 L ，则有 F ( K L , 1) =


ˆ 趋近于 0 或 ¥ 时的性质，对函数在中间区域的限制 由于稻田条件只限制了有效人均资本 k 几乎没有，故稻田条件既不能保证均衡点的唯一性①，也不能保证其“整体稳定性” （globally ˆ) 与 (n + g + d )k ˆ 的交点不唯一，则意味着该经济有“多个均衡点” stable）。如果函数 sf (k （multiple equilibria）。这样就可能产生“贫困陷阱”（poverty trap），即经济正好处于低水 平的稳定均衡点附近。如果该理论成立，那么足够多的外来投资（foreign direct investment）或 外援（foreign aid）就有可能（至少在理论上）将该经济直接推动到高水平的稳定均衡点附 近，参见图 1.3。
(1.18) 方程(1.18)是决定索罗模型动态特性的基本方程。如果你只想记住索罗模型的一个方程，那 么就记住这个方程。方程右边的第一项为对有效人均资本的实际投资，第二项为保持有效人均 资本不变所需要的投资。 此微分方程通常没有解析解，除非生产函数为 Cobb-Douglas 函数， 即 Y = K ( AL) , 其中 0 < a < 1 。但在一定条件下，我们可以通过微分方程的“相图” （phase diagram） 研究其解的性质，如唯一性与稳定性。 假设生产函数满足以下的“稻田条件”（Inada, 1964），
= I = sY K
(1.1)
º 其中， K
生产函数为，
dK 。方程(1.1)被称为资本存量的“变动方程”（law of motion）。假设总量 dt
Y = F ( K , L)
其中，L 表示劳动力供给。假定边际产出为正且递减，即
(1.2)
¶F ¶F ¶2F ¶2 F > 0, > 0, < 0, <0 ¶K ¶L ¶K 2 ¶L2 假设经济总是处于充分就业状态，且劳动力供给以常数 n 增长。 L(t ) = L0 e nt
Y = K a ( AL)1-a 可以同时表示为这三种方式。因此，假设技术进步为“劳动力辅助型”，对
我们的限制并不大。 综合方程(1.13)与(1.14)可得， = sBiblioteka ( K , AL) - d K K
(1.15) (1.16)
定义“有效人均资本”（capital stock per effective labor）为，
2
© 陈强，高级宏观经济学讲义，山东大学经济学院，2010 年
A(t ) = A0 e gt
资本总量的变动率为，
(1.12) (1.13)
= sY - d K K
假设技术进步为“劳动力辅助型”（labor-augmenting），即生产函数可以写为，
Y = F ( K , AL) (1.14) “劳动力辅助型技术进步”是存在“平衡增长路径”（steady state growth）的必要条件。 这一结论被称为“Steady State Growth Theorem”，参见 Jones and Scrimgeour(2008)。如果生产 函数为 Cobb-Douglas 函数，则它既是“劳动力辅助型”，又是“资本辅助型”（capitalaugmenting，即 Y = F ( AK , L) ），还是“中性的”（neutral，即 Y = AF ( K , L) ），因为
¶F ， ¶K
(1.20)
é ˆù ˆ ¶F ¶ êë ALf (k )úû ˆ) ˆ) ¶k = f ¢(k = = ALf ¢(k ¶K ¶K ¶K
因此，可以把稻田条件写为，
ˆ) = ¥, f ¢(k lim ˆ
k 0
ˆ¥ k
ˆ) = 0 lim f ¢(k
(1.21)
在以上假定下，微分方程(1.18)的相图可以大致画成，
f (k ) º F (k , 1)
将方程(1.8)两边同时除以 L，
+ kn = sf (k ) k
移项可得，
= sf (k ) - kn k
这是一个有关 k 的常微分方程（暂不求解，下面将直接求解更一般的情形）。 下面，我们考虑更一般的情形，即存在折旧与外生技术进步的情况。假设折旧率为常数 δ。假设技术水平 A 增长的速度为常数 g，且决定于模型之外，故名“外生技术进步”。技术 水平 A 也常被称为“全要素劳动生产率”（Total Factor Productivity, 即 TFP）。