第4章 频率变换电路基础
4.1非线性器件的伏安特性为212i a u a u =+，其中的信号电压为
1cos cos cos 22
cm c m m u U t U t U t
ωΩΩ=+Ω+
Ω
式中，c ωΩ 。

求电流i 中的组合频率分量。

解：212i a u a u =+
2
122
222222
12211cos cos cos 2cos cos cos 22211cos cos cos 2cos cos cos 2242cos cos cos co cm c m m cm c m m cm c m m cm c m m cm m c cm m c a U t U t U t a U t U t U t a U t U t U t a U t U t U t a U U t t U U t ωωωωωωΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ⎛⎫⎛⎫
=+Ω+Ω++Ω+Ω ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫=+Ω+Ω++Ω+Ω ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+Ω+()
2
s 2cos cos 2m t U t t ΩΩ+ΩΩ
∴电流i 中的频率分量为c ω、Ω、2Ω、2c ω、4Ω、c ω±Ω、2c ω±Ω、3Ω。

其中组合频率分量为：
c ω±Ω、2c ω±Ω。

4.2非线性器件的伏安特性为
(0)0
(0)
d g u
u i u >⎧=⎨
<⎩
式中，1122cos cos Q m m u U U t U t ωω=++。

设2m U 很小，满足线性时变条件，且112
Q m
U U =，求时变电
导()g t 的表达式，并讨论电流i 中的组合频率分量。

解：本题可用开关函数分析法来分析。

(0)
()0
(0)d d g u u i g s t u u >⎧==⎨
<⎩，其中1
(0)()0
(0)
u s t u >⎧=⎨
<⎩
∴时变电导1112
2
()()cos cos 32
3d d g t g s t g t t ωωπ
π⎛⎫
==+-
+ ⎪⎝⎭
∴()11112212
2
()cos cos 3cos cos 2
3d d Q m m i g s t u g t t U U t U t ωωωωπ
π⎛⎫
==+-
+++
⎪⎝⎭
∴电流i 中的组合频率分量为12(21)n ωω-±（n N ∈）。

4.3两个信号的数学表达式分别为：1cos 2V u Ft π=，2cos 20V u Ft π=。

写出两者相乘后的数学表达
式，并画出其波形图和频谱图。

解：121cos 2cos 20(cos 22cos18)2
u u Ft Ft Ft Ft ππππ=⨯=+ （DSB
信号）
频谱表达式为
[](11)(11)(9)(9)2
f F f F f F f F πδδδδ++-+++-
其波形与频谱图分别为
图4.3
(b)频谱
f
4.4一非线性器件的伏安特性为230123i a a u a u a u =+++，式中
112233cos cos cos Q m m m u U U t U t U t
ωωω=+++
试写出电流i 中组合频率分量的频率通式，说明它们试由i 中的哪些乘积项产生的，并求出其中1ω、
122ωω+、123ωωω+-的频率分量的振幅。

解：∵230123i a a u a u a u =+++且112233cos cos cos Q m m m u U U t U t U t ωωω=+++
∴电流i 所含的频率分量有：直流、基波分量（1ω、2ω、3ω）、二次谐波分量（12ω、22ω、32ω）、组合频率分量（12ωω±、13ωω±、23ωω±）、三次谐波分量（13ω、23ω、33ω）
、组合频率分量（122ωω±、132ωω±、23
2ωω±、212ωω±、312ωω±、322ωω±、123ωωω+±、123ωωω-±）。

4.5若二极管VD 的伏安特性曲线可用图题4.5（b ）中的折线来近似，输入电压为cos m o u U t ω=。

试求图题4.5（a ）中电流i 各频谱分量的大小（设g 、L R 、m U 均已知）。

图题4.5
L
(a)
(b)
解：此电路可以实现半波整流功能。

根据图（a ）可得到：
u >时，VD 导通，且1D
L
L
u i
u u g i R R --=
=
，∴11L
L u gu i gR R g
=
=
++
；
u <时，VD 截止，0i =。

引入单向开关函数()s t ，且1(0)()0
(0)
u s t u >⎧=⎨<⎩，有
()
1L
gu i s t gR =
+
2
122cos cos cos 3123122cos cos cos 3cos 2311111cos cos 2cos 4cos 22
331122cos cos 2cos 42315m
o o o L m o o o o m o o o o m o o o gU t t t gR I t t t t I t t t t I t t t ωωωππωωωωππωωωωπ
π
π
π
ωωωπππ⎛⎫
=
+-+ ⎪
+⎝⎭
⎛⎫=+-+ ⎪
⎝⎭
⎛⎫=++--+ ⎪
⎝⎭
⎛⎫
=++-+ ⎪
⎝⎭
1m m L gU I gR ⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
故电流i 中各频谱分量及其大小分别为：直流分量（1
m
I π
）、基波分量（1
2
m I ）、偶次谐波分量
（2
2(1)m
I n π
-，n 为偶数）。

4.6同4.5题，试计算图题4.6电路中电流i 各频谱分量的大小。

设变压器B 的变压比为1:2，VD1与VD2特性相同（如图题4.5（b ）所示）。

图题4.6
+ -+ -1D u 2D u
解：此电路可以实现全波整流功能。

根据图题4.6可得到：
u >时，VD1导通、VD2截止，且1
1
111D L
L L u i u u gu i g i R R gR ---=
=
=，∴11L
gu i gR =
+；
u <时，VD1截止、VD2导通，且2
2
221D L
L
L
u i u u gu i g i R R gR +++=-
=-
=-
，∴21L
gu i gR =-
+。

引入双向开关函数()s t ，且1(0)()1
(0)
u s t u >⎧=⎨
-<⎩，有
()1L
gu i s t gR =+
2
44cos cos cos 31344cos cos 3cos 32222cos 2cos 4cos 233244cos 2cos 4315m
o o o L m o o o m o o o m o o gU t t t gR I t t t I t t t I t t ωωωππωωωππωωωππππωωπππ⎛⎫
=
-+ ⎪
+⎝⎭
⎛⎫=-+ ⎪
⎝⎭
⎛⎫
=+--+ ⎪
⎝⎭⎛⎫
=+-+ ⎪
⎝⎭
1m
m L gU I gR ⎛⎫
=
⎪
+⎝
⎭
故电流i 中各频谱分量及其大小分别为：直流分量（2
m I π
）
、偶次谐波分量（2
4(1)m
I n π
-，n 为偶数）。